duythuc_manu
New Member
Download miễn phí Đề tài Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học robot song song
2.1.4 Các góc quay Euler và ma trận quay Euler
2.1.4.1 Xác định ma trận cosin chỉ hướng từ các góc Euler
Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi hệ qui chiếu động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 (Hình 2.7). Giả sử giao của mặt phẳng Ox0y0 và mặt phẳng Oxy là trục OK. Trục OK này được gọi là đường nút.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Chương 2:Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học Robot song song
2.1 Cơ sở lý thuyết phân tích động học vật rắn.
2.1.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn.
Cho vật rắn B và hệ qui chiếu R0=.Trong đó , , là ba vector đơn vị trên các trục Ox0,Oy0,Oz0. Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ qui chiếu R= với ,, là ba vector đơn vị trên các trục Ax,Ay,Az (Hình 2.1).
Hình 2.1
Định nghĩa : Ma trận vuông cấp ba
(2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R0.
Nếu ta đưa vào ký hiệu :
, (i,j = 1,2 3) (2.2)
Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng:
(2.3)
Từ định nghĩa trên, trong hệ qui chiếu R0 ta có các hệ thức liên hệ:
(2.4)
Nếu ta ký hiệu ei là ma trận cột gồm các phần tử của vector trong hệ qui chiếu R0
, , (2.5)
Thì ma trận cosin chỏ hướng (2.3) có dạng:
A=[e1,e2,e3] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn.
2.1.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng
a) Tính chất 1: Ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6) :
A=[e1,e2,e3]
Vậy ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba vector trực chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao.
Hệ quả: Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng có 3 thành phần độc lập.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.AT=E. Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ phương như sau:
,
Do vậy chỉ có ba thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập.
b) Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1.
Từ hệ thức A.AT = E ta suy ra:
det(A.AT) = det(A).det(AT) = det(E) = 1
Do : det(A) = det(AT) nên to có det(A) = . Ta có thể chứng minh det(A) = 1.
c) Tính chất 3 : Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng .
2.1.1.3 ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Xét hai hệ qui chiếu R0 và R có cùng gốc O. Trong đó hệ qui chiếu R0 Ox0y0x0 là hệ qui chiếu cố định, hệ qui chiếu R Oxyz gắn liền với vật rắn B. Lờy một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B. Vị trí của điểm P được xác định bởi vector định vị . (Hình vẽ 2.2)
Hình 2.2
Ký hiệu các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là xP, yP, zP, các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 là , , . Ta có các hệ thức sau :
(2.7)
(2.8)
Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được :
(2.10)
Hay :
(2.11)
So sánh các biểu thức (2.7) và (2.11) ta suy ra hệ phương trình :
(2.12)
Hệ phương trình (2.12) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau :
(2.13)
Từ hệ phương trình (2.13) ta rút ra kết luận sau : Ma trận cosin chỉ hướng A biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ qui chiếu động Oxyz sang các tọa độ của điểm P đó trong hệ qui chiếu cố định Ox0 y0z0.
2.1.2 Các ma trận quay cơ bản
Ta qui ước hướng quay dương là hướng quay ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (Hình 2.3).
Hình 2.3
Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là phép quay cơ bản.
Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x0 một góc (Hình 2.4).
Hình 2.4
Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:
(2.14)
= (2.15)
Ma trận (2.15) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x0.
Bằng cách tương tự, ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các trục y0 và z0 (Hình 2.5)
, (2.16)
Từ các công thức (2.15) và (2.16) ta dễ dàng tính được:
(2.17)
Hình 2.5
2.1.3 Các tọa độ thuần nhất và ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất
Khái niệm toạ độ thuần nhất được Denavit Hartenberg đưa ra năm 1955,và hiện nay đang được dùng rất rộng rãi trong tính toán động học robot.
2.1.3.1 Các toạ độ thuần nhất
Định nghĩa: Cho X={x1,x2,..xn} là một điểm trong không gian n chiều Rn .Tập hợp (n+1) phần tử (y1,y2,..yn,yn+1) với (yn+1 ạ0) và:
(2.18)
Gọi là toạ độ thuần nhất của X.
Trong kỹ thuật,người ta thường chọn (yn+1=1).
Vậy điểm P(x,y,z) trong toạ độ vật lý R3 được biểu diễn trong toạ độ thuần nhất R4 như sau:
P=[x,y,z]T Û P=[x,y,z,1]T
Trong R3 Trong toạ độ thuần nhất R4
Nhờ khái niệm toạ độ thuần nhất trong không gian 4 chiều ta có thể chuyển bài toán cộng ma trận cột trong không gian ba chiều sang bài toán nhân ma trận trong không gian bốn chiều.Cho và là hai vector trong không gian ba chiều,ta có:
a+b= (2.19)
Ta chuyển phép tính cộng (2.19) bằng phép tính nhân hai ma trận như sau:
(2.20)
2.1.3.2 Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất
Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX0Y0 Z0.Lấy một điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu AXYZ(Hình 2.6).Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B.Trong hệ toạ độ vật lý OX0Y0 Z0 ta có:
Hình (2.6)
(2.21)
Phương trình (2.21) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
(2.22)
Trong đó R là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B, là toạ độ của vectơ trong hệ qui chiếu .Nếu sử dụng hệ các toạ độ thuần nhất phương trình (2.22) có thể được viết lại dưới dạng:
(2.23)
Định nghĩa: Ma trận
H = (2.24)
được gọi là ma trận chuyển toạ độ thuần nhất của điểm P từ hệ Axyz sang hệ Ox0y0z0.
c)Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất:
Các ma trận quay cơ bản (2.15),(2.16) mở rộng ra trong hệ toạ độ thuần nhất bốn chiều có dạng như sau:
R(x,j)= (2.25)
R(y,y)= (2.26)
R(x,q)= (2.27)
Ngoài ra ta đưa vào khai niệm ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng:
T(a,b,c)= (2.28)
Trong đó ta thực hiện chuyển động tịnh tiến theo trục toạ độ x một doạn là a,theo trục toạ độ y một đoạn b,theo trục toạ độ z một đoạn c.
2.1.4 Các góc quay Euler và ma trận quay Euler
2.1.4.1 Xác định ma trận cosin chỉ hướng từ các góc Euler
Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi hệ qui chiếu động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 (Hình 2.7). Giả sử giao của mặt phẳng Ox0y0 và mặt phẳng Oxy là trục OK. Trục OK này được gọi là đường nút.
Hình 2.7
Ta đưa vào các ký hiệu sau :
- Góc giữa trục Ox0 và OK là
- Góc giữa trục Oz0 và Oz là
- Góc giữa trục OK và Ox là
Ba góc được gọi là góc Euler. Như thế, vị trí của vật rắn B đối với hệ qui chiếu cố định được xác định bởi ba tọa độ suy rộng . Phương trình chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định có dạng:
(2.29)
Từ đó suy ra, vật rắn quay quanh một điểm cố định có ba bậc tự do.
Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 sang hệ qui chiếu động Oxyz bằng ba phép quay Euler như sau (Hình 2.8):
Hình 2.8
- Quay hệ qui chiếu R0 Ox0y0z0 quanh trục Oz0 một góc để trục Ox0 chuyển tới đường nút OK. Với phép quay này, hệ Ox0y0z0 chuyển sang hệ Ox1y1z1 với Oz0 Oz1.
- Quay hệ qui chiếu R1 Ox1y1z1 quanh trục Ox1 OK một góc để trục Oz0 Oz1 chuyển tới trục Oz2 Oz. Như thế hệ qui chiếu Ox1y1z1 chuyển sang hệ qui chiếu Ox2y2z2 với Ox1Ox2OK.
- Quay hệ qui chiếu R2Ox2y2z2 quanh trục Oz2Oz một góc để trục Ox2OK chuyển tới trục Ox. Với phép quay này hệ qui chiếu Ox2y2z2 chuyển sang hệ qui chiếu Oxyz với Oz2 Oz.
Như thế, bằng phép quay Euler quanh trục Oz0 một góc , quanh trục OK một góc ...