LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
Chương 1
Không gian metric
Không gian metric là kết quả của sự khái quát hóa nhiều đối tượng toán học cụ
thể như tập số thực R, tập số phức C, không gian Euclid Rk, hay tập C[a, b] các
hàm số liên tục trên đoạn [a, b], . . . Đến lượt nó, không gian metric lại là cơ sở
để hình thành một khái niệm tổng quát hơn là không gian tôpô, sẽ được nghiên
cứu trong chương sau. Nghiên cứu không gian metric sẽ cho chúng ta cái nhìn
bản chất và tổng quát về những vấn đề cơ sở của giải tích.
1.1 Không gian metric và sự hội tụ
1.1.1 Khái niệm không gian metric
Trong giải tích cổ điển ta đã biết: Chuyển qua giới hạn là phép toán cơ bản, nhờ
nó ta xây dựng các khái niệm liên tục, vi phân và tích phân. Khái niệm giới han
được xây dựng dựa vào khái niệm khoảng cách. Chẳng hạn, ta nói dãy số thực
{xn} có giới hạn là số x nếu khoảng cách từ xn đến x (tức là số |xn − x|) bé
hơn số dương tùy ý cho trước miễn là n đủ lớn. Trong khi nghiên cứu những
vấn đề của giải tích, người ta thấy có những điều đáng lưu ý sau đây:
• Nhiều sự kiện được chứng minh chỉ dựa trên tính chất của khoảng cách,
mà không phụ thuộc vào tính chất khác (chẳng hạn tính chất của các phép
toán đại số trên R );
• Có thể bắt gặp khoảng cách giữa các đối tượng của nhiểu lớp khác nhau
(như các số, các hàm, ...).
Từ đó, để nghiên cứu bản chất chung của những sự kiện riêng lẻ này, người ta
trừu tượng hóa khái niệm khoảng cách để dẩn đển khái niệm không gian metric.
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một hàm số d : X × X → [0, +∞) được
gọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau đây
3
1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X.
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Nếu d là một metric trên X thì cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.
Ví dụ 1.1.1. Hàm số d(x, y) = |x − y| là một metric trên R, và gọi là metric
thông thường trên R.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều. Với hai phần tử
x = (x1, . . . , xk) và y = (y1, . . . , yk) của Rk, ta định nghĩa
d2(x, y) = √(x1 − y1)2 + . . . + (xk − yk)2,
d∞(x, y) = max{|x1 − y1|, . . . , |xk − yk|},
d1(x, y) = |x1 − y1| + . . . + |xk − yk|.
khi đó d1, d2 và d∞ là những metric trên Rk. Metric d2 được gọi là metric Euclid.
Việc kiểm tra đối với d∞ và d1 là dễ dàng và xin dành cho người học. Đối
với d2, các tiên đề 1-2 là rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3 tức là chứng
minh: √
√
√
√ k∑
i=1
(xi − zi)2 ≤
√
√
√
√ k∑
i=1
(xi − yi)2 +
√
√
√
√ k∑
i=1
(yi − zi)2.
Đặt ai = xi − yi, bi = yi − zi khi đó ai + bi = xi − zi. Mặt khác
d2(x, z) =
k∑
i=1
(ai + bi)2 =
k∑
i=1
a2
i +
k∑
i=1
b2
i + 2
k∑
i=1
aibi.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho số hạng sau cùng ta được
Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Ví dụ 1.1.3. Cho X là tập khác rỗng bất kỳ. Xét hàm số trên X × X cho bởi
d(x, y) =
{
0, nếu x = y,
1, nếu x 6 = y.
Khi đó d là một metric trên X, gọi là metric rời rạc.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Chương 1
Không gian metric
Không gian metric là kết quả của sự khái quát hóa nhiều đối tượng toán học cụ
thể như tập số thực R, tập số phức C, không gian Euclid Rk, hay tập C[a, b] các
hàm số liên tục trên đoạn [a, b], . . . Đến lượt nó, không gian metric lại là cơ sở
để hình thành một khái niệm tổng quát hơn là không gian tôpô, sẽ được nghiên
cứu trong chương sau. Nghiên cứu không gian metric sẽ cho chúng ta cái nhìn
bản chất và tổng quát về những vấn đề cơ sở của giải tích.
1.1 Không gian metric và sự hội tụ
1.1.1 Khái niệm không gian metric
Trong giải tích cổ điển ta đã biết: Chuyển qua giới hạn là phép toán cơ bản, nhờ
nó ta xây dựng các khái niệm liên tục, vi phân và tích phân. Khái niệm giới han
được xây dựng dựa vào khái niệm khoảng cách. Chẳng hạn, ta nói dãy số thực
{xn} có giới hạn là số x nếu khoảng cách từ xn đến x (tức là số |xn − x|) bé
hơn số dương tùy ý cho trước miễn là n đủ lớn. Trong khi nghiên cứu những
vấn đề của giải tích, người ta thấy có những điều đáng lưu ý sau đây:
• Nhiều sự kiện được chứng minh chỉ dựa trên tính chất của khoảng cách,
mà không phụ thuộc vào tính chất khác (chẳng hạn tính chất của các phép
toán đại số trên R );
• Có thể bắt gặp khoảng cách giữa các đối tượng của nhiểu lớp khác nhau
(như các số, các hàm, ...).
Từ đó, để nghiên cứu bản chất chung của những sự kiện riêng lẻ này, người ta
trừu tượng hóa khái niệm khoảng cách để dẩn đển khái niệm không gian metric.
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một hàm số d : X × X → [0, +∞) được
gọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau đây
3
1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X.
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Nếu d là một metric trên X thì cặp (X, d) được gọi là một không gian metric.
Ví dụ 1.1.1. Hàm số d(x, y) = |x − y| là một metric trên R, và gọi là metric
thông thường trên R.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều. Với hai phần tử
x = (x1, . . . , xk) và y = (y1, . . . , yk) của Rk, ta định nghĩa
d2(x, y) = √(x1 − y1)2 + . . . + (xk − yk)2,
d∞(x, y) = max{|x1 − y1|, . . . , |xk − yk|},
d1(x, y) = |x1 − y1| + . . . + |xk − yk|.
khi đó d1, d2 và d∞ là những metric trên Rk. Metric d2 được gọi là metric Euclid.
Việc kiểm tra đối với d∞ và d1 là dễ dàng và xin dành cho người học. Đối
với d2, các tiên đề 1-2 là rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3 tức là chứng
minh: √
√
√
√ k∑
i=1
(xi − zi)2 ≤
√
√
√
√ k∑
i=1
(xi − yi)2 +
√
√
√
√ k∑
i=1
(yi − zi)2.
Đặt ai = xi − yi, bi = yi − zi khi đó ai + bi = xi − zi. Mặt khác
d2(x, z) =
k∑
i=1
(ai + bi)2 =
k∑
i=1
a2
i +
k∑
i=1
b2
i + 2
k∑
i=1
aibi.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho số hạng sau cùng ta được
Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Ví dụ 1.1.3. Cho X là tập khác rỗng bất kỳ. Xét hàm số trên X × X cho bởi
d(x, y) =
{
0, nếu x = y,
1, nếu x 6 = y.
Khi đó d là một metric trên X, gọi là metric rời rạc.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links