Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
LÝ THUYẾT.
1. Mệnh đề tồn tại và tính chất
Trong môn học này ta hay sử dụng hai mệnh đề sau đây:
• ∀ ∈ : () đúng (1)
• ∃ ∈ : () đúng (2)
(1) sẽ sai nếu có ∈ mà () sai
(2) chỉ sai khi ∀ ∈ : () sai
Phủ định của mệnh đề ⟹ chính là ∧ ¯ (đây là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng)
Phủ định của (1) chính là: ∃ ∈ : () sai Phủ định của (2) chính là: ∀ ∈ : () sai
Để chứng minh hai mệnh đề ⟺ ta chứng minh ⟹ và ⟹ .
2. Sự phụ thuộc
Trong mệnh đề ∀ ∈ , ∃ ∈ : (, ) đúng, phần tử y phụ thuộc vào phần tử x và đôi lúc ta sẽ viết = hay = () để nhấn mạnh sự phụ thuộc này.
Trong mệnh đề ∃ ∈ , ∀ ∈ : (, ) đúng, phần tử x là có trước, không phụ thuộc vào phần tử y.
3. Tập hợp
A là tập con của X ⟺ (∀ ∈ ta có ∈ )
Nếu một tập hợp mà mỗi phần tử lại là một tập hợp thì ta sẽ dùng từ lớp, chùm hay họ để tránh thuật ngữ “tập hợp các tập hợp”.
Ví dụ: Xét họ A gồm tất cả các tập con khác rỗng của X. Ta thường kí hiệu
A là ().
Vậy () = { ⊂ : ≠ ∅}
Họ tất cả các tập con của X, tức là () ∪ {∅} được kí hiệu là Ta kí hiệu ℕ là tập hợp các số nguyên dương (không thể số 0) ℕ ≔ ℕ ∪ {}
Để chứng minh hai tập hợp = ta chứng minh ⊂ và ⊂ .
Cho A là họ khác rỗng các tập hợp. Ta gọi hợp và giao của họ các tập này tương ứng là
∪∈A = {: ∃ ∈ A, ∈ }
∩∈A = {: ∈ , ∀ ∈ A}
Nếu họ A được đánh chỉ số bởi tập I (I có thể là tập hợp bất kì nào đó chứ không nhất thiết là tập hợp số), tức là
A = {: ∈ } = {}∈
thì hợp và giao nói trên được kí hiệu tương ứng là
∪∈ = {: ∃ ∈ , ∈ }
∩∈ = {: ∈ , ∀ ∈ }
Nếu ∩ = ∅, ∀, ∈ , ≠ thì {}∈ gọi là họ các tập rời nhau
Nếu = ℕ thì ngoài cách kí hiệu {}∈ℕ ta còn có thể kí hiệu {}∞ hoặc
{}∞. Hợp và giao của chúng được kí hiệu tương ứng là
∪∞ =∪∈ℕ và ∩∞ =∩∈ℕ
= =
Khi ⊂ và X được ngầm hiểu thì ta kí hiệu = \ là phần bù của E.
Cho họ tập hợp ()∈ các tập con của X. Ta có quy tắc đối ngẫu De Morgan
(∪∈ ) =∩∈ (∩∈ ) =∪∈
Tích Descartes của X và Y là
× = {(, ): ∈ , ∈ }
Cho A, B là các tập con của X.Ta có
∩ = ∅ ⟺ ⊂ ∖
⊂ ⟺ ∖ ⊂ ∖ ⟺ ∩ ( ∖ ) = ∅
∖∩∈ =∪∈ ( ∖ )
∖∪∈ =∩∈ ( ∖ )
( × ) ∩ ( × ) = ( ∩ ) × ( ∩ ) ( × ) ∪ ( × ) = × ( ∪ )
4. Ánh xạ
Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử ∈ với một và chỉ một phần tử ∈ được gọi là ánh xạ f từ X vào Y. Ta kí hiệu : → với = ().
X gọi là tập xác định và Y gọi là tập giá trị của ánh xạ f.
Nếu = () thì ta nói y là ảnh của x và x là tạo ảnh của y qua ánh xạ f. Ánh xạ : → ℝ hay : → ℂ gọi là hàm số.
Cho các ánh xạ : → ; : → . Ta gọi hợp thành của các ánh xạ này là ánh xạ ∘ xác định bởi
∘ : → ; ∘ () = [()]
Cho ánh xạ : → và ⊂ , ⊂ . Ta gọi ảnh của D là tập
() = {(): ∈ } ⊂
và tạo ảnh của E là tập
–() = {: () ∈ } ⊂
Ánh xạ : → gọi là
Đơn ánh nếu mọi , ∈ , ≠ thì () ≠ (). Điều này tương đương với mọi , ∈ , () = ()thì x= .
Toàn ánh nếu () = , tức là ∀ ∈ , ∃ ∈ : = ()
Song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.
Nếu f là toàn ánh thì thay cho cách nói f từ X vào Y ta còn nói là f từ X lên Y
Ánh xạ : → , () = , ∀ ∈ gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập X.
Nếu : → là song ánh thì tồn tại duy nhất ánh xạ –: → thỏa mãn
– ∘ = ; ∘ – = gọi là ánh xạ ngược của f. Cho ánh xạ : → và tập con ⊂ . Đặt
|: → , |() = ()
Ánh xạ | gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên D.
Cho ()∈ là họ các tập con của X, ()∈ là họ các tập con của Y. Cho A, B là các tập con của X , C, D là các tập con của Y, E là tập con của H. Ánh xạ : → , : →
⊂ ⟹ () ⊂ ()
⊂ ⟹ –() ⊂ –()
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
LÝ THUYẾT.
1. Mệnh đề tồn tại và tính chất
Trong môn học này ta hay sử dụng hai mệnh đề sau đây:
• ∀ ∈ : () đúng (1)
• ∃ ∈ : () đúng (2)
(1) sẽ sai nếu có ∈ mà () sai
(2) chỉ sai khi ∀ ∈ : () sai
Phủ định của mệnh đề ⟹ chính là ∧ ¯ (đây là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng)
Phủ định của (1) chính là: ∃ ∈ : () sai Phủ định của (2) chính là: ∀ ∈ : () sai
Để chứng minh hai mệnh đề ⟺ ta chứng minh ⟹ và ⟹ .
2. Sự phụ thuộc
Trong mệnh đề ∀ ∈ , ∃ ∈ : (, ) đúng, phần tử y phụ thuộc vào phần tử x và đôi lúc ta sẽ viết = hay = () để nhấn mạnh sự phụ thuộc này.
Trong mệnh đề ∃ ∈ , ∀ ∈ : (, ) đúng, phần tử x là có trước, không phụ thuộc vào phần tử y.
3. Tập hợp
A là tập con của X ⟺ (∀ ∈ ta có ∈ )
Nếu một tập hợp mà mỗi phần tử lại là một tập hợp thì ta sẽ dùng từ lớp, chùm hay họ để tránh thuật ngữ “tập hợp các tập hợp”.
Ví dụ: Xét họ A gồm tất cả các tập con khác rỗng của X. Ta thường kí hiệu
A là ().
Vậy () = { ⊂ : ≠ ∅}
Họ tất cả các tập con của X, tức là () ∪ {∅} được kí hiệu là Ta kí hiệu ℕ là tập hợp các số nguyên dương (không thể số 0) ℕ ≔ ℕ ∪ {}
Để chứng minh hai tập hợp = ta chứng minh ⊂ và ⊂ .
Cho A là họ khác rỗng các tập hợp. Ta gọi hợp và giao của họ các tập này tương ứng là
∪∈A = {: ∃ ∈ A, ∈ }
∩∈A = {: ∈ , ∀ ∈ A}
Nếu họ A được đánh chỉ số bởi tập I (I có thể là tập hợp bất kì nào đó chứ không nhất thiết là tập hợp số), tức là
A = {: ∈ } = {}∈
thì hợp và giao nói trên được kí hiệu tương ứng là
∪∈ = {: ∃ ∈ , ∈ }
∩∈ = {: ∈ , ∀ ∈ }
Nếu ∩ = ∅, ∀, ∈ , ≠ thì {}∈ gọi là họ các tập rời nhau
Nếu = ℕ thì ngoài cách kí hiệu {}∈ℕ ta còn có thể kí hiệu {}∞ hoặc
{}∞. Hợp và giao của chúng được kí hiệu tương ứng là
∪∞ =∪∈ℕ và ∩∞ =∩∈ℕ
= =
Khi ⊂ và X được ngầm hiểu thì ta kí hiệu = \ là phần bù của E.
Cho họ tập hợp ()∈ các tập con của X. Ta có quy tắc đối ngẫu De Morgan
(∪∈ ) =∩∈ (∩∈ ) =∪∈
Tích Descartes của X và Y là
× = {(, ): ∈ , ∈ }
Cho A, B là các tập con của X.Ta có
∩ = ∅ ⟺ ⊂ ∖
⊂ ⟺ ∖ ⊂ ∖ ⟺ ∩ ( ∖ ) = ∅
∖∩∈ =∪∈ ( ∖ )
∖∪∈ =∩∈ ( ∖ )
( × ) ∩ ( × ) = ( ∩ ) × ( ∩ ) ( × ) ∪ ( × ) = × ( ∪ )
4. Ánh xạ
Cho hai tập hợp X và Y. Một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử ∈ với một và chỉ một phần tử ∈ được gọi là ánh xạ f từ X vào Y. Ta kí hiệu : → với = ().
X gọi là tập xác định và Y gọi là tập giá trị của ánh xạ f.
Nếu = () thì ta nói y là ảnh của x và x là tạo ảnh của y qua ánh xạ f. Ánh xạ : → ℝ hay : → ℂ gọi là hàm số.
Cho các ánh xạ : → ; : → . Ta gọi hợp thành của các ánh xạ này là ánh xạ ∘ xác định bởi
∘ : → ; ∘ () = [()]
Cho ánh xạ : → và ⊂ , ⊂ . Ta gọi ảnh của D là tập
() = {(): ∈ } ⊂
và tạo ảnh của E là tập
–() = {: () ∈ } ⊂
Ánh xạ : → gọi là
Đơn ánh nếu mọi , ∈ , ≠ thì () ≠ (). Điều này tương đương với mọi , ∈ , () = ()thì x= .
Toàn ánh nếu () = , tức là ∀ ∈ , ∃ ∈ : = ()
Song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh.
Nếu f là toàn ánh thì thay cho cách nói f từ X vào Y ta còn nói là f từ X lên Y
Ánh xạ : → , () = , ∀ ∈ gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập X.
Nếu : → là song ánh thì tồn tại duy nhất ánh xạ –: → thỏa mãn
– ∘ = ; ∘ – = gọi là ánh xạ ngược của f. Cho ánh xạ : → và tập con ⊂ . Đặt
|: → , |() = ()
Ánh xạ | gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên D.
Cho ()∈ là họ các tập con của X, ()∈ là họ các tập con của Y. Cho A, B là các tập con của X , C, D là các tập con của Y, E là tập con của H. Ánh xạ : → , : →
⊂ ⟹ () ⊂ ()
⊂ ⟹ –() ⊂ –()
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links