Download miễn phí Luận văn Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số chỉ số 1
MỤC LỤC
Danh mu ̣ c ca ́ c ky ́ hiê ̣ u dùng trong luận văn
Mục lục Trang
Mơ ̉ đâ ̀ u 1
Chương 1. Kiê ́n thư ́ c cơ sơ ̉ 3
1.1. Hê ̣ phương tri ̀ nh vi phân thươ ̀ ng 3
1.1.1. Các khái niệm cơ bản 3
1.1.2. Tính ô ̉ n đi ̣ nh cu ̉ a hê ̣ phương tri ̀ nh vi phân tuyê ́ n ti ́ nh 5
1.1.3. Lý thuyết Floquet 7
1.2. Hê ̣ phương tri ̀ nh vi phân đa ̣ i sô ́ 9
1.2.1. Mô ̣ t sô ́ kha ́ i niê ̣ m cơ ba ̉ n 9
1.2.2. Hê ̣ phươn g tri ̀ nh vi phân đa ̣ i sô ́ tuyê ́ n ti ́ nh 12
1.2.3 Hê ̣ phương tri ̀ nh vi phân đa ̣ i sô ́ phi tuyê ́ n 19
Chương 2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số 22
2.1. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số
tuyê ́ n ti ́ nh22
2.1.1. Ma trâ ̣ n cơ ba ̉ n 24
2.1.2. Biê ́ n đô ̉ i tương đương tuâ ̀ n hoa ̀ n 35
2.2. Lý thuyết Floquet đối với hệ phương trình vi phân đại số phi tuyê ́ n ti ́ nh .46
Kê ́ t luâ ̣ n 55
Tài liệu tham khảo 56
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
2( ) :S t z Bz imA
1 12
2 1
2 2
1 0
:
0 1
x x
z im A x t x
x x
1
1
1
,
x
x
t x
.
0N S
hệ
( )
đã đánh giá là chính qui chỉ số 1.
canP
là phép chiếu chính tắc lên
S
dọc theo
N
tức là
0,
,
Pu u N
Pv v v S
(*)
Đặt
11 12
21 22
can
p p
P
p p
(*)
11 12
2
221 22
11 12 1 1
1
21 22 1 1
0 0
,
0
,
p p
x
xp p
p p x x
x
p p t x t x
12 2
2 12 22
22 2
11 1 12 1 1
1 11 21
21 22 1 1
0
, 0
0
, 1
( )
p x
x p p
p x
p x p t x x
x p p
p p t x t x
1 0
1 0
canP
0 0
1 1
can canQ I P
Xét
( )G t A BQ 1 0 1 0 0 0
0 0 1 1 1t
1 0 0 0 1 0
det 1 0,
0 1 1 1 1
G t
t t
.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
1 0
1 1
G
t
Dùng các phép chiếu
,can canP Q
nói trên hệ
( )
1 1
1
1 1
1
1 2
1 2
0
00
0 0 00
0
can can can
can can can
x x
x xP x P G BP x
x xQ Q G BP x
t x x
Thật vậy,
1 1
2 1
1 0
'
1 0
can
x x
P x
x x
,
1
1 22
00 0
1 1
can
x
Q x
x xx
11
1
1 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 1
can can
x
P G BP x
t x
1
1
0 1 0
0 1 1
x
t x
11 0
( 1) 11 0
x
t x
1
1
1 0
1 0
x
t
1
1
x
x
11
1
0 0 1 0
1 1 1 1
can can
x
Q G BP x
t x
1
1
0 0
1 1
x
t x
1 1
0
x tx
1.2.3. Hệ phƣơng trình vi phân đại số phi tuyến
Định nghĩa 1.2.19. Hệ phương trình vi phân đại số phi tuyến là hệ
phương trình có dạng
( ( ), ( ), ) 0.f x t x t t
(1.2.13)
trong đó hàm
: ,m m mf G G
được giả thiết là liên tục và có
Jacobians
( , , ), ( , , )y xf y x t f y x t
phụ thuộc liên tục vào các đối số của chúng của
chúng. Hơn nữa, không gian hạch của
( , , )yf y x t
được coi là độc lập với
( , )y x
,
nghĩa là
ker ( , , ) : ( ),yf y x t N t
và biến thiên trơn theo
t
. Hơn nữa,
( )P t
là hàm chiếu bất kỳ lớp
1C
dọc theo
( )N t
. Giả sử (1.2.13) có chỉ số 1, nghĩa là
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
( ) ( , , ) 0 , ( , ) , ,N t S y x t y x t G
trong đó
( , , ) : : ( , , ) ( , , ) .m x yS y x t z f y x t z im f y x t
Khi đó, như trong trường hợp
tuyến tính chỉ số 1, IVPs được phát biểu chính xác với điều kiện đầu
0(0)( (0) ) 0.P x x
(1.2.14)
nghiệm của (1.2.13) thuộc
1
NC
Giả sử rằng có một nghiệm
1 ( 0, ))Nx C
của (1.2.13), (1.2.14), điều mà chúng
ta sẽ quan tâm đến là tính ổn định của nghiệm. Như trong trường hợp tuyến tính,
chỉ phần
0(0)P x
của điều kiện đầu ảnh hưởng tới nghiệm
0( ; )x t x
. Điều đó được
phản ánh trong định nghĩa sau của tính ổn định (theo nghĩa Lyapunov) của
nghiệm của DAEs.
Định nghĩa 1.2.2 [13]. Nghiệm
x
của phương trình (1.2.13) là ổn định
theo nghĩa của Lyapunov nếu có
0
và, với mỗi
0
,
( ) 0
sao cho
(i)
0x
với
0(0)( (0) )P x x
(1.2.13), (1.2.14) có nghiệm
0( ; )x t x
xác
định trên
0,
và
(ii)
0x
với
0(0)( (0) )P x x
chúng ta có
0( ; ) ( ) 0.x t x x t t
Hơn nữa,
x
được gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa của Lyapunov nếu nó là ổn
định và có
(0, )
sao cho
(iii)
0lim ( ; ) ( ) 0
t
x t x x t
,
0x
với
0(0)( (0) ) .P x x
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chƣơng 2: LÝ THUYẾT FLOQUET ĐỐI VỚI
HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
2.1. LÝ THUYẾT FLOQUET ĐỐI VỚI HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Bổ đề [13]. Phép biến đổi ẩn hàm
( ) ( ) ( )x t F t x t
với
1 ,NF C F
không
suy biến, biến DAE (1.2.6) thành (1.2.11), với
, 'A AF B BF AF
(2.1.1)
là liên tục và
A
có không gian hạch trơn.
Chú ý rằng, chúng ta hiểu
AF
như là sự rút gọn của
( )A PF P F
với
P
bất kì.
Chứng minh.
Từ (1.2.6)
( ) ( ) ( ) ( ) 0A t x t B t x t
thế trực tiếp
( ) ( )x F t x t
ta được
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0A t F t x t B t F t A t F t x t
( ) ( ) ( ) ( ) 0A t x t B t x t
, ở đây
,A B
là liên tục vì
,A B C
và
1F C
.
+ Chứng minh
A
có không gian hạch
N
trơn.
Xét phép chiếu trực giao
P
dọc theo
N
. Lấy
P
là phép chiếu trơn dọc
theo
N
thì
kerN AF
ker PF
Thật vậy:
ker 0x AF AFx
kerx A N
, lại vì
P
là phép chiếu dọc theo
0N PFx kerx PF
kerx PF
0 0PFx APFx
, do
AP A
0 kerAFx x AF
+ Từ
ker ( ) ( )N PF P PF PF
(Xem [5]) mà
PF
trơn
P
trơn
N
trơn.
Chú ý 1. Nếu
P
là một phép chiếu trơn dọc theo
N
, khi đó 1F PF là
một phép chiếu dọc theo
N
, nhưng trong trường hợp tổng quát 1F PF là không
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
trơn. Nếu chúng ta chọn phép chiếu trực giao
,P P
thì
1F P F
nói chung là
không trơn và không trực giao.
Chú ý 2. Thực hiện phép biến đổi đại số
( )x F t x
với
1
NF C
và
F
không suy biến, ta có những kết quả sau:
1
1
1
1
( ) ker ( ) ( );
( ) ( ) ( ) (0);
( ) : : ( ) ( ) ( ) ( );
( ) ( ) ( ) ( ).
m
can can
N t A t F N t
X t F t X t F
S t z B t z im A t F t S t
P t F t P t F t
Ta chứng minh
1( ) ker ( ) ( )N t A t F N t
:
1ker 0 ker kerx AF AFx Fx A x F A
Ta có
( ) ker ker kerN t A EAF AF
(vì
E
không suy biến), theo chứng minh
trên thì
1ker kerAF F A
1 1( ) ker ( )N t F A F N t
.
Ta chứng minh
1( ) ( ) ( )S t F t s t
:
+ Nếu
( )z S t Bz im A
hay
, mBz Ax x ( )E BF AF z EAFx
( )BFz A Fx F z im A
1( ) ( )F S z F t S t
, tức là
1( ) ( )S t F S t
. (*)
+ Ngược lại, nếu
1( ) ( )z F t S t ( )Fz S t
BFz imA
, mBFz Ax x
.
( )BFz AF z A x F z
1( ) ( ) ( )E BF AF z EA x F z EAFF x F ...