Download miễn phí Bài giảng Lý thuyết điều khiển tự động - Khảo sát tính ổn định của hệ thống
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Định nghĩa
-Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc trưng của hệ thống khi có mộtthông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0 - > oo
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ë ä Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ
số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi
số ε dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh â å å ï á â å
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí dụ 4ï
Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên
phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải
mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định .
03842 234 =++++ ssss
Giải:
Bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh â å å ï á â å
Trường hợp đặc biệt 2ø ï ë ä
Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất
cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là A0(s).
Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
các hệ số chính là các hệ số của đa thức dA0(s)/ds, sau đó quá
trình tính toán tiếp tục.
Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A0(s) cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh â å å ï á â å
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Thí dụ 5ï
047884 2345 =+++++ sssss
Giải: Bảng Routh
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Routh â å å ï á â å
Đa thức phụ:
Thí dụ 5 (tt)ï
Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình
đặc trưng):
Kết luận:
Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc
trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.
Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.
Hệ thống ở biên giới ổn định
44)( 20 += ssA 08)(0 += sds
sdA⇒
044)( 20 =+= ssA js ±=⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 26
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitz â å å ï á â å
Qui tắc thành lập ma trận Hurwitzé ø ä ä
01
1
10 =++++ −− nnnn asasasa K
Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,
trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc:
Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n.
Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an .
Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở
bên trái đường chéo.
Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số chẳn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần
nếu ở bên trái đường chéo.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 27
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitzâ å å ï á â å
Dạng ma trận Hurwitzï ä
na
aaa
aaa
aaaa
aaaa
KKKK
MMMMM
K
K
K
K
0
00
00
0
0
420
531
6420
7531
Phát biểu tiêu chuẩnù å â å
Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức
con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 28
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitzâ å å ï á â å
Thí dụ 1ï
Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
0234 23 =+++ sss
=
240
031
024
0
0
0
31
20
31
aa
aa
aa
111 ==∆ a
102134
31
24
20
31
2 =×−×===∆ aa
aa
20102
31
24
2
0
0
0
20
31
3
31
20
31
3 =×=×===∆ aa
aa
a
aa
aa
aa
Giải:
Ma trận Hurwitz
Các định thức:
Kết luận: Hệ thống ổn định do các định thức đều dương
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 29
Tiêu chuẩn ổn định đại số: Tiêu chuẩn Hurwitzâ å å ï á â å
Các hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitzù ä û û â å
Hệ bậc 2 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
2,0 ,0 => iai
Hệ bậc 3 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
>−
=>
0
3,0 ,0
3021 aaaa
iai
Hệ bậc 4 ổn định nếu phương trình đặc trưng thỏa mãn điều kiện:
>−−
>−
=>
0
0
4,0 ,0
4
2
1
2
30321
3021
aaaaaaa
aaaa
iai
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 30
Phương pháp quỹ đạo nghiệm sốù õ ï ä á
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 31
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)ù õ ï ä á
Định nghĩa
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc trưng của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0 →∞.
Thí dụ: QĐNS của hệ thống có PTĐT có dạng
như hình vẽ dưới đây:
042 =++ Kss
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 32
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)ù õ ï ä á
Qui tắc vẽ QĐNSé õ
Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta
phải biến đổi tương đương phương trình đặc trưng về dạng:
0
)(
)(1 =+
sD
sNK
)(
)()(0 sD
sNKsG =
+=∠
=
pha kiệnĐiều
độ biên kiệnĐiều
)12()(
1)(
0
0
πlsG
sG
0)(1 0 =+ sG
Gọi n là số cực của G0(s) , m là số zero của G0(s)
Đặt:
(1)
(1) ⇔
⇔
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 33
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)ù õ ï ä á
Qui tắc vẽ QĐNSé õ
Qui tắc 1: Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương
trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.
Qui tắc 2:
Khi K = 0: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ các
cực của G0(s).
Khi K tiến đến +∞ : m nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến đến
m zero của G0(s), n−m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm
cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6.
Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Qui tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm số
nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẻ.
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 34
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)ù õ ï ä á
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)é õ
Qui tắc 7: : Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số nằm
trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
0=
ds
dK
Qui tắc 6: : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A
có tọa độ xác định bởi:
mn
zp
mn
OA
m
i
i
n
i
i
−
−
=−
−=
∑∑∑∑ == 11zerocực (pi và zi là các cực và các zero của G0(s) )
Qui tắc 5: : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo nghiệm
số với trục thực xác định bởi :
mn
l
−
+= πα )12( ),2,1,0( K±±=l
26 September 2006 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 35
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)ù õ ï ä á
Qui tắc vẽ QĐNS (tt)é õ
Qui tắc 8: : Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có thể
xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz hay thay
s=jω vào phương trình đặc trưng.
Qui tắc 9: Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức pj
được xác định bởi:
∑∑
≠==
−−−+= n
ji
i
ij
m
i
ijj ppzp
11
0 )arg()arg(180θ
Dạng hình học của công thức trên là:
θj= 1800 + (∑góc từ các zero đến cực p j )
− (∑góc từ các cực còn l...