LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 2 6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ........................................... 4
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC ...... 4 1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông............................................ 4 1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt ....................... 5 1.1.3. Các công thức lượng giác................................................................. 5 1.1.4. Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác..................... 6 1.1.5. Các hệ thức lượng giác cơ bản ......................................................... 7 1.1.6. Một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác .................................... 9 1.1.7. Một số bất đẳng thức khác ............................................................. 10
1.2. CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN ............................................................................................................... 11 1.2.1. Phương trình dạng lượng giác của đường tròn .............................. 11 1.2.2. Phương trình dạng lượng giác của elíp .......................................... 11 1.2.3. Phương trình dạng lượng giác của hypebol ................................... 12 1.2.4. Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian ............. 12 1.2.5. Một số định lý, tính chất trong hình học không gian ..................... 13 1.2.6. Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng ... 14 1.2.7. Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian .......... 14
1.2. . Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác .................... 15
1.2. . Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng ........... 15
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I TOÁN H NH HỌC...... ............................................................................... 16
2.1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT ..................... 16
2.1.1. Biểu thức lượng giác ...................................................................... 16 2.1.2. Giá trị l n nhất, nhỏ nhất liên quan đến diện tích tam giác ........... 26 2.1.3. Giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích ........................................ 31
2.2. BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC ................................................. 36 2.2.1. Nhận dạng tam giác cân ................................................................. 36 2.2.2. Nhận dạng tam giác đều ................................................................. 43 2.2.3. Nhận dạng tam giác vuông............................................................. 49
2.3. BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM
GIÁC ............................................................................................................... 54 2.3.1. Độ dài đường trung tuyến .............................................................. 54 2.3.2. Độ dài đường phân giác trong ........................................................ 59 2.3.3. Độ dài đường cao ........................................................................... 63
2.4. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ................................................................ 67 2.4.1. Bài toán khoảng cách hình phẳng .................................................. 67 2.4.2. Bài toán khoảng cách trong hình học không gian .......................... 74
2.5. BÀI TOÁN VỀ GÓC PHẲNG VÀ GÓC NHỊ DIỆN ............................. 78 2.5.1. Góc trong tam giác và tứ giác ........................................................ 78 2.5.2. Góc nhị diện ................................................................................... 89
2.6. BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH ......................................... 93 2.6.1. Diện tích tam giác .......................................................................... 93 2.6.2. Diện tích thiết diện ......................................................................... 97 2.6.3. Thể tích......................................................................................... 101
KẾT LUẬN..........................................................................109 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KH O................................................... 110 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao)
ABC A,B,C
a,b,c ha,hb,hc
ma,mb,mc
la,lb,lc
đỉnh A, B, C
R r p
SABC VABCD d Max
dMin (C),(E),(H)
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
: Tam giác ABC
: Các đỉnh hay các góc tương ứng của tam giác
: Độ dài các cạnh đối diện các góc A, B, C
: Độ dài các đường cao xuất phát t A, B, C
: Độ dài các đường trung tuyến xuất phát t A, B, C
: Độ dài các đường phân giác trong xuất phát t các
: Bán kính đường tròn ngoại tiếp : Bán kính đường tròn nội tiếp
: Nửa chu vi tam giác
: Diện tích tam giác ABC
: Thể tích hình chóp ABCD : Khoảng cách l n nhất
: Khoảng cách nhỏ nhất
: Đường tròn, elíp, hypebol
1. Lý do chọn đề tài
1
MỞ ĐẦU
Qua thực tế giảng dạy Toán cho học sinh phổ thông trung học, tui nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải các chủ đề liên quan trong đại số, giải tích và hình học. Cùng v i sự định hư ng của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, tui đã chọnđềtài“PHƯƠNGPHÁPLƯ NGGIÁCVÀMỘTSỐỨNGDỤNG TRONG H NH HỌC” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, trư c hết tui gi i thiệu về các hệ thức lượng giác và các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thể hiện trong chương trình Toán bậc phổ thông trung học. Tiếp đó, ứng dụng các hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải một số dạng toán cơ bản trong hình học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác công cụ phương pháp lượng giác để khảo sát một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán xác định khoảng cách,...nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình phổ thông trung học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt là chuyên đề hình học lượng giác.
- Các ứng dụng của lượng giác vào giải các bài tập hình học trong chương trình Toán bậc trung học.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu về chuyên đề lượng giác, chuyên đề hình học phẳng và hình học không gian.
- Phân tích, tổng hợp, hệ thống các bài toán hình học giải bằng phương pháp lượng giác trong chương trình bậc trung học.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hư ng dẫn, đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học thuộc chương trình Toán phổ thông trung học.
- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức liên quan
Trong chương 1, luận văn trình bày:
- Các kiến thức lượng giác cơ bản: tính chất, các công thức lượng, các hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho chương sau.
- Các kiến thức về hình học phẳng và không gian như: dạng lượng giác của đường tròn, elíp, hypebol, công thức tính góc, khoảng cách, hình chiếu, các công thức tính thể tích hình không gian...
Chương 2. Ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải toán hình học
Trong chương 2, luận văn trình bày:
Một số ứng dụng của lượng giác vào giải các bài toán hình học trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông. Cụ thể là bài toán tìm giá trị nhỏ
3
nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán về độ dài đường đặc biệt trong tam giác, bài toán khoảng cách, bài toán về góc phẳng và góc nhị diện, bài toán về diện tích và thể tích.
sinB AC cosC BC
tanB AC cotC AB
; ;
cosB AB sinC. BC
cotB AB tanC. AC
4
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản của lượng giác liên quan đến hình học, một số bất đẳng thức đại số, các kiến thức liên quan đến hình học phẳng, hình học không gian trong chương trình Toán trung học phổ thông để làm cơ sở cho chương sau. Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [6], [9], [10].
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯ NG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN H NH HỌC
1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó tỉ số lượng giác của các góc được định nghĩa qua các cạnh như sau:
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh huyền được gọi là sin của góc B, kí hiệu là sinB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh huyền được gọi là côsin của góc B, kí hiệu là cosB.
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh kề được gọi là tan của góc B, kí hiệu là tanB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh đối được gọi là cotan của góc B, kí hiệu là cotB.
Chú ý:
Trong tam giác vuông ABC tính chất hàm sin, hàm tan của góc nhọn
này bằng hàm cos, hàm cot của góc nhọn kia và ngược lại.
5
1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Trong lượng giác ta thường hay gặp một số trường hợp góc có liên quan như sau:
a. Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau; sin, tan, cot đối nhau.
sin(-) -sin ; cos(-) cos. tan(-) -tan ; cot(-) -cot.
b. Hai góc hơn kém nhau π: Hai góc hơn kém nhau có sin, cos đối nhau; tan và cot bằng nhau.
sin()-sin ; cos()-cos. tan()tan ; cot()cotα.
c. Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; cos, tan và cot đối nhau.
sin( -) sin ; cos( -) -cos. tan( -)-tan ; cot( -)-cot.
d. Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia; tan góc này bằng cot góc kia.
sin( -) cos ; cos( -) sin. 22
tan( -) cot ; cot( -) tan. 22
1.1.3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng đối với sin và côsin
V i mọi góc lượng giác α, β, ta có:
cos(-)coscossinsin ; cos()coscos-sinsin. sin(-)sincos-cossin ; sin()sincoscossin.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu............................................................................. 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài .............................................. 2 6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN ........................................... 4
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯỢNG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC ...... 4 1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông............................................ 4 1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt ....................... 5 1.1.3. Các công thức lượng giác................................................................. 5 1.1.4. Định lý hàm sin, hàm côsin, hàm tang trong tam giác..................... 6 1.1.5. Các hệ thức lượng giác cơ bản ......................................................... 7 1.1.6. Một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác .................................... 9 1.1.7. Một số bất đẳng thức khác ............................................................. 10
1.2. CÁC KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN ............................................................................................................... 11 1.2.1. Phương trình dạng lượng giác của đường tròn .............................. 11 1.2.2. Phương trình dạng lượng giác của elíp .......................................... 11 1.2.3. Phương trình dạng lượng giác của hypebol ................................... 12 1.2.4. Một số định nghĩa, khái niệm trong hình học không gian ............. 12 1.2.5. Một số định lý, tính chất trong hình học không gian ..................... 13 1.2.6. Công thức tính diện tích hình chiếu của đa giác trên mặt phẳng ... 14 1.2.7. Công thức tính thể tích một số khối hình trong không gian .......... 14
1.2. . Hệ thức liên hệ về thể tích trong khối chóp tam giác .................... 15
1.2. . Công thức tính khoảng cách t một điểm t i đường thẳng ........... 15
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC VÀO GI I TOÁN H NH HỌC...... ............................................................................... 16
2.1. BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT ..................... 16
2.1.1. Biểu thức lượng giác ...................................................................... 16 2.1.2. Giá trị l n nhất, nhỏ nhất liên quan đến diện tích tam giác ........... 26 2.1.3. Giá trị l n nhất và nhỏ nhất của thể tích ........................................ 31
2.2. BÀI TOÁN NHẬN DẠNG TAM GIÁC ................................................. 36 2.2.1. Nhận dạng tam giác cân ................................................................. 36 2.2.2. Nhận dạng tam giác đều ................................................................. 43 2.2.3. Nhận dạng tam giác vuông............................................................. 49
2.3. BÀI TOÁN VỀ ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM
GIÁC ............................................................................................................... 54 2.3.1. Độ dài đường trung tuyến .............................................................. 54 2.3.2. Độ dài đường phân giác trong ........................................................ 59 2.3.3. Độ dài đường cao ........................................................................... 63
2.4. BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ................................................................ 67 2.4.1. Bài toán khoảng cách hình phẳng .................................................. 67 2.4.2. Bài toán khoảng cách trong hình học không gian .......................... 74
2.5. BÀI TOÁN VỀ GÓC PHẲNG VÀ GÓC NHỊ DIỆN ............................. 78 2.5.1. Góc trong tam giác và tứ giác ........................................................ 78 2.5.2. Góc nhị diện ................................................................................... 89
2.6. BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH ......................................... 93 2.6.1. Diện tích tam giác .......................................................................... 93 2.6.2. Diện tích thiết diện ......................................................................... 97 2.6.3. Thể tích......................................................................................... 101
KẾT LUẬN..........................................................................109 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KH O................................................... 110 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (Bản sao)
ABC A,B,C
a,b,c ha,hb,hc
ma,mb,mc
la,lb,lc
đỉnh A, B, C
R r p
SABC VABCD d Max
dMin (C),(E),(H)
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
: Tam giác ABC
: Các đỉnh hay các góc tương ứng của tam giác
: Độ dài các cạnh đối diện các góc A, B, C
: Độ dài các đường cao xuất phát t A, B, C
: Độ dài các đường trung tuyến xuất phát t A, B, C
: Độ dài các đường phân giác trong xuất phát t các
: Bán kính đường tròn ngoại tiếp : Bán kính đường tròn nội tiếp
: Nửa chu vi tam giác
: Diện tích tam giác ABC
: Thể tích hình chóp ABCD : Khoảng cách l n nhất
: Khoảng cách nhỏ nhất
: Đường tròn, elíp, hypebol
1. Lý do chọn đề tài
1
MỞ ĐẦU
Qua thực tế giảng dạy Toán cho học sinh phổ thông trung học, tui nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc nắm bắt các khái niệm, ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải các chủ đề liên quan trong đại số, giải tích và hình học. Cùng v i sự định hư ng của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, tui đã chọnđềtài“PHƯƠNGPHÁPLƯ NGGIÁCVÀMỘTSỐỨNGDỤNG TRONG H NH HỌC” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.
Trong luận văn này, trư c hết tui gi i thiệu về các hệ thức lượng giác và các đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác thể hiện trong chương trình Toán bậc phổ thông trung học. Tiếp đó, ứng dụng các hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác để giải một số dạng toán cơ bản trong hình học.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác công cụ phương pháp lượng giác để khảo sát một số chủ đề trong hình học thể hiện qua các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán xác định khoảng cách,...nhằm góp phần nâng cao hiệu quả và chất lượng dạy học bộ môn Toán trong chương trình phổ thông trung học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Chương trình Toán bậc trung học, đặc biệt là chuyên đề hình học lượng giác.
- Các ứng dụng của lượng giác vào giải các bài tập hình học trong chương trình Toán bậc trung học.
2
4. Phương pháp nghiên cứu
- Tham khảo tài liệu về chuyên đề lượng giác, chuyên đề hình học phẳng và hình học không gian.
- Phân tích, tổng hợp, hệ thống các bài toán hình học giải bằng phương pháp lượng giác trong chương trình bậc trung học.
- Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hư ng dẫn, đồng nghiệp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bản trong hình học thuộc chương trình Toán phổ thông trung học.
- Phát huy tính tự học và sáng tạo của học sinh.
6. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia làm 2 chương:
Chương 1. Các kiến thức liên quan
Trong chương 1, luận văn trình bày:
- Các kiến thức lượng giác cơ bản: tính chất, các công thức lượng, các hệ thức lượng giác, đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác và một số bất đẳng thức đại số để làm cơ sở cho chương sau.
- Các kiến thức về hình học phẳng và không gian như: dạng lượng giác của đường tròn, elíp, hypebol, công thức tính góc, khoảng cách, hình chiếu, các công thức tính thể tích hình không gian...
Chương 2. Ứng dụng phương pháp lượng giác vào giải toán hình học
Trong chương 2, luận văn trình bày:
Một số ứng dụng của lượng giác vào giải các bài toán hình học trong chương trình Toán bậc trung học phổ thông. Cụ thể là bài toán tìm giá trị nhỏ
3
nhất và giá trị l n nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán về độ dài đường đặc biệt trong tam giác, bài toán khoảng cách, bài toán về góc phẳng và góc nhị diện, bài toán về diện tích và thể tích.
sinB AC cosC BC
tanB AC cotC AB
; ;
cosB AB sinC. BC
cotB AB tanC. AC
4
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Chương này nhắc lại các kiến thức cơ bản của lượng giác liên quan đến hình học, một số bất đẳng thức đại số, các kiến thức liên quan đến hình học phẳng, hình học không gian trong chương trình Toán trung học phổ thông để làm cơ sở cho chương sau. Các chứng minh chi tiết có thể xem trong [6], [9], [10].
1.1. CÁC KIẾN THỨC LƯ NG GIÁC LIÊN QUAN ĐẾN H NH HỌC
1.1.1. Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, khi đó tỉ số lượng giác của các góc được định nghĩa qua các cạnh như sau:
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh huyền được gọi là sin của góc B, kí hiệu là sinB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh huyền được gọi là côsin của góc B, kí hiệu là cosB.
- Tỉ số giữa cạnh đối của góc B và cạnh kề được gọi là tan của góc B, kí hiệu là tanB.
- Tỉ số giữa cạnh kề của góc B và cạnh đối được gọi là cotan của góc B, kí hiệu là cotB.
Chú ý:
Trong tam giác vuông ABC tính chất hàm sin, hàm tan của góc nhọn
này bằng hàm cos, hàm cot của góc nhọn kia và ngược lại.
5
1.1.2. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Trong lượng giác ta thường hay gặp một số trường hợp góc có liên quan như sau:
a. Hai góc đối nhau: Hai góc đối nhau có cos bằng nhau; sin, tan, cot đối nhau.
sin(-) -sin ; cos(-) cos. tan(-) -tan ; cot(-) -cot.
b. Hai góc hơn kém nhau π: Hai góc hơn kém nhau có sin, cos đối nhau; tan và cot bằng nhau.
sin()-sin ; cos()-cos. tan()tan ; cot()cotα.
c. Hai góc bù nhau: Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; cos, tan và cot đối nhau.
sin( -) sin ; cos( -) -cos. tan( -)-tan ; cot( -)-cot.
d. Hai góc phụ nhau: Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia; tan góc này bằng cot góc kia.
sin( -) cos ; cos( -) sin. 22
tan( -) cot ; cot( -) tan. 22
1.1.3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng đối với sin và côsin
V i mọi góc lượng giác α, β, ta có:
cos(-)coscossinsin ; cos()coscos-sinsin. sin(-)sincos-cossin ; sin()sincoscossin.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links