Download miễn phí Kỷ yếu hội thảo khoa học Môn toán học
MỤC LỤC
STT NỘI DUNG TRANG
LỜI NÓI ĐẦU
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC SINH GIỎI
Nguyễn Anh Tuấn (THPT chuyên Bắc Giang) 6
LÀM NGƯỢC BẤT ĐẲNG THỨC
Nguyễn Đức Vang (THPT chuyên Bắc Ninh) 27
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẤT
ĐẲNG THỨC SẮP XẾP LẠI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
Đào Quốc Huy, Tổ Toán – Tin, Trường THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam
TÍNH TUẦN HOÀN TRONG DÃY SỐ NGUYÊN
Ngô Thị Hải, trường THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 43
ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ỨNG DỤNG
Lê Đức Thịnh, THPT Chuyên Trần Phú – Hải Phòng 47
HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ HỌC
Trường THPT Chuyên Hưng Yên 56
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
Trần Xuân Đáng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định) 67
ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG
Đặng Đình Sơn, Chuyên Lương Văn Tụy – Ninh Bình 73
TỈ SỐ KÉP VÀ PHÉP CHIẾU XUYÊN TÂM
Trường THPT chuyên Thái Bình – Thái Bình 93
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
Trần Ngọc Thắng - THPT Chuyên Vĩnh Phúc 105
SỬ DỤNG CÔNG CỤ SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG
Trường THPT chuyên Hạ Long
BẤT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN LÝ THUYẾT TRÒ CHƠI
Phạm Minh Phương, trường THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 130
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
|-===
==÷
ø
ö
ç
è
æ=
å
åå
evìnneTd
neTene
d
n
edd
nd
ndnd
mj
mjjj
b) Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )å ====÷
ø
ö
ç
è
æ
nd
nneeTneeeTnd
i
n
di
|
11 .*****)( smjj (theo định lý
8)
=========================================================== 63
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com - Hội thảo khoa học môn Toán học lần thứ III - 2010
Nếu n là số nguyên tố
nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho p2|n,
nếu n có phân tích tiêu chuẩn là n = p1p2…pr,
r³2
nếu n là số nguyên tố
nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho p2|n,
nếu n có phân tích tiêu chuẩn là n = p1p2…pr,
r³2
Bài 2. Đặt ( ) ( )Õ Î"=
nd
Nndn
|
*mf . Chứng minh rằng
( )
ï
î
ï
í
ì-
=
1
0
1
nf
Giải
Sử dụng định lý 4 về công thức tính ( )nm , ta xét các trường hợp sau
· Nếu n là số nguyên tố thì ( ) ( ) ( ) 1)(1
|
-===Õ ndn
nd
mmmf
· Nếu tồn tại số nguyên tố p sao cho p2|n, thì mpn a=
với ( ) 1,,2 =γ pmvàNaa suy ra
( ) ( ) ( ) 0)(
||
=== ÕÕ
¹ a
mmmf a
pd
ndnd
ppdn
· Nếu n có phân tích tiêu chuẩn là n = p1p2…pr,( r³2) thì
( ) ( ) ( ) ÕÕÕÕ
£<<££<£= -
==
riii
riii
rii
ii
r
i
i
nd r
r
pppppppppdn
121
21
21
21
...1
21
11|
)...()...()...()()(1 mmmmmmmf
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) )...2(
)1(32
21
1321
1
11...111
r
rrr
r
r
r
rrrr
rCCC
rCCrCCC
n
n
+++
-
-=
-----=
-
f
f
Mà ( ) ( )
12121
12...2
--
-==+++
rrrr
rrr
nrasuyrrCCC f
Vì 2³r nên ( ) 11 ³-r . Ta có 22 1 ³-r hay ( ) 1=nf
Do đó trong mọi trường hợp ta đều có
( )
ï
î
ï
í
ì-
=
1
0
1
nf
Bài 3
Cho *, NnMf ÎÎ
a) Nếu n lẻ, chứng minh rằng ( ) ( ) ( ).1
||
/ åå =-
ndnd
dn dfdf
b) Nếu n chẵn, n = 2sm với 1³s , m lẻ, chứng minh
rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).221
|||
/ ååå -=-
mk
s
ndnd
dn kffdfdf
c)Tính giá trị của tổng S = ( )( ) ( )å --
nd
dn df
|
/ .11
Giải
a)Nếu n lẻ, d|n suy ra d lẻ và n|d cũng lẻ. Khi đó ta có ( ) 11 | -=- dn và
( ) ( ) ( )å åå -=-=-
nd ndnd
dn dfdfdf
| ||
| )()(1 (đpcm).
b)Nếu n chẵn, n = 2sm với 1³s và m lẻ thì có
Với d|n suy ra d có dạng 1,...,2,1,2 -== simd i hay ,2 kd i= trong đó i = 0,1,…,s
và k|m.
Ta có
=========================================================== 64
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com - Hội thảo khoa học môn Toán học lần thứ III - 2010
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )adungápkfkfmf
kfkfmf
kfmf
kfmfdf
mk
s
s
i mk
i
s
i
i
mk
skm
s
i mk
i
s
i
i
s
i mk
i
s
i
i
s
i mk
ikn
s
i
imn
nd
dn
k
m
is
is
ii
åååå
åååå
ååå
åååå
-+=
-++=
-+-=
-+-=-
-
=
-
=
-
=
-
=
=
-
=
=
-
=
-
-
|
1
0 |
1
1
|
/
1
0 |
1
1
0 |
2
1
1
2
0 |
2|
1
1
2/
|
/
222
2122
2121
21211
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )åå
å ååå
=-=
-+=
=
-
=
mk
ss
nd
s
i mk
s
mk
i
s
i
i
kvìkffdf
kfkfmf
||
0 ||
1
1
,1,2)(22
2222
suy ra ( ) ( ) ( ) ( )ååå -=-
mk
s
ndnd
dn kffdfdf
|||
/ .22)(1 (đpcm)
c) Nếu n lẻ theo câu a) ta có ( )( ) ( ) ( ).211
| |
/å å=--=
nd nd
dn dfdfS
Nếu n chẵn, n = 2sm, s³1,m lẻ thì theo câu b) ta được
( ) ( )ååå =--=
mk
s
nd
dn
nd
kffdfdfS
||
/
|
)(22)(1)(
Do đó ta có
ï
î
ï
í
ì
=
å
å
mk
s
nd
kff
df
S
|
|
)()2(2
)(2
Nhận xét: Từ bài toán trên ta có các kết quả sau
1. Nếu j=f , sử dụng hệ thức Gauss (bài 1) ta có
( ) ( )
î
í
ì-
=-å 01|
/ nd
nd
dn j
2. Nếu ( ) *Nnnnf Î"= thì
( )
ï
î
ï
í
ì
-
-
=-
å å
å
å +
nd mk
s
nd
nd
dn
kd
d
d
| |
1
|
|
/
2
1
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau
( ) ( )
( )
( )
( ) .*)()
.*)(*)()
.*)(*)()
*/)(/)()
2
||
3
2
3
2
22
|
2
|
2
Nnkdkdd
Nnndndc
Nnndndb
Nnkndkknkda
nknk
nknk
Î"÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
Î"=
Î"=
Î"=
åå
åå
m
m
mm
Giải
a)Theo định nghĩa tích chập, đẳng thức cần chứng minh tương đương với việc chứng
minh
nẳu n lẳ
nẳu n chẳn, n = 2sm, s³1,m lẳ
nếu n lẻ
nếu n chẵn
nếu n lẻ
nếu n chẵn, n = 2sm, s³1,m lẻ
=========================================================== 65
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com - Hội thảo khoa học môn Toán học lần thứ III - 2010
( )( ) ( )( )ndnd ** 22 mm = (1)
Do m,d là các hàm nhân tính nên dvàdd **,, 2222 mmm cũng là hàm nhân tính. Vì
vậy để chứng minh (1) ta chỉ cần chứng minh ( )( ) ( )( ),** 22 aa mm pdpd = với p nguyên tố
và 1³a
Thật vậy ta có
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 12111
1
*
22
122
0
22
+=+--+=
+=
=
-
=
-å
aaa
mm
mm
aa
a
aa
ppdpd
ppdpd
i
ii
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 12111
1
*
122
0
22
+=+--+=
+=
=
-
=
-å
aaa
mm
mm
aa
a
aa
pdppd
pdppd
i
ii
á
suy ra ( )( ) ( )( ).** 22 aa mm pdpd = (đpcm)
b) Giả sử rrpppn aaa ...21 21= là sự phân tích tiêu chuẩn của n.
Khi đó rrpppn aaa 222212 ...21= và ( ) ( )Õ
=
+=
r
i
ind
1
2 12a
Mặt khác theo câu a) ta có ( )( ) ( )( ) ÕÕ
==
+==
r
i
i
r
i
ipdnd
11
22 )12(** 1 amm a Þ
( ) )(*)( 22 ndnd m= (đpcm)
c) Do 23
2 *, mdd là hàm nhân tính. Để chứng minh đẳng thức đã cho ta chỉ cần chứng
minh ( )( )aa m pdpd 232 *)( = với mọi p nguyên tố và 1³a .
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ,112
1)*(
.1)(
222
1
2
2
2
3
2
3
0
2
3
2
3
22
+=++=+=
+==
+=
++
-
=
-å
aaa
mmmm
a
aa
aa
a
aa
a
CC
ppdpdppdpd
pd
i
i
ii
suy ra ( )( )aa m pdpd 232 *)( = Þ ( ) .*)(*)( 232 Nnndnd Î"= m
d) Ta có
( ) ( ) )(*/)()( 3
|
3
|
3 nedknekdkd
nknk
==åå
( )( )( ) ( ) ( )nednedknekdkd
nknk
22
2
|
2
|
**)/()()( ==÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
åå
Do đó đẳng thức cần chứng minh tương đương với phải chứng minh
( )( ) ( ) ( ) *** 23 Nnnedned Î"=
hay ( )( ) ( ) ( ),** 23 aa pedped = với mọi p nguyên tố và 1³a .
Thật vậy ta có
=========================================================== 66
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com - Hội thảo khoa học môn Toán học lần thứ III - 2010
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
4
21
4
21
1...21
1*
4
21
1...21
1*
222
2
2
0
2
0
22
333
0
3
0
3
0
33
++
=÷
ø
ö
ç
è
æ ++=++++=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+=÷
ø
ö
ç
è
æ
=
++
=++++=
+===
åå
ååå
==
-
===
-
aaaa
a
aaa
aa
aa
aaa
aa
ii
ii
ii
i
i
ii
ipepdped
ipdpepdped
Þ ( )( ) ( ) ( ),** 23 aa pedped = vậy ta có đpcm ( )
2
||
3 )( ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= åå
nknk
kdkd
Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho Mf Î , chứng minh rằng
a) f là hàm hoàn toàn nhân tính khi và chỉ khi .* 1* fff m=-
b) ( ) ( ) ( )( ) ppfdfd
npnd
,1
||
Õå -=m nguyên tố.
c) ( ) ( ) ( )( ) ppfdfd
npnd
,1
||
2 Õå -=m nguyên tố.
d).Nếu n là số nguyên dương, ký hiệu ( )nw là số các ước nguyên tố phân biệt của n thì
( ) ( )nw
nd
d 2
|
2 =åm
Bài 2. Gọi )(0 ns là kí hiệu tổng các ước lẻ của số nguyên dương n . Chứng minh rằng
a) .)1()(
/
||
0 dn
dn
nd
å --=s
b) ),2/(2)()(0 nnn sss -= với n là số chẵn.
c) )(0 ns là hàm nhân tính.
Bài 3. Chứng minh rằng
a) .*,2)( Nnnnd Î"£
b) .2,)()(2 ³Î"+£ nNnnnn js
c) .*,2)()( 2/)1( NnNknndnnn kkk
k ÎÎ"£££ +s
d) .*),()( Nnndnn Î"£ j
=========================================================== 67
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ - WWW.MATHVN.COM
www.MATHVN.com - Hội thảo khoa học môn Toán học lần thứ III - 2010
MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC
TRONG CÁC KÌ THI OLYMPIC TOÁN
Trần Xuân Đáng
(THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định)
Trong kỳ thi Olympic toán Quốc tế lần thứ 49 được tổ chức tại Tây Ban Nha có bài
toán sau (bài toán 1) mà tác giả của nó là Kestutis Cesnavicius (Lithuania) (Litva).
Bài toán 1: Chứng minh rằng tồn tại vô số số n...