budthuysan80
New Member
Download miễn phí Phương pháp và kỹ thuật điển hình trong tính phân
Để sử dụng được thành thạo kỹ thuật sử dung bảng nguyên hàm học sinh hiểu
được bản chất của các công thức,phải hiểu công thức trong trạng thái động.khi
đứng trước bài toán tính tích phân cần xem xét kỹ biểu thức dưới dẩu tích phân,nếu
có ý tưởng sử dụng bảng nguyên hàm thì định đưa về công thức nào trong bảng
nguyên hàm. Để làm được điều đó hoc sinh phải hiểu kỹ bản chất của công thức,
có tư duy trong biến đổi vi phân một cách logic, để tiếp nhận nó một cách tự
nhiên ,không gượng ép .
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
hính vì lẽ đó tronggiảng dạy học sinh dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 ,người thầy không quá sa
đà vào việc dạy học sinh những dạng toán có tính chất công thức,máy móc. Điều
quan trọng là phát triển ở học sinh tư duy logíc,sự sáng tạo ,các em tự mình chiếm
lĩnh kiến thức ,tự rút ra những bài học bổ ích từ việc giải được hay không giải được
những bài tích phân,có như vậy khi đứng trước những bài toán mới hay những bài
toán được ngụy trang thì các em vẫn có được ‘sức đề kháng’’ để vượt qua.tui coi
đó là tư tưởng chủ yếu của dạy học tích phân nói riêng và môn toán nói chung.
2-Đổi biến số dạng hai:
Tư tưởng của kỹ thuật này là :Giả sử ta cần tính tích phân I= ( )
b
a
f x dxò thì ta chọn
X=u(t),với u(t) là hàm số ta chọn thích hợp
Biểu diễn dx=u’(t)dt, u( ) , ( )a u ba b= =
Biểu thị f(x)dx theo t và dt,giả sử f(x)dx=g(t)dt
I= ( )
b
a
f x dxò = ( )g t dt
b
a
ò là tích phân dễ tìm hơn tích phân ban đầu.
Ví dụ 1: Tính I=
2
22
2
0 1
x dx
x-
ò
Lời giải :
Nx: ta có sin2t+cos2t =1 nên 1-sin2t=cos2t, 21 sin cost t- = do đó ta nghĩ tới
Đặt x=sint t ;
2 2
p pé ùÎ -ê úë û
x=0,t=0,x= 2 ,
2 4
t
p
= ,dx=costdt
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 17
I=
2
22
2
0 1
x dx
x-
ò = I=
/4 /4 /42 2
2
0 0 0
sin cos sin cos 1 os2 1
cos 2 8 41 sin
x tdt t t c t
dt dt
tt
p p p p-
= = = -
-
ò ò ò
Nhận xét 1 :
- Có thể đặt x=cost t [ ]0;pÎ
-Đối với những tích phân có chứa các biểu thức 2 2a x- ta có thể đặt x=acost ,
t [ ]0;pÎ
hay x= asint , t ;
2 2
p pé ùÎ -ê úë û
Ví dụ 2: Tính J=
6
2
3 2 9
dx
x x -
ò
Lời giải:
Đặt x= 3 ,
sin t
(0; / 2)t pÎ
dx=
2
3cos
sin
tdt
t
- , 1 13 2,sin , 6,sin
4 2 62
x t t x t t
p p
= = Þ = = = Þ =
J=
6
2
3 2 9
dx
x x -
ò =
/6
2/4
2
3cos
3 9
sin 9
sin sin
tdt
t
t t
p
p
-
-
ò =
/4 4
/6 /6
1 cos 1
cos3 3 36sin
sin
tdt
dt
t
t
t
p p
p p
p
= =ò ò
Nhận xét 2:
- có thể đặt x= 3 ,
osc t
- đối với những tích phân có chứa biểu thức 2 2x a- (a>0) ta có thể đặt x=
os
a
c t
hay X= ,
sin
a
t
Ví dụ 3
Tính K=
3 2
2
1
1 x
dx
x
+
ò
Lời giải;
Đặt x=tant,t ( ; )
2 2
p p
Î -
1 , 3
4 3
x t x x
p p
= Þ = = Þ = , 2 22
1
; 1 1 tan
os cos
dt
dx x x
c t t
= + = + =
K=
3 2
2
1
1 x
dx
x
+
ò =
/3 /3 /3
2 2 2 2 2
/4 /4 4
2
1 (sin )
sin os cos sin sin (1 sin )
cos
os
dt dt d t
t c t t t t t
t
c t
p p p
p p p
= = =
-ò ò ò
3
2
2 2
2
2
(1 )
du
u u
=
-ò
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 18
3
2
2
2
2
du
u
+ò
3
2
2
2
2
1
du
u-ò =
3 2 2 3
ln(2 3)( 2 1)
3
-
+ - +
Nhận xét 3:
-Đối với những tích phân có chứa biểu thức (a2+x2)k (a>0)ta thường đăt x=atant
hay x=acott
-Một số tích phấn sau khi bién đổi mới đưa về dạng có chứa biểu thức (a2+x2)k .ta
xét ví dụ sau
Ví dụ 4 Tính L=
1
4 2
0 1
xdx
x x+ +ò
Lời giải:
L=
1
4 2
0 1
xdx
x x+ +ò =
1 2
2 2 2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d x
x x+ +ò =
1
2
0
1 ( )
2 ( ) 1
d t
t t+ +ò =
1
2 20
1
( )1 2
2 1 3
( ) ( )
2 2
d t
t
+
+ +
ò =
3
2
1 2 2
2
1 ( )
2 3
( ) ( )
2
d u
u +
ò
Đặt 3 tan , ( ; )
2 2 2
t
p pa Î - ,u= 3 1tan 3 ,,
2 3 2 6
u
p pa a aÞ = Þ = = Þ =
L =
3
2
1 2 2
2
1 ( )
2 3
( ) ( )
2
d u
u +
ò =
3 3
2 2
6 6
3
1 3 32
32 3 18os . (1 tan )
4
d
d
c
p p
p p
a p
a
a a
= =
+
ò ò ,
Nhận xét 5
Một số tích phân có chứa các biểu thức ( )( )x a b x- - ,b>a>0 Khi đó ta đặt
X=a+(b-a)sin2t , t 0;
2
pé ùÎ ê úë û
.ta xét ví dụ sau
Ví dụ 5: Tính M=
3
2
5
4
( 1)(2 )x x dx- -ò
Lời giải :
Nhận xét a=1,b=2 Đặt x=1+sin2t
t 0;
2
pé ùÎ ê úë û
,dx=2sintcostdt,x= 5 3;
4 6 2 4
t x t
p p
Þ = = Þ =
M=
3
2
5
4
( 1)(2 )x x dx- -ò =
3
2
5
4
( 1)(2 )x x dx- -ò =2
4
2 2
6
sin (1 sin ) sin cost x t tdt
p
p
- =ò
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 19
2
4
2 2
6
sin cost tdx
p
p
=ò
4
6
1 1 3
(1 os2 ) ( )
2 8 12 8
c t d
p
p
p
- = -ò .
Nhận xét 6:
Bằng cách khai thác tương tự ta sẽ rút ra đựợc các cách biến số dạng 2 đối với
những tích phân có chứa những biểu thức được thống kê qua bảng sau:
Dấu hiệu Cách chọn
2 2a x- (a>0) X=asint t ;
2 2
p pé ùÎ -ê úë û
hay
x=acost t [ ]0;pÎ
2 2x x- (a>0) X=
sin
a
t
t ;
2 2
p pé ùÎ -ê úë û
\0
X=
os
a
c t
t [ ]0;pÎ \ / 2p
2 2a x+ (a>0) X=atant t ;
2 2
p pæ öÎ -ç ÷
è ø
ho ặc
X=acott t ( )0;pÎ
a x
a x
+
-
hay a x
a x
-
+
X=acos2t
( )( )x a b x- -
X=a+(b-a)sin2t
Nhận xét 7:
-Đôi khi để sử dụng đổi biến số dạng 2 laị bắt đầu từ dạng 1
Ví dụ 6: Tính K=
24
4 2
4
sin
os (tan 2 t anx 5)
xdx
c x x
p
p- - +
ò (Đề thi dự bị 2008-B)
Lời giải:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 20
Biến đổi K=
2 24 4
4 2 2
4 4
sin tan (t anx)
os (tan 2 t anx 5) (tan 2 t anx 5)
xdx xd
c x x x
p p
p p- -
=
- + - +ò ò
Đặt tanx=t đổi cận đưa K vể dạng
K=
1 1 1 12 2
2 2 2
1 1 1 1
( 2 5)
3
( 2 t 5) 2 5 ( 1) 4
t dt d t t dt
dt
t t t t- - - -
- +
= + -
- + - + - +ò ò ò ò
Lại đặt t-1=2tant đổi cận tính toán ta được K=2-ln2 3
8
p
-Một trong những phép đổi biến hay dùng nữa là phép thay biến x=a-t đói với
những tích phân có cận trên là a và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức
lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận trên là a (Theo nghĩa chúng
có mối quan hệ đến các góc liên quan đặc biệt).Vì lẽ đó các tích phân này thường
có cận trên là ; ;2 ,...
2
p p p
Khi tính các tích phân này thường dẫn tới giải một phương trình đơn giản với ẩn
số là t
Ví dụ 7:
Tính H=
/2 4
4 4
0
sin
os sin
xdx
c x x
p
+ò
Lời giải: Đặt x=
2
t dx dt
p
- Þ = - và ta có
I=
0 4
4 4
2
sin
os sin
xdx
c x xp
-
+ò =
/2 4
4 4
0
os
os sin
c xdx
c x x
p
+ò suy ra
2I=
/2 /24 4
4 4
0 0
sin os
/ 2
os sin 4
x c xdx
dx x
c x x
p p pp+ = = Þ =
+ò ò
Ví dụ 8
Tính F=
2
3
0
osxc xdx
p
ò
Lời giải:
Đặt x=2 t dx dtp - Þ = - và ta có
I=
0 2 2 2
3 3 3 3
2 0 0 0
(2 ) os (2 ) (2 ) os 2 os ost c t dt t c tdt c tdt tc tdt
p p p
p
p p p p- - - = - = -ò ò ò ò
2
3
0
2 osI c tdt
p
Þ = ò =
2
0
os3 3cos
0
4
c t t
dt
p +
=ò
Ví dụ 9:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 21
Tính M=
2
0
s inx
1 os
x
dx
c x
p
+ò
Lời giải:
Đặt x= t dx dtp - Þ = -
M=
2
0
s inx
1 os
x
dx
c x
p
+ò
=
0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
( )sin sin sin sin sin
2
1 os 1 os 1 os 1 os 2 1 os
t tdt tdt t tdt tdt tdt
M M
c t c t c t c t c t
p p p p
p
p pp p- = - Þ = Þ =
+ + + + +ò ò ò ò ò
Lại đặt u=cost suy ra du=sintdt
M=
1 1 2
2 2 2
0 1 0
s int
2 1 os 2 1 1 4
dt dt
dt
c t t t
pp p pp
-
= = =
+ + +ò ò ò
Nhận xét 8:
Lời giải của các bài toán trên dựa vầo tính chất :
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b thoả mãn f(x)=f(a+b-x) thì
( ) ( )
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
+
=ò ò
Đặc biệt hơn :
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ ]0;1 thì (s inx) (s inx)
2
xf dx f dx
p a p a
a a
p- -
=ò ò
Nếu f(x) là hàm số liên tục trên [ ]0;1 thì
2 2
( osx) ( osx)xf c dx f c dx
p a p a
a a
p
- -
=ò ò
Các tính chất này sẽ được chứng minh và ứng dụng trong kỹ thuật sử dụng lớp các
Tích phân đặc biệt .
IV-Kỹ thuật sử dụng Tích phân từng phần
Cơ sở lý thuyết :Theo công thức về phép tính vi phân ta có
d(uv)=udv+vdu
Hay udv=uv-vdu
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com 22
b b
b
a
a a
udv uv vdu...