Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Euclid đã tiến hành nghiên
cứu các mối quan hệ về khoảng cách và góc. Nhờ sự phát triển của toán
học, ngày nay mối quan hệ đó đã được tổng quát cho các không gian
n-chiều. Vậy một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách
và góc thỏa mãn các quan hệ Euclid được gọi là không gian Euclid nchiều. Tuy nhiên để gần gũi hơn với hình học THPT em đã tập trung
nghiên cứu hình học Euclid với số chiều là 3 hay còn được gọi là "Hình
học Euclid trong không gian".
Trong khóa luận này, em đã tập hợp nhiều nghiên cứu và trình
bày một cách có hệ thống các hệ tiên đề cùng với một số khái niệm cơ
bản của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian; mặt bậc hai trong
không gian Euclid.
Nội dung chính của khóa luận gồm có 4 chương:
Chương 1: Một số tiên đề và khái niệm: Trong chương này, em
trình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định lí được suy ra
từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hình học Euclid.
Chương 2: Mô hình vectơ trong không gian Euclid: Trong chương
này, em đã trình bày một cách cơ bản về mô hình vectơ trong không
gian như: tọa độ điểm, vectơ, các biểu thức tọa độ về tích vô hướng, tích
có hướng, tích hỗn tạp,...
Chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: Chương
này trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình của đường thẳng và
1
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Nguyễn Thị Hiền
mặt phẳng trong không gian, về vị trí tương đối cũng như khoảng cách
và góc của chúng.
Chương 4: Mặt bậc hai trong không gian Euclid: Trong chương này,
em đã nghiên cứu 12 mặt bậc hai là các mặt xác định bởi các phương
trình bậc hai đối với x, y, z trong không gian Oxyz.
2
Chương 1
Một số tiên đề và khái niệm
Chương này trình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định lí
được suy ra từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hình
học Euclid. Các kiến thức của chương được viết dựa trên các tài liệu [1],
[3].
1.1
Hệ tiên đề của hình học Euclid
Hệ tiên đề bao gồm:
(a) Sáu khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, thuộc, ở
giữa, toàn đẳng.
(b) 5 nhóm tiên đề:
I: Các tiên đề về liên thuộc
I1 : Có ít nhất hai điểm thuộc mỗi đường thẳng.
I2 : Có một và chỉ một đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho
trước.
I3 : Có ít nhất ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng.
3
I4 : Có một và chỉ một mặt phẳng thuộc ba điểm không thẳng hàng
(không cùng thuộc một đường thẳng).
I5 : Đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
I6 : Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì còn có một điểm
chung thứ hai khác nữa.
I7 : Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
II: Các tiên đề về thứ tự
II1 : Nếu điểm B ở giữa hai điểm A và C thì A, B và C là ba điểm
phân biệt cùng thuộc một đường thẳng và điểm B nằm giữa hai
điểm A và C.
II2 : Bất kì hai điểm A và C nào cũng có một điểm B sao cho C ở giữa
A và B.
II3 : Trong ba điểm cùng thuộc một đường thẳng không có quá một
điểm ở giữa hai điểm kia.
II4 : (Tiên đề Patso) Cho ba điểm A, B và C không cùng thuộc một
đường thẳng và cho đường thẳng a không đi qua hai điểm nào trong
ba điểm đó. Khi đó nếu đường thẳng a đi qua một điểm ở giữa A
và B thì nó còn đi qua một điểm ở giữa B và C hay ở giữa C và
A.
III: Các tiên đề về toàn đẳng
III1 : Cho điểm A thuộc đường thẳng a và CD là một đoạn thẳng bất
kì (đoạn thẳng hiểu là một tập hợp gồm hai điểm). Khi đó có hai
4
điểm B1 , B2 thuộc a sao cho AB1 và AB2 bằng đoạn CD. Kí hiệu
AB1 = CD, AB2 = CD. Với mỗi đoạn thẳng AB ta có AB = BA.
III2 : Quan hệ bằng giữa các đoạn thẳng có tính phản xạ, đối xứng, bắc
cầu:
i. AB = AB;
ii. Nếu AB = CD thì CD = AB;
iii. Nếu AB = CD, CD = EF thì AB = EF .
III3 : Cho điểm B ở giữa hai điểm A và C, điểm B ở giữa hai điểm A
và C . Khi đó nếu AB = A B , AC = A C thì BC = B C .
III4 : Cho góc (k, l) và nửa đường thẳng a có gốc O. Khi đó có duy nhất
hai nửa đường thẳng b và b có cùng gốc O sao cho (k, l) = (a, b )
và (k, l) = (a, b ).
III5 : Quan hệ bằng đối với các góc có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc
i. (k, l) = (k, l);
ii. Nếu (k, l) = (m, n) thì (m, n) = (k, l);
iii. Nếu (k, l) = (m, n), (m, n) = (p, q) thì (k, l) = (p, q);
iv. (k, l) = (l, k).
III6 : Nếu hai tam giác ABC và A B C (tam giác ABC là tập hợp
gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA và A, B, C không thẳng hàng)
có AB = A B , AC = A C , BAC = B A C thì ABC = A B C ,
ACB = A C B và BC = B C .
IV: Các tiên đề liên tục
5
IV1 : (Tiên đề Acsimet) Với bất kì hai đoạn thẳng AB và CD bao giờ
cũng có số tự nhiên n sao cho nAB ≥ CD.
IV2 : (Tiên đề Cangto) Giả sử trên đường thẳng a cho một dãy vô hạn
các đoạn thẳng A1 B1 , A2 B2 , ..., An Bn , .. sao cho mỗi đoạn thẳng
nằm trong đoạn thẳng trước nó và bất kì đoạn thẳng CD nào cho
trước bao giờ cũng có số tự nhiên n để An Bn < CD. Khi đó trên
đường thẳng a có một điểm X thuộc mọi đoạn thẳng của dãy đã
cho.
V: Tiên đề về đường thẳng song song
V : Qua mỗi điểm A không thuộc đường thẳng a có không quá một
đường thẳng b cùng nằm trong mặt phẳng P = (A, a) không có
điểm chung với a.
Định nghĩa 1.1. Điểm là một bộ ba số thực sắp thứ tự (x, y, z). Mặt
phẳng là một phương trình bậc nhất ba ẩn
Ax + By + Cz + D = 0,
trong đó A2 + B 2 + C 2 = 0. Đường thẳng là hệ phương trình
x = x0 + a1 t
y = y 0 + a2 t
z =z +a t
0
(1.1)
(1.2)
Điểm (x1 , y1 , z1 ) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu Ax1 +By1 +Cz1 +D =
0, thuộc đường thẳng (1.2) nếu có t = t1 sao cho
x1 = x0 + a1 t1 , y1 = y0 + a2 t1 , z1 = z0 + a3 t1 .
Ba điểm A = (x1 , y1 , z1 ), B = (x2 , y2 , z2 ), C = (x3 , y3 , z3 ) thuộc đường
thẳng (1.2) nếu có t1 , t2 , t3 sao cho
6
xi = x0 + a1 ti , yi = y0 + a2 ti , zi = z0 + a3 ti , i = 1, 2, 3.
Khi đó điểm B nằm giữa A và C nếu t1 < t2 < t3 hay t3 < t2 < t1 .
Đường thẳng (1.2) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu
A(x0 + a1 t) + B(y0 + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = 0, với mọi t.
Người ta dùng mô hình số học để nghiên cứu hình học Euclid, đó
là phương pháp tọa độ trong hình học Euclid.
Định lý 1.1. Mỗi mặt phẳng có ít nhất ba điểm.
Chứng minh:
Với mặt phẳng (α), có điểm A ∈ (α) (theo tiên đề I4 ), có điểm B ∈
/ (α)
(theo tiên đề I7 ). Theo tiên đề I2 , có đường thẳng d đi qua điểm A và
B. Theo tiên đề I3 , có điểm C ∈
/ d. Theo tiên đề I4 , có mặt phẳng (β) đi
qua điểm A, B và C. Theo tiên đề I6 , hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm
chung là D = A. Lại có theo tiên đề I7 , có điểm E ∈
/ (β).
Khi đó có mặt phẳng (γ) đi qua ba điểm A, D và E. Do đó hai
mặt phẳng (α) và (γ) có hai điểm chung là F và D.
Vậy mặt phẳng (α) có ít nhất ba điểm A, D và F .
Định lý 1.2. Trong ba điểm cùng thuộc một đường thẳng có đúng một
7
Cho ba điểm thẳng hàng A, B và C. Giả sử điểm A không nằm giữa hai
điểm B và C, điểm C không nằm giữa hai điểm A và B. Khi đó ta cần
chứng minh điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
Thật vậy, theo tiên đề I3 , có điểm D không thuộc đường thẳng
AB. Theo tiên đề II2 , có điểm E sao cho D ở giữa B và E. Mặt khác
theo tiên đề II4 , hai đường thẳng AD và EC cắt nhau tại F , là điểm
nằm giữa E và C. Tương tự hai đường thẳng CD và AE cắt nhau tại
G, là điểm nằm giữa A và E.
Xét
AEF và đường thẳng CDG, có điểm G nằm giữa A và E,
điểm C không nằm giữa E và F nên điểm D nằm giữa A và F .
F AC và đường thẳng EDB, có điểm D nằm giữa A và F ,
điểm E không nằm giữa F và C nên điểm B nằm giữa A và C.
Định lý 1.3. Mỗi đường thẳng có vô số điểm, do đó mỗi mặt phẳng và
cả không gian có vô số điểm.
Định lý 1.4. Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề
với nó.
8
Cho
ABC có ACx là góc ngoài tại C. Khi đó ta cần chứng minh
BAC < ACx.
Thật vậy, lấy I là trung điểm của cạnh AC và D là điểm đối xứng
của B qua I.
IAB và ICD có:
IA = IC
⇒ IAB =
IB = ID
AIB = CID
ICD (c-g-c)
⇒ BAC = ACD < ACx.
Định lý 1.5. Trong mặt phẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua
một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác.
Định lý 1.6. Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a có một đường thẳng
nằm trong mặt phẳng α = (A, a) và không có điểm chung với a.
Định lý 1.7. Tổng các góc trong của một tam giác không vượt quá
180o .
Định nghĩa 1.2. Nếu chọn một đoạn thẳng làm thước đo thì ta có thể
gán cho mỗi đoạn thẳng một số thực dương được gọi là số đo đoạn thẳng
sao cho hai đoạn thẳng toàn đẳng thì có số đo bằng nhau.
9
+ Tổng số đo của hai đoạn thẳng bằng số đo của tổng hai đoạn
thẳng đó.
+ Trên mỗi nửa đường thẳng Ox có một và chỉ một điểm A sao
cho số đo đoạn thẳng OA bằng một số thực dương cho trước.
1.2
Hệ tiên đề vectơ của hình học Euclide
Định nghĩa 1.3. Vectơ là một cặp điểm (A, B) sắp thứ tự và được kí
−→
hiệu là AB, trong đó A được gọi là điểm đầu, B được gọi là điểm cuối
của vectơ.
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không và
kí hiệu là 0.
Chú ý 1.1. Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ,
vectơ còn được kí hiệu là x, y, a, .... Những vectơ đó được gọi là vectơ
tự do trong không gian.
−−→
Định nghĩa 1.4. Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương với
nhau nếu đường thẳng AB và đường thẳng CD song song hay trùng
nhau.
Định nghĩa 1.5. Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng
hướng với nhau nếu chúng có cùng hướng đi từ điểm đầu đến điểm cuối,
ngược lại được gọi là hai vectơ ngược hướng với nhau.
Định nghĩa 1.6. Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ
AB và được kí hiệu là |AB|.
10
√
x2 được gọi là môđun (hay độ dài) của vectơ x và được
kí hiệu là |x|. Do đó x2 = |x|.
Số thực
Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu |x| = 1.
Tính chất:
i. |x| ≥ 0 và |x| = 0 ⇔ x = 0, ∀ x;
ii. |x2 | = x2 , ∀ x;
iii. |kx| = |k|.|x|, ∀ x;
iv. |x.y| ≤ |x|.|y|, ∀ x, y;
v. |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀ x, y.
−→ −−→
Định nghĩa 1.7. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng hướng và có độ dài bằng nhau, kí hiệu AB = CD.
Định nghĩa 1.8. Cho hai vectơ a và b, tổng của chúng là một vectơ,
được kí hiệu là a + b và được xác định như sau:
Từ một điểm A bất kì ta xác định được điểm B và điểm C sao cho
AB = a, BC = b. Khi đó ta có a + b = AC.
Vậy với ba điểm A, B và C bất kì trong không gian ta có:
−→ −−→ −→
AB + BC = AC.
Định nghĩa 1.9. Cho vectơ a và số thực k, tích của chúng là một vectơ,
kí hiệu là ka và được xác định như sau:
11
i. |ka| = |k|.|a|;
ii. ka và a cùng hướng nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0.
Nếu k = 0 thì ta có: 0.a = 0.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa ta có một số tính chất sau:
i. x + y = y + x, ∀ x, y;
ii. (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z;
iii. ∃ 0 : 0 + x = x + 0 = x;
iv. ∀ x, ∃ −x : x + (−x) = (−x) + x = 0;
v. α (x + y) = α x + α y, ∀ x, y, ∀ α ∈ R;
vi. (α + β) x = α x + β x, ∀ x, ∀ α, β ∈ R;
vii. (α β) x = α (β x), ∀ x, ∀ α, β ∈ R;
viii. 1. x = x. 1 = x, ∀x.
trong đó −x được gọi là vectơ đối của vectơ x.
Định nghĩa 1.10. Hệ {x1 , x2 , x3 } được gọi là hệ vectơ độc lập tuyến
tính nếu tồn tại α1 , α2 , α3 ∈ R duy nhất đồng thời bằng 0 sao cho:
α1 .x1 + α2 .x2 + α3 .x3 = 0.
Hệ vectơ không độc lập tuyến tính được gọi là hệ vectơ phụ thuộc
tuyến tính.
Định nghĩa 1.11. Cho hệ vectơ A = {x1 , x2 , x3 }. Hệ con S = {x1 , ...xi } ⊆
A, i = 1, 2, 3 được gọi là một cơ sở của hệ vectơ A nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
i. S là hệ vectơ độc lập tuyến tính;
12
ii. Mỗi vectơ của hệ A biểu diễn tuyến tính được qua hệ S.
Định nghĩa 1.12. Nếu hệ vectơ A có một cơ sở k vectơ thì số vectơ
của các cơ sở khác nhau cũng bằng k. Khi đó số k chung đó được gọi là
hạng của hệ vectơ A, kí hiệu là r(A).
Định nghĩa 1.13. Hạng của ma trận B là hạng của hệ vectơ cột của
nó, kí hiệu là r(B).
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng ba vectơ x, y, z đồng phẳng khi và chỉ khi
chúng phụ thuộc tuyến tính.
Giả sử ba vectơ x, y, z đồng phẳng.
Nếu hai trong ba vectơ đã cho cùng phương thì ba vectơ đó phụ
thuộc tuyến tính.
Nếu không có hai vectơ nào trong ba vectơ đó cùng phương thì từ
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Khoảng 300 năm TCN, nhà toán học Euclid đã tiến hành nghiên
cứu các mối quan hệ về khoảng cách và góc. Nhờ sự phát triển của toán
học, ngày nay mối quan hệ đó đã được tổng quát cho các không gian
n-chiều. Vậy một không gian n-chiều với các khái niệm về khoảng cách
và góc thỏa mãn các quan hệ Euclid được gọi là không gian Euclid nchiều. Tuy nhiên để gần gũi hơn với hình học THPT em đã tập trung
nghiên cứu hình học Euclid với số chiều là 3 hay còn được gọi là "Hình
học Euclid trong không gian".
Trong khóa luận này, em đã tập hợp nhiều nghiên cứu và trình
bày một cách có hệ thống các hệ tiên đề cùng với một số khái niệm cơ
bản của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian; mặt bậc hai trong
không gian Euclid.
Nội dung chính của khóa luận gồm có 4 chương:
Chương 1: Một số tiên đề và khái niệm: Trong chương này, em
trình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định lí được suy ra
từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hình học Euclid.
Chương 2: Mô hình vectơ trong không gian Euclid: Trong chương
này, em đã trình bày một cách cơ bản về mô hình vectơ trong không
gian như: tọa độ điểm, vectơ, các biểu thức tọa độ về tích vô hướng, tích
có hướng, tích hỗn tạp,...
Chương 3: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: Chương
này trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình của đường thẳng và
1
Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Nguyễn Thị Hiền
mặt phẳng trong không gian, về vị trí tương đối cũng như khoảng cách
và góc của chúng.
Chương 4: Mặt bậc hai trong không gian Euclid: Trong chương này,
em đã nghiên cứu 12 mặt bậc hai là các mặt xác định bởi các phương
trình bậc hai đối với x, y, z trong không gian Oxyz.
2
Chương 1
Một số tiên đề và khái niệm
Chương này trình bày sơ lược về hai hệ tiên đề cùng với một số định lí
được suy ra từ các hệ tiên đề đó và những khái niệm cơ bản của hình
học Euclid. Các kiến thức của chương được viết dựa trên các tài liệu [1],
[3].
1.1
Hệ tiên đề của hình học Euclid
Hệ tiên đề bao gồm:
(a) Sáu khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, thuộc, ở
giữa, toàn đẳng.
(b) 5 nhóm tiên đề:
I: Các tiên đề về liên thuộc
I1 : Có ít nhất hai điểm thuộc mỗi đường thẳng.
I2 : Có một và chỉ một đường thẳng thuộc hai điểm phân biệt cho
trước.
I3 : Có ít nhất ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng.
3
I4 : Có một và chỉ một mặt phẳng thuộc ba điểm không thẳng hàng
(không cùng thuộc một đường thẳng).
I5 : Đường thẳng có hai điểm thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của
đường thẳng đều thuộc mặt phẳng.
I6 : Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì còn có một điểm
chung thứ hai khác nữa.
I7 : Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
II: Các tiên đề về thứ tự
II1 : Nếu điểm B ở giữa hai điểm A và C thì A, B và C là ba điểm
phân biệt cùng thuộc một đường thẳng và điểm B nằm giữa hai
điểm A và C.
II2 : Bất kì hai điểm A và C nào cũng có một điểm B sao cho C ở giữa
A và B.
II3 : Trong ba điểm cùng thuộc một đường thẳng không có quá một
điểm ở giữa hai điểm kia.
II4 : (Tiên đề Patso) Cho ba điểm A, B và C không cùng thuộc một
đường thẳng và cho đường thẳng a không đi qua hai điểm nào trong
ba điểm đó. Khi đó nếu đường thẳng a đi qua một điểm ở giữa A
và B thì nó còn đi qua một điểm ở giữa B và C hay ở giữa C và
A.
III: Các tiên đề về toàn đẳng
III1 : Cho điểm A thuộc đường thẳng a và CD là một đoạn thẳng bất
kì (đoạn thẳng hiểu là một tập hợp gồm hai điểm). Khi đó có hai
4
điểm B1 , B2 thuộc a sao cho AB1 và AB2 bằng đoạn CD. Kí hiệu
AB1 = CD, AB2 = CD. Với mỗi đoạn thẳng AB ta có AB = BA.
III2 : Quan hệ bằng giữa các đoạn thẳng có tính phản xạ, đối xứng, bắc
cầu:
i. AB = AB;
ii. Nếu AB = CD thì CD = AB;
iii. Nếu AB = CD, CD = EF thì AB = EF .
III3 : Cho điểm B ở giữa hai điểm A và C, điểm B ở giữa hai điểm A
và C . Khi đó nếu AB = A B , AC = A C thì BC = B C .
III4 : Cho góc (k, l) và nửa đường thẳng a có gốc O. Khi đó có duy nhất
hai nửa đường thẳng b và b có cùng gốc O sao cho (k, l) = (a, b )
và (k, l) = (a, b ).
III5 : Quan hệ bằng đối với các góc có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc
i. (k, l) = (k, l);
ii. Nếu (k, l) = (m, n) thì (m, n) = (k, l);
iii. Nếu (k, l) = (m, n), (m, n) = (p, q) thì (k, l) = (p, q);
iv. (k, l) = (l, k).
III6 : Nếu hai tam giác ABC và A B C (tam giác ABC là tập hợp
gồm ba đoạn thẳng AB, BC, CA và A, B, C không thẳng hàng)
có AB = A B , AC = A C , BAC = B A C thì ABC = A B C ,
ACB = A C B và BC = B C .
IV: Các tiên đề liên tục
5
IV1 : (Tiên đề Acsimet) Với bất kì hai đoạn thẳng AB và CD bao giờ
cũng có số tự nhiên n sao cho nAB ≥ CD.
IV2 : (Tiên đề Cangto) Giả sử trên đường thẳng a cho một dãy vô hạn
các đoạn thẳng A1 B1 , A2 B2 , ..., An Bn , .. sao cho mỗi đoạn thẳng
nằm trong đoạn thẳng trước nó và bất kì đoạn thẳng CD nào cho
trước bao giờ cũng có số tự nhiên n để An Bn < CD. Khi đó trên
đường thẳng a có một điểm X thuộc mọi đoạn thẳng của dãy đã
cho.
V: Tiên đề về đường thẳng song song
V : Qua mỗi điểm A không thuộc đường thẳng a có không quá một
đường thẳng b cùng nằm trong mặt phẳng P = (A, a) không có
điểm chung với a.
Định nghĩa 1.1. Điểm là một bộ ba số thực sắp thứ tự (x, y, z). Mặt
phẳng là một phương trình bậc nhất ba ẩn
Ax + By + Cz + D = 0,
trong đó A2 + B 2 + C 2 = 0. Đường thẳng là hệ phương trình
x = x0 + a1 t
y = y 0 + a2 t
z =z +a t
0
(1.1)
(1.2)
Điểm (x1 , y1 , z1 ) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu Ax1 +By1 +Cz1 +D =
0, thuộc đường thẳng (1.2) nếu có t = t1 sao cho
x1 = x0 + a1 t1 , y1 = y0 + a2 t1 , z1 = z0 + a3 t1 .
Ba điểm A = (x1 , y1 , z1 ), B = (x2 , y2 , z2 ), C = (x3 , y3 , z3 ) thuộc đường
thẳng (1.2) nếu có t1 , t2 , t3 sao cho
6
xi = x0 + a1 ti , yi = y0 + a2 ti , zi = z0 + a3 ti , i = 1, 2, 3.
Khi đó điểm B nằm giữa A và C nếu t1 < t2 < t3 hay t3 < t2 < t1 .
Đường thẳng (1.2) thuộc mặt phẳng (1.1) nếu
A(x0 + a1 t) + B(y0 + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = 0, với mọi t.
Người ta dùng mô hình số học để nghiên cứu hình học Euclid, đó
là phương pháp tọa độ trong hình học Euclid.
Định lý 1.1. Mỗi mặt phẳng có ít nhất ba điểm.
Chứng minh:
Với mặt phẳng (α), có điểm A ∈ (α) (theo tiên đề I4 ), có điểm B ∈
/ (α)
(theo tiên đề I7 ). Theo tiên đề I2 , có đường thẳng d đi qua điểm A và
B. Theo tiên đề I3 , có điểm C ∈
/ d. Theo tiên đề I4 , có mặt phẳng (β) đi
qua điểm A, B và C. Theo tiên đề I6 , hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm
chung là D = A. Lại có theo tiên đề I7 , có điểm E ∈
/ (β).
Khi đó có mặt phẳng (γ) đi qua ba điểm A, D và E. Do đó hai
mặt phẳng (α) và (γ) có hai điểm chung là F và D.
Vậy mặt phẳng (α) có ít nhất ba điểm A, D và F .
Định lý 1.2. Trong ba điểm cùng thuộc một đường thẳng có đúng một
7
Cho ba điểm thẳng hàng A, B và C. Giả sử điểm A không nằm giữa hai
điểm B và C, điểm C không nằm giữa hai điểm A và B. Khi đó ta cần
chứng minh điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
Thật vậy, theo tiên đề I3 , có điểm D không thuộc đường thẳng
AB. Theo tiên đề II2 , có điểm E sao cho D ở giữa B và E. Mặt khác
theo tiên đề II4 , hai đường thẳng AD và EC cắt nhau tại F , là điểm
nằm giữa E và C. Tương tự hai đường thẳng CD và AE cắt nhau tại
G, là điểm nằm giữa A và E.
Xét
AEF và đường thẳng CDG, có điểm G nằm giữa A và E,
điểm C không nằm giữa E và F nên điểm D nằm giữa A và F .
F AC và đường thẳng EDB, có điểm D nằm giữa A và F ,
điểm E không nằm giữa F và C nên điểm B nằm giữa A và C.
Định lý 1.3. Mỗi đường thẳng có vô số điểm, do đó mỗi mặt phẳng và
cả không gian có vô số điểm.
Định lý 1.4. Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề
với nó.
8
Cho
ABC có ACx là góc ngoài tại C. Khi đó ta cần chứng minh
BAC < ACx.
Thật vậy, lấy I là trung điểm của cạnh AC và D là điểm đối xứng
của B qua I.
IAB và ICD có:
IA = IC
⇒ IAB =
IB = ID
AIB = CID
ICD (c-g-c)
⇒ BAC = ACD < ACx.
Định lý 1.5. Trong mặt phẳng có một và chỉ một đường thẳng đi qua
một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác.
Định lý 1.6. Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng a có một đường thẳng
nằm trong mặt phẳng α = (A, a) và không có điểm chung với a.
Định lý 1.7. Tổng các góc trong của một tam giác không vượt quá
180o .
Định nghĩa 1.2. Nếu chọn một đoạn thẳng làm thước đo thì ta có thể
gán cho mỗi đoạn thẳng một số thực dương được gọi là số đo đoạn thẳng
sao cho hai đoạn thẳng toàn đẳng thì có số đo bằng nhau.
9
+ Tổng số đo của hai đoạn thẳng bằng số đo của tổng hai đoạn
thẳng đó.
+ Trên mỗi nửa đường thẳng Ox có một và chỉ một điểm A sao
cho số đo đoạn thẳng OA bằng một số thực dương cho trước.
1.2
Hệ tiên đề vectơ của hình học Euclide
Định nghĩa 1.3. Vectơ là một cặp điểm (A, B) sắp thứ tự và được kí
−→
hiệu là AB, trong đó A được gọi là điểm đầu, B được gọi là điểm cuối
của vectơ.
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ không và
kí hiệu là 0.
Chú ý 1.1. Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ,
vectơ còn được kí hiệu là x, y, a, .... Những vectơ đó được gọi là vectơ
tự do trong không gian.
−−→
Định nghĩa 1.4. Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương với
nhau nếu đường thẳng AB và đường thẳng CD song song hay trùng
nhau.
Định nghĩa 1.5. Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng
hướng với nhau nếu chúng có cùng hướng đi từ điểm đầu đến điểm cuối,
ngược lại được gọi là hai vectơ ngược hướng với nhau.
Định nghĩa 1.6. Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài của vectơ
AB và được kí hiệu là |AB|.
10
√
x2 được gọi là môđun (hay độ dài) của vectơ x và được
kí hiệu là |x|. Do đó x2 = |x|.
Số thực
Vectơ x được gọi là vectơ đơn vị nếu |x| = 1.
Tính chất:
i. |x| ≥ 0 và |x| = 0 ⇔ x = 0, ∀ x;
ii. |x2 | = x2 , ∀ x;
iii. |kx| = |k|.|x|, ∀ x;
iv. |x.y| ≤ |x|.|y|, ∀ x, y;
v. |x + y| ≤ |x| + |y|, ∀ x, y.
−→ −−→
Định nghĩa 1.7. Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng
cùng hướng và có độ dài bằng nhau, kí hiệu AB = CD.
Định nghĩa 1.8. Cho hai vectơ a và b, tổng của chúng là một vectơ,
được kí hiệu là a + b và được xác định như sau:
Từ một điểm A bất kì ta xác định được điểm B và điểm C sao cho
AB = a, BC = b. Khi đó ta có a + b = AC.
Vậy với ba điểm A, B và C bất kì trong không gian ta có:
−→ −−→ −→
AB + BC = AC.
Định nghĩa 1.9. Cho vectơ a và số thực k, tích của chúng là một vectơ,
kí hiệu là ka và được xác định như sau:
11
i. |ka| = |k|.|a|;
ii. ka và a cùng hướng nếu k > 0 và ngược hướng nếu k < 0.
Nếu k = 0 thì ta có: 0.a = 0.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa ta có một số tính chất sau:
i. x + y = y + x, ∀ x, y;
ii. (x + y) + z = x + (y + z), ∀ x, y, z;
iii. ∃ 0 : 0 + x = x + 0 = x;
iv. ∀ x, ∃ −x : x + (−x) = (−x) + x = 0;
v. α (x + y) = α x + α y, ∀ x, y, ∀ α ∈ R;
vi. (α + β) x = α x + β x, ∀ x, ∀ α, β ∈ R;
vii. (α β) x = α (β x), ∀ x, ∀ α, β ∈ R;
viii. 1. x = x. 1 = x, ∀x.
trong đó −x được gọi là vectơ đối của vectơ x.
Định nghĩa 1.10. Hệ {x1 , x2 , x3 } được gọi là hệ vectơ độc lập tuyến
tính nếu tồn tại α1 , α2 , α3 ∈ R duy nhất đồng thời bằng 0 sao cho:
α1 .x1 + α2 .x2 + α3 .x3 = 0.
Hệ vectơ không độc lập tuyến tính được gọi là hệ vectơ phụ thuộc
tuyến tính.
Định nghĩa 1.11. Cho hệ vectơ A = {x1 , x2 , x3 }. Hệ con S = {x1 , ...xi } ⊆
A, i = 1, 2, 3 được gọi là một cơ sở của hệ vectơ A nếu thỏa mãn các
điều kiện sau:
i. S là hệ vectơ độc lập tuyến tính;
12
ii. Mỗi vectơ của hệ A biểu diễn tuyến tính được qua hệ S.
Định nghĩa 1.12. Nếu hệ vectơ A có một cơ sở k vectơ thì số vectơ
của các cơ sở khác nhau cũng bằng k. Khi đó số k chung đó được gọi là
hạng của hệ vectơ A, kí hiệu là r(A).
Định nghĩa 1.13. Hạng của ma trận B là hạng của hệ vectơ cột của
nó, kí hiệu là r(B).
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng ba vectơ x, y, z đồng phẳng khi và chỉ khi
chúng phụ thuộc tuyến tính.
Giả sử ba vectơ x, y, z đồng phẳng.
Nếu hai trong ba vectơ đã cho cùng phương thì ba vectơ đó phụ
thuộc tuyến tính.
Nếu không có hai vectơ nào trong ba vectơ đó cùng phương thì từ
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Tags: dùng tiên các tiên đề ơclit chứng minh qua một điểm cho truoc không thuộc duong thang co duy nhat mot duong thang song song, hình học Anfin và hình học ơclit, bài tập hình học tuyến tính ơclit, hình học euclide hệ tiên đề hinbe gồm những tiên đề nào, chứng minh C trên đoạn AB là không gian Euclide thực với tích vô hướng là fg