anhlasaobango2000
New Member
Download miễn phí Luận văn Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình
MỤC LỤC
Mở đầu 3
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6
1.2. Khoảng cách 7
1.3. Không gian Hyperbolic 12
1.4. Đa tạp phức 13
1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14
1.6. Miền taut 17
Chương 2
MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
2.1. Mặt cực hạn 21
2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25
2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31
Kết luận 48
Tài liệu tham khảo 49
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ạ
00 x,z 0
x,z ,z z x,z , x,z
là xác định và liên tục trên
X K K'
nếu X’ là một lân cận đủ nhỏ của
X , và mỗi
0x,z
là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại
x D
thoả mãn
0x,z 0
z 0
.
Cho
P x,
là đa đĩa bán kính
tâm x. Cho
0x X,z K
và
z P x,
.
0
0 0 0
x,z
x,z x,z x,z
P x,
2 X K P x,
1 z x z z x
z
c
z x M z x ,
trong hằng số M là độc lập với z và x. Đặt
2c min logM,log
.
Chú ý rằng
B x, P x,
, đặt
x XU B x,
, với mỗi
>0
sao cho
U
là compact tương đối trong X.
Xét 2 trường hợp:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
+)
z X U
. Chọn
x X
sao cho
d z, X z x
. Khi đó
0 0x,z x,z 0
X D, z 0
, ta có
0 0
0
X 0 x,z 0 x,z
x,z
1
C z ,z z , z log
1 z
.
Vì
0 0x,z x,z
1 z 1 z M z x Md z, X
.
Nên
X 0 2C z ,z logM logd z, X c logd z, X
.
+)
z X U
. Vì
d z, X
. Do đó,
X 0 2C z ,z 0 log logd z, X c logd z, X
Miền giả lồi mạnh và miền taut có mối liên hệ khá chặt chẽ với nhau.
1.6. Miền taut [4]
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử M là một không gian phức:
a. Dãy
k k 1f Hol( ,M)
được gọi là phân kì compact nếu với mỗi
tập compact
K
và với mỗi tập compact
L M
tồn tại số
0j j K,L
sao cho
j 0f K L , j j
(
là đĩa đơn vị).
b. M được gọi là taut nếu mọi dãy
k k 1f Hol( ,M)
chứa một dãy
con hay hội tụ hay phân kì compact.
1.6.2. Định lí Kiernan
Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic.
Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut.
Các khẳng định ngược lại đều không đúng.
Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và
2 21 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | 1
là một lân cận của p trong M sao
cho
q B
.
2 2 2s 1 2 n 1 nB w ,w ,...,w ;| w | ... | w | s 1
.
sV p' M; p,p ' s
.
2z ; z 1
.
1.6.2.1. Định nghĩa : Một cặp có thứ tự
r,
các số dương được gọi là có
tính chất A nếu với mỗi ánh xạ chỉnh hình
f : M
với
rf 0 B
ta có
f B
.
1.6.2.2. Bổ đề : Nếu tồn tại cặp
r,
có tính chất A thì
, 0Md p q
.
Chứng minh bổ đề
Chọn hằng số c > 0 sao cho
d 0,a cd 0,a
với mọi
/ 2
.
Giả sử
0 1 m 1 m 1 mL p p ,p ,...,p q;a ,...,a ;f ,...,f
là một dây chuyền
Kobayashi nối p và q. Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả
sử
1 k / 2 0 1 k 1 r k ra ,...,a ,p ,p ,...,p B ,p B
.
Khi đó :
k k
i i
i 1 i 1
k
B i 1 i B k
i 1
| L | d 0,a c d 0,a
c d p ,p cd 0,p c '.
trong đó c’ là hằng số lớn hơn 0.
Do đó
Md p,q c' 0
.
Chứng minh định lý Kiernan:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
i) Giả sử M là không gian hyperbolic. Khi đó tồn tại hai điểm phân
biệt p và q sao cho
Md p,q 0
Theo bổ đề trên, cặp
1/2;1/n
không thoả mãn tính chất A với bất
kì n>0. Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình
nf : M
mà
n 1/ 2f 0 B
và
n 1/ nf B
. Dãy
if
không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hay
phân kì compact. Do đó M không là taut.
ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên
Hol ,M
là đồng liên tục. Mặt khác M là hyperbolic đầy nên mỗi tập con
bị chặn trong M là compact tương đối. Vì vậy
Hol ,M
là chuẩn tắc, do
đó M là taut.
1.6.2.3. Nhận xét
Mọi miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên 2C là hyperbolic đầy.
Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut. Suy ra
miền giả lồi mạnh cũng là miền taut.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Chương 2
MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP
CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH
Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho
:f
là
một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị
trong
lên chính nó. Khi đó dãy lặp
nf
không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của
có đúng một điểm cố
định. Hơn thế nữa, giới hạn của
nf
, khi nó tồn tại, là hằng số
x
”
+ Nếu f có một điểm cố định
0
z
(và
f id )
, xét
0f ' z
: nếu
0f ' z 1
, theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của
với
đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ. Mặt khác, nếu
0f ' z 1
thì
f là ánh xạ co của
, vì vậy
n
0
f z
.
+ Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy
nf
phải
là hằng số và thuộc vào biên của
. Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ
đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế. Khi
đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề
Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường
hợp này : “Cho
x
; một đường cực hạn tại x là tập có dạng
2
2
1
, | ,
1
zx
E x R z R
z
mọi R>0. Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên
tại
x”.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Trong trường hợp
f : D D
mà nD=B , hình cầu đơn vị của n , định
nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho nx B và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán
kính R là tập
2
2
1 ,
, |
1
n
z x
E x R z B R
z
,
trong đó (. , .) là tích Hermit của n ”.
Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên nB tại x.
Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong nB và đã
chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này.
Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì
ta cần một cách tiếp cận khác. Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một
đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong nB .
n nn B B
1
E x,R z B | lim k z,w k 0,w logR ,
2
(2.1)
trong đó
nB
k
là khoảng cách Kobayashi trong nB .
Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng
đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền
tuỳ ý. Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong
(2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại. Vì vậy, để định nghĩa...