emsorry_27
New Member
Download miễn phí Khóa luận Lập biểu thức xác định nhiệt dung của hệ mạng tinh thể lập phương
MỤC LỤC
Lời Thank . i
Lời nói đầu . ii
PHẦN I. MỞ ĐẦU. 1
I. Lý do chọn đềtài. 1
II. Mục đích và nhiệm vụnghiên cứu . 1
1. Mục đích nghiên cứu . 1
2. Nhiệm vụnghiên cứu . 1
III. Khách thểvà đối tượng nghiên cứu. 1
1. Khách thểnghiên cứu . 1
2. Đối tượng nghiên cứu. 1
IV. Phương pháp nghiên cứu. 2
V. Phạm vi nghiên cứu . 2
VI. Giảthuyết khoa học . 2
VII. Đóng góp mới của đềtài . 2
VIII. Bốcục của khóa luận. 2
PHẦN II. NỘI DUNG . 3
CHƯƠNG I. CƠSỞLÝ THUYẾT . 3
I. Cấu trúc của mạng tinh thể. 3
1. Mạng tinh thể. 3
1.1. Cấu trúc tinh thể. 3
1.2. Mạng không gian. 3
1.3. Các tính chất đối xứng của mạng không gian . 4
1.4. Phân loại mạng Bravais . 6
1.4.1. Hệlập phương . 6
1.4.2. Hệtứgiác . 6
1.4.3. Hệtrực giao (còn gọi là hệvuông góc) . 7
1.4.4. Hệtrực thoi (hay hệtam giác). 7
1.4.5. Hệ đơn tà . 8
1.4.6. Hệtam tà . 8
1.4.7. Hệlục giác. 8
1.5. Sơlược vềhệmạng tinh thểlập phương. 8
1.5.1. Mạng tinh thểlập phương đơn giản . 9
1.5.2. Mạng tinh thểlập phương tâm khối . 9
1.5.3. Mạng tinh thểlập phương tâm mặt . 9
2. Mạng đảo . 9
2.1. Khái niệm mạng đảo. 9
2.2. Tính chất của các vectơmạng đảo . 10
2.3. Các tính chất của vectơmạng đảo . 10
2.4. Ô cơsởcủa mạng đảo . 10
2.5. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo . 11
3. Điều kiện tuần hoàn khép kín Born – Karman . 11
II. Lý thuyết cổ điển vềdao động mạng tinh thể. 12
1. Dao động chuẩn của mạng tinh thể. 12
2. Bài toán dao động mạng . 12
2.1. Dao động của mạng một chiều, một nguyên tử. 14
2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ(qa<<1). 16
2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử. 17
3. Dao động mạng ba chiều . 20
4. Tọa độchuẩn . 24
III. Lý thuyết lượng tửvềdao động mạng tinh thể. 27
1. Lượng tửhóa dao động mạng. 27
2. Phonon. 28
2.1. Phương pháp chuẩn hạt . 28
2.2. Tính chất của chuẩn hạt. 28
2.3. Phonon. 29
2.4. Tính chất của phonon . 29
CHƯƠNG II. THIẾT LẬP BIỂU THỨC TINH NHIỆT DUNG CỦA HỆMẠNG
TINH THỂLẬP PHƯƠNG. . 31
I. Lý thuyết cổ điển vềnhiệt dung. 31
II. Lý thuyết lượng tửvềnhiệt dung . 32
1. Hàm phân bốBose - Einstein . 32
2. Lý thuyết Einstein . 33
2.1. Trường hợp ởmiền nhiệt độcao . 34
2.2. Trường hợp ởmiền nhiệt độthấp. 34
3. Lý thuyết Debye . 35
3.1. Trường hợp ởmiền nhiệt độcao . 38
3.2. Trường hợp ởmiền nhiệt độthấp. 39
III. Áp dụng công thức nhiệt dung cho mạng tinh thểlập phương . 40
1. Áp dụng biểu thức nhiệt dung cho hệmạng lập phương. 40
2. Tính nhiệt dung mol của một sốchất . 43
IV. Giải thích một sốhiện tượng vật lý trong chương trình phổthông. 43
1. Phân biệt chất rắn kết tinh và chất rắn vô định hình . 43
2. Những tính chất nhiệt của vật rắn . 45
2.1. Sựgiãn nởvì nhiệt của vật rắn . 45
2.2. Nhiệt dung mol vật rắn . 46
PHẦN III. KẾT LUẬN . 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 49
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ương trình chuyển độnglà:
( ) ( )11 −+ −−−−= mmmmm rrrrrM αα&& (1.2.11)
Hay:
( )112 −+ −−−= mmmm rrrrM α&& (1.2.12)
Nghiệm của các phương trình này là một hàm sóng mô tả sự dao động của nguyên
tử và sự lan truyền của dao động dọc theo tinh thể. Ta tìm nghiệm dưới dạng sóng:
( )tqRi
m
mAer ω−= (1.2.13)
Ta chọn gốc O sao cho Rm = a.m thì: ( )tqmaim Aer ω−=
Lấy đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của rm ta được:
( )
( ) mtiiqmam
tiiqma
m
reiAer
eiAer
22 ωω
ω
ω
ω
−=−=
−=
−
−
&&
&
Sau đó ta thay vào phương trình (1.2.12) và giản ước hai vế ta có:
( )iqaiqa eeM −−−−=− 22 αω (1.2.14)
Sử dụng công thức Ơle qaiqaeiqa sin.cos += ta thu được:
( )qaM cos122 −= αω (1.1.15)
Từ đó, ta tìm được biểu thức cho tần số góc của dao động:
( )
2
sin4cos12 22 qa
M
qa
M
ααω =−=
2
sin
2
sin.2 max
qaqa
M
hay ωαω ==
(1.2.16)
Trong đó:
M
αω 2max =
Biểu thức (1.2.16) cho ta sự phụ
thuộc của tần số góc ω vào q
))(( qωω = và được gọi là hệ thức tán
sắc của dao động, với q là độ lớn của a
π
ω
M
α2
a
π−
q
O
Hình 1.16
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng
Khoá luận tốt nghiệp Trang 16
vectơ sóng q . Vectơ này có cùng phương chiều với hướng lan truyền của sóng. Hình
1.16 biểu diễn sự phụ thuộc của ω theo q. Sau đây, ta sẽ khảo sát sự phụ thuộc của
)(qωω = ; ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ
a
π2 . Thật vậy, nếu có : q’= q +
a
π2
thì: ( ) ( ) mmmitqamimitamqim rreeAeAer ==== −− πωπω 22' ' vì ei2πm = 1. Như vậy, vectơ
sóng q và
'
q mô tả cùng một trạng thái dao động của mạng tinh thể ứng với một giá
trị ω của tần số dao động; nghĩa là q và q’ tương đương nhau về tính chất vật lí. Do
tính tuần hoàn này ta chỉ cần xét ω trong khoảng
a
π2 trên trục q. Người ta thường
chọn khoảng
a
π2 đối xứng quanh gốc O, tức là
a
q
a
ππ ≤≤− , khoảng này chứa mọi
giá trị khả dĩ của ω. q có thứ nguyên của nghịch đảo chiều dài, nên đó chính là đại
lượng được xét trong không gian mạng đảo. Trong trường hợp đang xét mạng thuận
có chu kì a, thì mạng đảo có chu kì
a
π2 . Mạng đảo của mạng một chiều là mạng một
chiều.
Khoảng giá trị
a
q
a
ππ ≤≤− trong mạng đảo gọi là vùng Brillouin thứ nhất. Nếu
xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh thể lặp lại một cách tuần hoàn
trong không gian, với chu kì là bước sóng λ. Dựa vào biểu thức của hàm sóng
( )tqRi
m
mAer ω−= , ta có:
( ) ( )[ ]tRqitqRi mm AeAe ωλω −+− = hay eiqλ = 1. Điều này chỉ xảy ra khi: q = λ
π2 .
2.1.1. Trường hợp q rất nhỏ (qa<<1)
Ở gần tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1, thì sin
22
qaqa ≈ .
Do đó: qa
M
qa
M
ααω ==
2
2 (1.2.17)
Ta đi tính vận tốc nhóm của sóng, tức là vận tốc truyền năng lượng dao động
trong môi trường:
consta
Mdq
dvg === .αω (1.2.18)
Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là dao động với bước sóng λ lớn, vận tốc truyền
năng lượng dao động là một hằng số. Kết quả này cũng giống như đối với sóng đàn
hồi truyền trong môi trường liên tục.
2.1.2. Trường hợp
a
q π±=
Với những giá trị q lớn, vận tốc truyền sóng không còn là hằng số. Khi đó:
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng
Khoá luận tốt nghiệp Trang 17
2
cos. qa
M
a
dq
dvg
αω == (1.2.19)
Ở giá trị q = qmax = a
π± , vận tốc truyền sóng vg = 0. Như vậy, ở biên vùng
Brillouin vận tốc truyền sóng bằng 0, ứng với sự tạo thành sóng đứng.
Với qmax = a
π± , ta có λmin = 2a. Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại
trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai nguyên tử lân cận dao động ngược
pha nhau nhưng với biên độ bằng nhau.
2.2. Dao động của mạng một chiều, hai nguyên tử
Ta xét trường hợp phức tạp hơn, là trường hợp mạng một chiều có chứa hai loại
nguyên tử khác nhau. Để cho xác định ta giả thiết, hai loại nguyên tử có khối lượng
khác nhau. Giả sử các nguyên tử có khối lượng M1 và M2 đặt xen kẽ nhau, cách đều
nhau một khoảng a. Ta giả thiết chỉ xét tương tác giữa hai nguyên tử cạnh nhau, và
bỏ qua tương tác xa hơn và chỉ xét sóng ngang. Như vậy, ô sơ cấp có kích thước 2a
và mỗi ô chứa hai nguyên tử.
Gọi độ lệch của các nguyên tử ở ô thứ m là r1,m và r2,m, ta có thể viết hệ phương
trình như sau:
( ) ( )( ) ( )⎩⎨
⎧
−−−−=
−−−−=
+−
−
1,1,21,1,2,22
,2,11,2,1,11
mmmmm
mmmmm
rrrrrM
rrrrrM
αα
αα
&&
&&
(1.2.20)
Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng sóng chạy, mà biên độ sóng cho hai loại nguyên tử
A1 và A2:
( )
( )⎩⎨
⎧
=
=
−
−
tamqi
m
tamqi
m
eAr
eAr
ω
ω
2
1,1
2
1,1 (1.2.21)
Thay (1.2.21)vào (1.2.20), sau khi giản ước ta có hệ phương trình :
( )( )⎩⎨
⎧
++−=−
++−=− −
qai
qai
eAAAM
eAAAM
2
1222
2
2
2111
2
12
12
ααω
ααω
(1.2.22)
Biến đổi hệ phương trình trên ta được:
ο ο ο ο
a a
M1 M2 M2 M1 M2 M1 M2
m - 1 m + 1 m
r1m
Hình 1.17
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng
Khoá luận tốt nghiệp Trang 18
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −++
=++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − −
021
012
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
A
M
Ae
M
Ae
M
A
M
qai
qai
αωα
ααω
(1.2.23)
Giải hệ phương trình này, ta tìm được các ẩn A1, A2 và ω(q). Điều kiện để hệ
phương trình có nghiệm không tầm thường là định thức các hệ số của A1, A2 phải
bằng o. Tức là:
( )
( ) 021
12
2
22
2
2
11
2
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ − −
M
e
M
e
MM
qai
qai
αωα
ααω
(1.2.24)
Đây là phương trình trùng phương đối với ω:
( ) 02cos1
.
2
.
2
21
2
2
21
214 =−++− qa
MMMM
MM αωαω giải phương trình này ta có hai
nghiệm:
qa
MMMMMM
2
21
2
2121
2 sin.
.
41111 −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +±⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=± ααω (1.2.25)
* Ta xét nghiệm ω-:
+ Khi q = 0, ω- = 0
+ Khi q nhỏ, sin2qa ≈ q2a2. Do đó:
qa
MM
.
21 +
=− αω (1.2.26)
Như vậy, ở gần tâm vùng Brillouin ω tỉ lệ với q (ω∼q).
+ Khi
a
q
2
π±= , thì sin2qa = 1 và khi đó:
2
2
M
αω =− (1.2.27)
* Ta xét nghiệm ω+:
+ Khi q = 0,
21
21
.
2
MM
MM +=+ αω (1.2.28)
+ Khi
a
q
2
π±= ,
2
2
M
αω =+ (1.2.29)
SVTH: Lê Giang Bắc GVHD: ThS. Vũ Tiến Dũng
Khoá luận tốt nghiệp Trang 19
Giả thiết M1 > M2, thì sự
phụ thuộc của ω theo q trong
trường hợp mạng có hai
nguyên tử được biểu diễn như
trên hình 1.18. Ta nhận thấy
rằng ω phụ thuộc vào q một
cách tuần hoàn với chu kì
a
π .
Vì vậy, ta cũng chỉ xét với các
giá trị của q nằm trong vùng
Brillouin thứ nhất
a
q
a 22
ππ ≤≤− (vì hằng số
mạng là 2a).
Đồ thị ω(q) gồm hai
nhánh. Nhánh dưới ứng với
ω- có dạng giống như trường
hợp mạng tinh thể có chứa một loại nguyên tử. Ở q = 0, ω = 0. Với các giá trị q bé,
ω∼q. Ở các giá trị
a
q
2
π±= , ω = ωmax. Như vậy, ở vùng gần tâm vùng Brillouin, vận
tốc truyền năng lượng dao động là hằng số, và chính là bằng vận tốc truyền âm. Vì
vậy, nhánh ứng với ω- còn được gọi là nhánh âm học.
Dựa vào hình vẽ ở trên, ta có thể rút ra một nhận xét quan trọng. Trên phổ ω(q) có
một khoảng giá trị từ
21
22
MM
αωαω =÷= +− không ứng với nghiệm nào của
phương trình truyền sóng trong mạng tinh thể. Hay là, trong mạng tinh thể...