Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 CHUỖI FOURIER 18
2.1 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28
2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31
2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36
2.2.12 Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42
2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH
CHUỖI FOURIER. 53
3.1 Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
3.3 Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9 Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
KẾT LUẬN 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng
trong thực tế cuộc sống.
Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì.
Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong
những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các
hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán
học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos
nπx
n
và sin
nπx
n
.
Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm
số thành chuỗi Fourier.
Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier"
làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành
chuỗi Fourier.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại
Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số
Fourier.
4
- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình
thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển
một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học.
Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là:
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và
trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận.
5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và
chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng
đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một
số hàm số thành chuỗi Fourier.
6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi
hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu
mà không chứng minh.
Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier.
5
Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu
một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.
Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier,
và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của
một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa
vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier.
Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị.
6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Chuỗi số thực.
1.1.1 Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử {u
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Chuỗi số thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Phần dư của một chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Tính chất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Tiêu chuẩn hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Chuỗi số dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.6 Chuỗi đan dấu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.7 Chuỗi số bất kì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Dãy hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Chuỗi hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 CHUỖI FOURIER 18
2.1 Chuỗi lượng giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
2.1.4 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.6 Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Bổ đề (Riman). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.5 Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.6 Công thức Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.8 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier. . . . 28
2.2.9 Tính chất đầy đủ của các hệ đa thức. . . . . . . . . . . . . 31
2.2.10 Tính chất của các hệ số Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.11 Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier. . . 36
2.2.12 Định lý (Đini). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.13 Dạng phức của chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. . . . . . . 42
2.3.2 Khai triển Fourier tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHAI TRIỂN MỘT SỐ HÀM SỐ THÀNH
CHUỖI FOURIER. 53
3.1 Bài toán 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Bài toán 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
3.3 Bài toán 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Bài toán 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.5 Bài toán 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6 Bài toán 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Bài toán 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.8 Bài toán 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9 Bài toán 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.10 Bài tập tự giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
KẾT LUẬN 66
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
3
PHẦN MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích là một trong những ngành quan trọng của toán học và mang nhiều ứng dụng
trong thực tế cuộc sống.
Trong cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều hiện tượng có tính chất quay vòng, chu kì.
Toán học gọi đó là các vấn đề liên quan đến khái niệm hàm số tuần hoàn. Một trong
những loại hàm tuần hoàn thường xét là hàm số y = Asin(ωx + α). Việc trực tiếp xét các
hiện tượng nêu trên là tương đối khó. Bởi vậy, để đơn giản hóa vấn đề này, các nhà toán
học đã nghĩ ra cách biểu diễn chúng qua các hàm số lượng giác cos
nπx
n
và sin
nπx
n
.
Từ đó xuất hiện khái niệm chuỗi Fourier của một hàm số và khai triển một số hàm
số thành chuỗi Fourier.
Để làm sáng tỏ ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng là để làm quen nghiên cứu khoa
học, em đã chọn đề tài "Chuỗi Fourier và khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier"
làm khóa luận tốt nghiệp của mình dưới sự hướng dẫn của Th.S Phạm Thị Thái.
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
2.1. Mục đích nghiên cứu.
- Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier và cách khai triển một số hàm số thành
chuỗi Fourier.
- Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân.
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành Toán trường Đại
Học Tây Bắc và tất cả những ai yêu thích và quan tâm đến bộ môn giải tích.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ của chuỗi, và các tính chất của các hệ số
Fourier.
4
- Nghiên cứu về điều kiện để khai triển một hàm số thành một chuỗi Fourier.
- Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier và cách khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn về chuỗi Fourier, từ đó làm cơ sở hình
thành nên một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.
3. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Trong khuôn khổ của khóa luận chỉ nghiên cứu về chuỗi Fourier và cách khai triển
một số hàm số thường gặp thành chuỗi Fourier.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Vấn đề nghiên cứu trong khóa luận là vấn đề còn mới mẻ so với sinh viên bậc đại học.
Vì vậy phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là:
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hướng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và
trình bày theo đề cương nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận.
5. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận trình bày được hệ thống kiến thức: từ kiến thức cơ sở đến sự mở rộng và
chuỗi chuyên sâu về bộ môn giải tích, cụ thể là về chuỗi Fourier. Hơn nữa, khóa luận cũng
đã tổng hợp và nghiên cứu cơ bản một số tính chất của chuỗi Fourier và khai triển một
số hàm số thành chuỗi Fourier.
6. CẤU TRÚC CỦA KHÓA LUẬN.
Khóa luận được chia thành 3 chương với những nội dung chính sau đây:
Chương 1. Trình bày, hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản như: Chuỗi số, chuỗi
hàm số, chuỗi lượng giác làm cơ sở cho chương sau. Các nội dung kiến thức chỉ phát biểu
mà không chứng minh.
Chương 2: Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa về chuỗi Fourier.
5
Đồng thời nghiên cứu tính hội tụ, đạo hàm, tích phân của chuỗi Fourier và nghiên cứu
một số điều kiện để khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.
Trên cơ sở đó, chương này sẽ cung cấp định nghĩa khai triển hàm số thành chuỗi Fourier,
và khai triển Fourier tổng quát của một hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π , khai triển của
một hàm xác định trong một đoạn [a; b], thác triển chẵn, thác triển lẻ của một hàm. Dựa
vào đó để tính tổng của chuỗi Fourier.
Chương 3: Chương này trình bày một số bài toán có lời giải về khai triển một số
hàm số thành chuỗi Fourier. Trong chương này cũng đưa ra một số bài tập đề nghị.
6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Chuỗi số thực.
1.1.1 Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1. Giả sử {u
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links