CHUYÊN ĐỀ ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN

[daigai]

Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
…Lời giới thiệu: Toán học là một ngành khoa học mà hàng triệu con người đam mê theo đuổi. Đại số là
một trong ba nhánh lớn của cây đại thụ toán học. Mà trên đó, đa thức là một cành quan trọng. Đa thức nói
chung và đa thức hệ số nguyên nói riêng có những tính chất lí thú đẹp đẽ và nhiều ứng dụng.
Chuyên đề này chúng tui trình bày về đa thức hệ số nguyên. Kiến thức trong chuyên đề này là
những gì đơn giản và rất dễ hiểu. Nội dung bao gồm các định nghĩa, định lí và bài tập được trình bày cụ
thể như sau :
I) Kiến thức cần nhớ.
II)Bài toán ví dụ.
III)Bài tập áp dụng.
các bạn đam mê toán học đặc biệt là về đa thức có thể xem đây là tài liệu bổ ích để tham khảo.
Dù đã nỗ lực hết sức nhưng không thể tránh được những sai sót. Nhóm chúng tui rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của các bạn.
I) Kiến thức cần nhớ :
1)Khái niệm :
 Nếu đa thức 1
f x ( )  a x n n  a x n1 n   ... a x a a 1  0, n  0 có các hệ số ai  , i  0, n thì ta nói f(x) là
đa thức hệ số nguyên.
 Ta kí hiệu tập hợp các đa thức hệ số nguyên là Z x  .
2)Các định lí :
 Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên x  thì f x ( )  (x  ). ( ) g x với g(x) là đa thức hệ số
nguyên.
 Định lý 2: Cho f(x) là đa thức hệ số nguyên:
f x ( )  a x n n  a x n1 n   ... a x a 1  0 ( ai  ;i  0,1,2,...,n ) a,b là hai số nguyên khác nhau. Khi dó
f a ( ) f b ( ) (  a b  ) .
Chứng minh:
Ta có:
f a ( )  a a n n  a a n1 n   ... a a a 1  0
f b ( )  a b n n  a b n1 n   ... a b a 1  0
Suy ra: f a ( )  f b ( )  a a n( n bn)  an1(an1  bn1) ...   a a b 1(  )
Vì ak  bk (a b  ),  k nên f a ( ) f b ( ) (  a b  ) (đpcm).
 Định lý 3: Cho đa thức hệ số nguyên
0
( ) , 0
n
i
i n
i
f x a x a

   . Nếu x p , ( , ) 1, p q q 0
q
   là nghiệm của
f(x) thì p a | 0 và q a | n .
Chứng minh:
Giả sử phân số tối giản p
q
là nghiệm của đa thức f(x). Khi đó ta có :
1
1 1 ... 1 0 0
n n
n n n n
p p p p
f a a a a
q q q q

 
 
       
 
(1)
Và
(2)
Từ (1) suy ra a p n n chia hết q mà ( p q n, ) 1  nên an chia hết q.
Từ (2) suy ra a q 0 n chia hết p mà ( p q n, ) 1  nên a0 chia hết q. Suy ra đpcm.
1 2 1
 a p n n  q a ( n1 pn   ... a q 1 n p a q  0 n )
1 2 1
a q 0 n   p a p ( n n  an1 pn q ... a q 0 n )
Bài toán 2: Cho f(x), g(x) là hai đa thức với hệ số nguyên thỏa điều kiện F x ( )  f x ( ) 3  xg x ( ) 3 chia hết
cho đa thức x 2   x 1. Chứng minh rằng f(x), g(x) cùng chia hêt cho (x 1) .
Bài toán 1: [Vĩnh Long_2010] Tồn tại hay không một đa thức với hệ số nguyên mà f (26) 1931  và
f (3)  1995 ?
II) Bài tập ví dụ :
1) Dạng 1: Bài toán liên quan đến tính chia hết:
Giải
Giả sử tồn tại một đa thức với hệ số nguyên thỏa điều kiện đề bài.
Ta luôn có : f (26) f (3) (26 3) 23   
Nhưng f (26)  f (3) 1931 1995    64 23  .
Do đó không tồn tại đa thức hệ số nguyên thoả mãn đề bài (đpcm).
Giải
Ta có: F x ( )    f x ( ) 3  f (1)   x g x   ( ) 3  g(1)   f (1)  xg(1) (2.1)
f x ( ) 3  f (1) (  x3 1) (  x2   x 1)
g x ( ) 3  g(1) (  x3 1) (  x2   x 1)
Theo giả thiết, F x x ( ) 2   x 1 nên từ (2.1) suy ra f (1)  xg(1)x2   x 1. Mà f (1)  xg(1) có bậc bé hơn
hay bằng 1 nên f (1)  xg(1)   0 f (1)  g(1)  0 . Theo dịnh lý Bezout suy ra f x ( ) (  x 1) và
g x ( ) (  x 1) .
 Nhận xét : Để hai đa thức f(x), g(x) cùng chia hết cho x1, theo định lý Bezout thì ta cần chứng
minh
x0 1 là nghiệm của f(x) và g(x), tức là f (1)  g(1)  0 .Một cách tự nhiên ta thêm bớt f(1), g(1) vào
và áp dụng định lý 2 để đi đến kết quả.
Bài toán 3 : Cho hai đa thức f x ( )  ax3  bx2  cx d  và g x ( )  dx3  cx2  bx a  có hệ số a,b,c,d
nguyên và d không chia hết cho 5. Giả sử f(m) chia hết cho 5, m . Chứng minh rằng có thể tìm được
n, n , sao cho g(n) chia hết cho 5.
Giải
Ta có:
f m ( )  am3  bm2  cm d  5 và d  5  m 5
Do đó tồn tại số nguyên n sao cho mn  1 (mod 5)


Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:

You must be registered for see links

 

Tags: tính chất đa thức với hệ số nguyên, đa thức f với hệ số nguyên, Đa thức hệ số nguyên, Chứng minh f(a)-f(b) chia hết cho a-b, Tính chất của đa thức