redman001vn
New Member
Download miễn phí Ôn thi Cao học Toán kinh tế - Phần thống kê
Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người
ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18
Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được xếp vào loại
B.
a) Giả sử trung bình tiêu chuẩn của chỉ tiêu X là 29cm. Hãy
nhận định về tình hình sản xuất với mức ý nghĩa 1%.
b) Theo qui định, gía trị trung bình của chỉ tiêu X là 25cm.
Các số liệu trên thu thập được từ các sản phẩm do một máy sản
xuất. Với mức ý nghĩa 2% có thể kết luận rằng các sản phẩm do
máy sản suất có chỉ tiêu X cao hơn qui định hay không?
c) Bằng phương pháp sản xuất mới, sau một thời gian, người
ta thấy giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại
B là 16cm. Hãy cho kết luận về phuơng pháp mới với mức ý nghĩa
2% (Giả sử X có phân phối chuẩn).
d) Theo số liệu thống kê cũ, gía trị trung bình của chỉ tiêu X
của những sản phẩm loại B là 16,5cm. Các số liệu trên thu thập
được sau khi đã áp dụng một phương pháp sản xuất mới. Hãy cho
kết luận về nhận định cho rằng phương pháp mới có tác dụng làm
giảm chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B với mức ý nghĩa 2%
(Giả sử X có phân phối chuẩn)
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
chính xác 9% và độ tin cậy 96% thì phải điều tra thêm ít nhất bao
nhiêu sản phẩm nữa?
Giải.
Các số liệu của bài toán đã được xét nhiều lần. Nhắc lại
rằng :
- Cỡ mẫu n = 100.
- Tỉ lệ mẫu các sản phẩm loại B là Fn = 0,17.
a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1- α khi lượng tỉ
lệ các sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 8% = 0,08.
Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
17
n nF (1 F )z
nα
−ε =
trong đó ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra
n n
n 100z 0,08. 2,13.
F (1 F ) 0,17(1 0,17)α
= ε = =− −
Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được độ tin cậy là
2 (z ) 2 (2,13) 2.0, 4834 96,68%.αγ = ϕ = ϕ = =
Vậy độ tin cậy đạt được là 96,68%.
b) Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng tỉ lệ các
sản phẩm loại B với độ chính xác ε = 9% = 0,09 và độ tin cậy
γ = 1- α = 96% = 0,96.
Ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
n nF (1 F )z
nα
−ε =
trong đó ϕ (zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48.
Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được zα = 2,06. Suy ra
2
n n
2
z F (1 F )n α −= ε
Thực tế yêu cầu:
2 2
n n
2 2
z F (1 F ) 2,06 .0,17(1 0,17)n 73,92.
0,09
α − −≥ = ≈ε
Giá trị n nguyên nhỏ nhất thoả bất đẳng thức trên là n1 = 74.
Vì n1 = 74 < 100 (100 là cỡ mẫu đang có) nên ta không cần điều
tra thêm sản phẩm nữa.
2.5. Ước lượng khoảng cho phương sai
Xét đám đông X có phân phối chuẩn và mẫu (X1, X2,..., Xn),
ta có các công thức ước lượng khỏang cho phương sai σ2 = D(X) với
độ tin cậy γ = 1 - α như sau:
18
Trường hợp 1: M(X)μ = đã biết:
2 2
i i
2 2
1
2 2
(X ) (X )
;
α α−
⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
trong đó 2
2
αχ và 2
1
2
α−
χ được cho trong bảng phân phối chi bình
phương χ2 ∼ χ2(n) với n bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ;
2
i(X )− μ∑ là tổng bình phương của mẫu (X1 - μ, X2 - μ,..., Xn- μ).
Trường hợp 2: M(X)μ = chưa biết:
2 2
2 2
1
2 2
(n 1)S (n 1)S;
α α−
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠
trong đó 2
2
αχ và 2
1
2
α−
χ được cho trong bảng phân phối chi bình
phương χ2 ∼ χ2 (k) với k = n-1 bậc tự do thỏa 2 2P( )αχ > χ = α ; S2 là
phương sai mẫu hiệu chỉnh.
• Bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n bậc tự do
cho ta các giá trị 2αχ thỏa 2 2P( )αχ > χ = α . Ví dụ: với n = 30;
α = 0,01 ta có 2 37,57αχ = .
(Trong một số tài liệu khác, kí hiệu 2αχ chỉ giá trị mà
2 2P( )αχ ≤ χ = α . Theo nghĩa này thì 2αχ chính là giá trị 21−αχ mà ta
đã xét ở trên).
Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người
ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số sản phẩm 8 9 20 16 16 13 18
Giả sử X có phân phối chuẩn. Hãy ước lượng phương sai của X với
độ tin cậy 95% trong mỗi trường hợp sau:
19
a) Biết giá trị trung bình của X là 25cm.
b) Chưa biết giá trị trung bình của X.
Giải.
a) Giả thiết cho ta μ = M(X) = 25. Ta có ước lượng khoảng của
phương sai với độ tin cậy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là:
2 2
i i
2 2
1
2 2
(X ) (X )
;
α α−
⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
Ta lập bảng:
Xi -μ -12 -8 -4 0 4 8 12
ni 8 9 20 16 16 13 18
Từ đó ta tìm được cỡ mẫu n = 100; 2i(X ) 5728− μ =∑ .
Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n) với n = 100 bậc tự
do ta được:
2 2 2 2
0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ =
Vậy ước lượng khoảng của phương sai là:
5728 5728; (46,08;73,50)
124,3 77,93
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của
loại sản phẩm trên từ 46,08(cm2) đến 73,50(cm2).
b) Ta có ước lượng khoảng của phương sai với độ tin cậy
γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) là:
2 2
2 2
1
2 2
(n 1)S (n 1)S;
α α−
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠
Các số liệu của bài toán đã được tính trong các ví dụ trước.
Nhắc lại rằng :
- Cỡ mẫu n = 100.
- ).(36,26 cmX =
- ).()4827,7( 222 cmS =
20
Tra bảng phân phối chi bình phương χ2 ∼ χ2 (n-1) với n-1 = 99 ≈100
bậc tự do ta được:
2 2 2 2
0,05 1 0,95124,3 và 77,93α −αχ = χ = χ = χ =
Vậy ước lượng khoảng của phương sai là:
2 299.(7,4827) 99.(7,4827); (44,59;71,13)
124,3 77,93
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Nói cách khác, với độ tin cậy 95%, phương sai của chỉ tiêu X của
loại sản phẩm trên từ 44,59(cm2) đến 71,13(cm2).
§3. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
3.1. Kiểm định giả thiết về kỳ vọng
1) Bài toán: Xét đám đông X có kỳ vọng μ = M(X) chưa
biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào mẫu (X1, X2,…,
Xn) để kiểm định giả thiết:
H0: μ = μ0 (μ0 là hằng số ) với giả thiết đối H1: μ ≠ μ0
với mức ý nghĩa α.
2) Qui tắc kiểm định: Ta có 4 trường hợp:
Trường hợp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) đã biết:
Bước 1: Tính 0
(X ) nt .− μ= σ
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2.
Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα :
• Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0.
• Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
Trường hợp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chưa biết:
Bước 1: Tính 0
(X ) nt .
S
− μ=
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả ϕ(zα)=(1- α)/2.
Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với zα :
• Nếu |t| ≤ zα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0.
• Nếu |t| > zα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
21
Trường hợp 3: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) đã biết:
Qui tắc kiểm định giống trường hợp 1.
Trường hợp 4: n < 30; X có phân phối chuẩn; σ2 = D(X) chưa biết:
Bước 1: Tính 0
(X ) nt .
S
− μ=
Bước 2: Đặt k = n - 1. Tra bảng phân phối Student ứng với bậc tự
do k và mức ý nghĩa α tìm giá trị kt tα α= .
Bước 3: Kiểm định bằng cách so sánh |t| với tα:
• Nếu |t| ≤ tα thì chấp nhận giả thiết H0: μ = μ0.
• Nếu |t| > tα thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
3) Chú ý khi thay đổi giả thiết đối: Trường hợp giả thiết
đối mang dấu bất đẳng thức thì qui tắc kiểm định có sự thay đổi
tương ứng như sau:
• Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ > μ0.
Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X > μ . Khi đó các giá trị
0(X ) nt − μ= σ hay
0(X ) nt
S
− μ= đều dương.
Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì
so sánh |t| với zα hay tα thì ta so sánh t với z2α hay t2α. Cụ thể:
Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu t ≤ z2α thì chấp nhận
giả thiết H0: μ = μ0. Nếu t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
Đối với trường hợp 4: Nếu t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết
H0: μ = μ0. Nếu t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
• Kiểm định H0: μ = μ0 với giả thiết đối H1: μ < μ0.
Bài toán này thường chỉ đặt ra khi 0X < μ . Khi đó các giá trị
0(X ) nt − μ= σ hay
0(X ) nt
S
− μ= đều âm.
Ta có qui tắc kiểm định tương tự như trên, trong đó thay vì
so sánh |t| với zα hay tα thì ta so sánh -t với z2α hay t2α. Cụ
thể:
Đối với các trường hợp 1, 2, 3: Nếu -t ≤ z2α thì chấp nhận
giả thiết H0: μ = μ0. Nếu -t > z2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
22
Đối với trường hợp 4: Nếu -t ≤ t2α thì chấp nhận giả thiết
H0: μ = μ0. Nếu -t > t2α thì bác bỏ giả thiết H0: μ = μ0.
Ví dụ: Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người
ta quan sát một mẫu và c