crazydeath_137
New Member
Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................ 1
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 2
CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG MẶT PHẲNG
SƠ CẤP...................................................................................... 3
1. Bài toán đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng ............................................. 3
1.1. Dạng phát biểu gốc.................................................................................... 3
1.2. Dạng phát biểu tương đương..................................................................... 3
1.3. Chứng minh sự tương đương của hai phát biểu trên................................. 4
2. Định lý ( Bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng).................... 4
3. Vài phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng . 5
3.1. Phép chứng minh sơ cấp của Steiner ........................................................ 5
3.2. Phép chứng minh cao cấp ........................................................................ 8
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
SƠ CẤP..............................................................................................12
1. Các bài toán về diện tích lớn nhất.........................................................................12
1.1. Loại gốc .............................................................................................................12
1.2. Loại mở rộng......................................................................................................22
2. Các bài toán về chu vi nhỏ nhất............................................................................39
2.1 Loại gốc ..............................................................................................................39
2.2 Loại mở rộng.......................................................................................................43
PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 61Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 2
LỜI NÓI ĐẦU
- - - \[ - - -
Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu có lịch sử lâu đời từ thế kỷ
thứ IV, III trước công nguyên nhưng hiện nay đang hồi sinh và phát triển
mạnh mẽ. Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng sơ cấp được biết đến từ
thời cổ đại nhưng mới chỉ được chứng minh tương đối chặt chẽ trong nửa đầu
của thế kỷ XIX và được chứng minh hoàn toàn chặt chẽ bằng nhiều cách khác
nhau trong thế kỷ XX. Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian sơ cấp có
phép chứng minh khó và phức tạp hơn rất nhiều. Mục đích của khóa luận là
giới thiệu một vài phép chứng minh đầy đủ về bất đẳng thức đẳng chu trong
mặt phẳng cũng như trong không gian đồng thời tổng hợp một lớp bài toán
đẳng chu phẳng và không gian. Tuy nhiên, vì thời gian không cho phép chúng
tui tự ý thu hẹp đề tài, chỉ trình bày một số phép chứng minh bất đẳng thức
đẳng chu trong mặt phẳng và một lớp các bài toán đẳng chu phẳng. Vì vậy,
khóa luận có tên là: BÀI TOÁN ĐẲNG CHU – BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG
CHU TRONG MẶT PHẲNG SƠ CẤP. Hy vọng trong thời gian tới khi có
điều kiện nghiên cứu sâu hơn chúng tui sẽ quay trở lại tìm hiểu vấn đề ở mức
độ nâng cao hơn trong không gian.
Cụ thể, nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng sơ cấp.
Chương 2: Một số bài toán đẳng chu trong hình học phẳng sơ cấp.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng bản khóa luận có thể còn có sai sót, rất
mong quý thầy cô và các bạn đồng môn vui lòng chỉ bảo.
Để hoàn thành bản Khóa luận này, tui đã được sự hướng dẫn nhiệt tình
của Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Anh Vũ, sự giúp đỡ và chỉ bảo về thủ tục của các
Thầy cô trong Khoa Sư phạm nói chung và Bộ môn Toán nói riêng. tui xin
chân thành Thank quý thầy cô! Xin kính chúc quý thầy cô nhiều sức khỏe,
hạnh phúc và công tác tốt!
SV thực hiện:
Lê Thanh Bình
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 3
Chương I
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG
MẶT PHẲNG SƠ CẤP
- - - \[ - - -
Chương này giới thiệu bài toán và bất đẳng thức đẳng chu trong mặt
phẳng sơ cấp. Đối với bài toán phẳng, chúng ta đưa ra chi tiết hai phép chứng
minh, một chứng minh sơ cấp của Steiner ( mà còn chưa chặt chẽ) và một
chứng minh cao cấp hoàn toàn chặt chẽ có sử dụng các kiến thức của giải tích
nhiều biến và hình học vi phân cổ điển.
1. BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TỔNG QUÁT TRONG MẶT PHẲNG
Bài toán đẳng chu được biết đến từ thời cổ đại. Bằng vẻ đẹp tự nhiên của
mình, bài toán đẳng chu có một lịch sử vô cùng hấp dẫn (xem [1]). Công trình
cốt yếu nhất giới thiệu được một chứng minh tương đối chặt chẽ cho bài toán
đẳng chu được công bố năm 1841 bởi Jacob Steiner (1796-1863). Vào thời
gian đó, bài toán đẳng chu là trung tâm của các cuộc tranh chấp giữa hai
phương pháp: giải tích (tức là dùng các phép tính vi phân) và phương pháp
tổng hợp của hình học thuần túy. Mặc dù thừa nhận giá trị của phương pháp
giải tích, Steiner chỉ dùng phương pháp tổng hợp. Chứng minh của Steiner có
một thiếu sót mà sau này được chỉnh lý lại bằng phương pháp giải tích. Để
hiểu rõ hơn bản chất của bài toán đẳng chu, trước hết chúng ta phát biểu bài
toán dưới hai dạng tương đương.
1.1.DẠNG PHÁT BIỂU GỐC
Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với chu vi đã cho, hình tròn
có diện tích lớn nhất.
1.2. DẠNG PHÁT BIỂU TƯƠNG ĐƯƠNG
Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với diện tích đã cho, hình
tròn có chu vi nhỏ nhất.Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 4
1.3. CHỨNG MINH SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HAI PHÁT BIỂU TRÊN
Định lý 1
Hai phát biểu trên tương đương.
Chứng minh
Để tiện, ta ký hiệu phát biểu gốc là A, phát biểu còn lại là B.
• Giả sử A đúng. Ta cần chứng tỏ B cũng đúng. Thật vậy, giả sử phản
chứng rằng B sai. Khi đó, đối với hình tròn C đã cho, tồn tại một hình phẳng F
có cùng diện tích với C nhưng chu vi nhỏ hơn chu vi của C. Ta co rút C về
đường tròn C’ có cùng chu vi với F. Lúc đó diện tích của C’ nhỏ hơn diện tích
của C, do đó cũng nhỏ hơn diện tích của F. Điều này mâu thuẫn với tính đúng
của A. Mâu thuẫn này chứng tỏ B phải đúng. Tức là A kéo theo B.
• Khẳng định ngược lại rằng B kéo theo A được lập luận tương tự.
Bài toán đẳng chu liên quan mật thiết với bất đẳng thức đẳng chu trong
mặt phẳng mà chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh dưới đây. Nếu bất đẳng
thức đẳng chu đã được chứng minh thì hệ quả hiển nhiên của nó là bài toán
đẳng chu được giải quyết. Ngược lại, nếu bài toán đẳng chu đã được chứng
minh thì lập tức suy ra ngay bất đẳng thức đẳng chu.
2. ĐỊNH LÝ (BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG MẶT PHẲNG)
Cho hình phẳng đơn liên tùy ý C có diện tích bằng A (đvdt) và chu tuyến
là một đường cong khép kín, C1 - từng khúc với chiều dài bằng hằng số L
(đvđd). Khi đó ta có
4ΠA ≤ L2 .
Dấu “=” xảy ra khi C là hình tròn.
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 5
3. VÀI PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU
TRONG MẶT PHẲNG
3.1. PHÉP CHỨNG MINH SƠ CẤP CỦA STEINER
3.1.1. Bao lồi và lý do tại sao bất đẳng thức đẳng chu chỉ cần chứng
minh trong trường hợp miền lồi
Bao lồi của miền Ω, ký hiệu là Ω , được định nghĩa là tập lồi nhỏ nhất
chứa Ω. Do đó Ω = ∩{K / K là miền lồi phẳng chứa Ω}. Nếu Ω lồi thì
Ω = Ω .
Giả sử miền Ω không lồi, ta có thể xây dựng một miền lồi chứa Ω mà
diện tích lớn hơn nhưng chu vi nhỏ hơn chu vi của Ω. Do đó, ta chỉ cần chứng
minh bất đẳng thức đẳng chu đối với các miền lồi. Điều này được biện minh
bởi bổ đề dưới đây.
3.1.2. Bổ đề 1
Cho Ω là hình phẳng đóng, bị chặn được bao quanh bởi đường cong
khép kín C1 - từng khúc với bao lồi là Ω . Khi đó ta luôn có:
( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
( )
( )
i S S
ii L L
Ω ≥ Ω
∂ Ω ≤ ∂ Ω
Nếu Ω không lồi, các bất đẳng thức trên là nghiêm ngặt.
Chứng minh
Đặt K = Ω . K phải chứa mọi điểm của Ω và chứa những đoạn thẳng nối
hai điểm phân biệt bất kỳ của Ω. Tập các điểm trong của K không thuộc Ω
được phân hoạch thành các thành phần liên thông Oi rời nhau:
int( ) K O − Ω = Ui i . Nếu Ω lồi, UiOi là tập rỗng. Mỗi điểm X K ∈∂ có
Ω
ΩKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 6
thể thuộc ∂Ω hay không. Nếu X ∉∂Ω , áp dụng định lý Caratheodory, X là
một điểm nằm trên đường thẳng d ⊂ 2 sao cho K nằm về một phía của d và
tồn tại các điểm Y Z d i i , ∈∂Ω ∩ để X nằm giữa Y Z i i , .
Giả sử
Oi là miền giữa d và Ω .Vì X ∉∂Ω nên Oi chứa một phần hình
tròn lân cận của X (có diện tích dương). Do đó ta có:
S K S S O S ( ) = (Ω + > Ω ) ∑ i ( i ) ( ) .
Bây giờ ta cắt biên Ω thành hai phần tại Y Z i i , . Đặt Γi là phần của ∂Ω
từ
Yi đến Zi dọc ∂Oi . Đặt Λi i i = ∂ − Γ O là đoạn thẳng từ Yi đến Zi . Khi đó
L L (Λi i ) < Γ ( ) .
Mặt khác K O = Ω ∪(Ui i) . Suy ra
L K L L L L (∂ = ∂Ω + Λ − Γ ≤ ∂Ω ) ( ) ∑ i( ( i i ) ( )) ( ) .
3.1.3. Bổ đề 2
Trong tất cả các tam giác có độ dài hai cạnh cho trước a và b, tam
giác vuông có diện tích lớn nhất.
Chứng minh
Giả sử tam giác ABC có độ dài hai cạnh BC a AC b = , = và diện tích
bằng S. Khi đó ta có:
1 1
sin
2 2
S ab C ab = ≤ .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ( ) sin 1
2
C C = ⇔ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ π
⎝ ⎠. Tức là S lớn
nhất khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại C.
Γi
Λi
Oi
Yi Zi
Ω
d
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 7
3.1.4. Bổ đề 3
Nếu hình phẳng đóng, bị chặn và lồi A bị chia bởi một dây cung nào đó
(tức là một đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc biên của A ) thành 2 phần có
cùng chu vi nhưng diện tích khác nhau thì tồn tại hình A1 có cùng chu vi với
A nhưng diện tích lớn hơn diện tích của A.
P A'
A'1
A"
Q
Chứng minh
Giả sử PQ là một dây cung chia hình phẳng A thành hai phần A’, A’’ có
cùng chu vi nhưng diện tích của A’ lớn hơn diện tích của A’’. Gọi A1' là hình
đối xứng của A’ qua đường thẳng PQ. Khi đó hình A1 = A’ ∪ A1' có cùng chu
vi với A nhưng diện tích lớn hơn diện tích của A.
3.1.5. Định lý 2
Cho C là hình phẳng, đóng, bị chặn và lồi trong mặt phẳng. Nếu C
không là hình tròn thì tồn tại hình C’ có cùng chu vi như C nhưng diện tích
lớn hơn. Nói cách khác, hình tròn có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình
phẳng có cùng chu vi.
Chứng minh của Steiner
Lấy P,Q là hai điểm biên của C mà nó chia C thành hai hình có chu vi
bằng nhau. Vì C không là đường tròn nên tồn tại V C ∈ sao cho PVQ ≠ 900 .
Gọi B1 2 , B là hai hình giới hạn bởi C và hai dây cung PV và QV.
KẾT LUẬN
- - - \[ - - -
I. Kết quả đạt được
Tóm lại, qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày, giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
đẳng chu trong mặt phẳng dựa vào công cụ giải tích hàm nhiều biến và
hình học vi phân cổ điển.
2. Hệ thống lại các bài toán đẳng chu phẳng trong chương trình toán phổ
thông trong đó có sự phân loại loại gốc và loại mở rộng.
II. Hạn chế của đề tài
1. Lời giải của một số bài toán chưa thật hay, chưa thật ngắn gọn.
2. Chưa trình bày chứng minh bất đẳng thức đẳng chu cho một vật thể bất
kì trong không gian vì phép chứng minh đó khá phức tạp.
3. Còn nhiều bài toán đẳng chu trong không gian chưa được nêu trong đề
tài.
III. Hướng phát triển của đề tài
1. Hướng đến chứng minh định lí đẳng chu trong trường hợp tổng quát
cho không gian Euclide n chiều n , n ≥ 2.
2. Ngoài ra còn có thể xét bài toán đẳng chu trên các không gian khác như
mặt cầu, đa tạp Riemann,…
Hy vọng trong thời gian tới khi có điều kiện nghiên cứu sâu hơn chúng tui sẽ
quay trở lại tìm hiểu vấn đề ở mức độ nâng cao hơn .
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................ 1
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................. 2
CHƯƠNG I: BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG MẶT PHẲNG
SƠ CẤP...................................................................................... 3
1. Bài toán đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng ............................................. 3
1.1. Dạng phát biểu gốc.................................................................................... 3
1.2. Dạng phát biểu tương đương..................................................................... 3
1.3. Chứng minh sự tương đương của hai phát biểu trên................................. 4
2. Định lý ( Bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng).................... 4
3. Vài phép chứng minh bất đẳng thức đẳng chu tổng quát trong mặt phẳng . 5
3.1. Phép chứng minh sơ cấp của Steiner ........................................................ 5
3.2. Phép chứng minh cao cấp ........................................................................ 8
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
SƠ CẤP..............................................................................................12
1. Các bài toán về diện tích lớn nhất.........................................................................12
1.1. Loại gốc .............................................................................................................12
1.2. Loại mở rộng......................................................................................................22
2. Các bài toán về chu vi nhỏ nhất............................................................................39
2.1 Loại gốc ..............................................................................................................39
2.2 Loại mở rộng.......................................................................................................43
PHẦN KẾT LUẬN........................................................................................ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 61Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 2
LỜI NÓI ĐẦU
- - - \[ - - -
Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu có lịch sử lâu đời từ thế kỷ
thứ IV, III trước công nguyên nhưng hiện nay đang hồi sinh và phát triển
mạnh mẽ. Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng sơ cấp được biết đến từ
thời cổ đại nhưng mới chỉ được chứng minh tương đối chặt chẽ trong nửa đầu
của thế kỷ XIX và được chứng minh hoàn toàn chặt chẽ bằng nhiều cách khác
nhau trong thế kỷ XX. Bất đẳng thức đẳng chu trong không gian sơ cấp có
phép chứng minh khó và phức tạp hơn rất nhiều. Mục đích của khóa luận là
giới thiệu một vài phép chứng minh đầy đủ về bất đẳng thức đẳng chu trong
mặt phẳng cũng như trong không gian đồng thời tổng hợp một lớp bài toán
đẳng chu phẳng và không gian. Tuy nhiên, vì thời gian không cho phép chúng
tui tự ý thu hẹp đề tài, chỉ trình bày một số phép chứng minh bất đẳng thức
đẳng chu trong mặt phẳng và một lớp các bài toán đẳng chu phẳng. Vì vậy,
khóa luận có tên là: BÀI TOÁN ĐẲNG CHU – BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG
CHU TRONG MẶT PHẲNG SƠ CẤP. Hy vọng trong thời gian tới khi có
điều kiện nghiên cứu sâu hơn chúng tui sẽ quay trở lại tìm hiểu vấn đề ở mức
độ nâng cao hơn trong không gian.
Cụ thể, nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Bất đẳng thức đẳng chu trong mặt phẳng sơ cấp.
Chương 2: Một số bài toán đẳng chu trong hình học phẳng sơ cấp.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng bản khóa luận có thể còn có sai sót, rất
mong quý thầy cô và các bạn đồng môn vui lòng chỉ bảo.
Để hoàn thành bản Khóa luận này, tui đã được sự hướng dẫn nhiệt tình
của Phó Giáo sư – Tiến sĩ Lê Anh Vũ, sự giúp đỡ và chỉ bảo về thủ tục của các
Thầy cô trong Khoa Sư phạm nói chung và Bộ môn Toán nói riêng. tui xin
chân thành Thank quý thầy cô! Xin kính chúc quý thầy cô nhiều sức khỏe,
hạnh phúc và công tác tốt!
SV thực hiện:
Lê Thanh Bình
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 3
Chương I
BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG
MẶT PHẲNG SƠ CẤP
- - - \[ - - -
Chương này giới thiệu bài toán và bất đẳng thức đẳng chu trong mặt
phẳng sơ cấp. Đối với bài toán phẳng, chúng ta đưa ra chi tiết hai phép chứng
minh, một chứng minh sơ cấp của Steiner ( mà còn chưa chặt chẽ) và một
chứng minh cao cấp hoàn toàn chặt chẽ có sử dụng các kiến thức của giải tích
nhiều biến và hình học vi phân cổ điển.
1. BÀI TOÁN ĐẲNG CHU TỔNG QUÁT TRONG MẶT PHẲNG
Bài toán đẳng chu được biết đến từ thời cổ đại. Bằng vẻ đẹp tự nhiên của
mình, bài toán đẳng chu có một lịch sử vô cùng hấp dẫn (xem [1]). Công trình
cốt yếu nhất giới thiệu được một chứng minh tương đối chặt chẽ cho bài toán
đẳng chu được công bố năm 1841 bởi Jacob Steiner (1796-1863). Vào thời
gian đó, bài toán đẳng chu là trung tâm của các cuộc tranh chấp giữa hai
phương pháp: giải tích (tức là dùng các phép tính vi phân) và phương pháp
tổng hợp của hình học thuần túy. Mặc dù thừa nhận giá trị của phương pháp
giải tích, Steiner chỉ dùng phương pháp tổng hợp. Chứng minh của Steiner có
một thiếu sót mà sau này được chỉnh lý lại bằng phương pháp giải tích. Để
hiểu rõ hơn bản chất của bài toán đẳng chu, trước hết chúng ta phát biểu bài
toán dưới hai dạng tương đương.
1.1.DẠNG PHÁT BIỂU GỐC
Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với chu vi đã cho, hình tròn
có diện tích lớn nhất.
1.2. DẠNG PHÁT BIỂU TƯƠNG ĐƯƠNG
Chứng minh rằng trong tất cả các hình phẳng với diện tích đã cho, hình
tròn có chu vi nhỏ nhất.Khoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 4
1.3. CHỨNG MINH SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HAI PHÁT BIỂU TRÊN
Định lý 1
Hai phát biểu trên tương đương.
Chứng minh
Để tiện, ta ký hiệu phát biểu gốc là A, phát biểu còn lại là B.
• Giả sử A đúng. Ta cần chứng tỏ B cũng đúng. Thật vậy, giả sử phản
chứng rằng B sai. Khi đó, đối với hình tròn C đã cho, tồn tại một hình phẳng F
có cùng diện tích với C nhưng chu vi nhỏ hơn chu vi của C. Ta co rút C về
đường tròn C’ có cùng chu vi với F. Lúc đó diện tích của C’ nhỏ hơn diện tích
của C, do đó cũng nhỏ hơn diện tích của F. Điều này mâu thuẫn với tính đúng
của A. Mâu thuẫn này chứng tỏ B phải đúng. Tức là A kéo theo B.
• Khẳng định ngược lại rằng B kéo theo A được lập luận tương tự.
Bài toán đẳng chu liên quan mật thiết với bất đẳng thức đẳng chu trong
mặt phẳng mà chúng ta sẽ phát biểu và chứng minh dưới đây. Nếu bất đẳng
thức đẳng chu đã được chứng minh thì hệ quả hiển nhiên của nó là bài toán
đẳng chu được giải quyết. Ngược lại, nếu bài toán đẳng chu đã được chứng
minh thì lập tức suy ra ngay bất đẳng thức đẳng chu.
2. ĐỊNH LÝ (BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU TRONG MẶT PHẲNG)
Cho hình phẳng đơn liên tùy ý C có diện tích bằng A (đvdt) và chu tuyến
là một đường cong khép kín, C1 - từng khúc với chiều dài bằng hằng số L
(đvđd). Khi đó ta có
4ΠA ≤ L2 .
Dấu “=” xảy ra khi C là hình tròn.
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 5
3. VÀI PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẲNG CHU
TRONG MẶT PHẲNG
3.1. PHÉP CHỨNG MINH SƠ CẤP CỦA STEINER
3.1.1. Bao lồi và lý do tại sao bất đẳng thức đẳng chu chỉ cần chứng
minh trong trường hợp miền lồi
Bao lồi của miền Ω, ký hiệu là Ω , được định nghĩa là tập lồi nhỏ nhất
chứa Ω. Do đó Ω = ∩{K / K là miền lồi phẳng chứa Ω}. Nếu Ω lồi thì
Ω = Ω .
Giả sử miền Ω không lồi, ta có thể xây dựng một miền lồi chứa Ω mà
diện tích lớn hơn nhưng chu vi nhỏ hơn chu vi của Ω. Do đó, ta chỉ cần chứng
minh bất đẳng thức đẳng chu đối với các miền lồi. Điều này được biện minh
bởi bổ đề dưới đây.
3.1.2. Bổ đề 1
Cho Ω là hình phẳng đóng, bị chặn được bao quanh bởi đường cong
khép kín C1 - từng khúc với bao lồi là Ω . Khi đó ta luôn có:
( ) ( )
( ( ) ) ( ) ( )
( )
( )
i S S
ii L L
Ω ≥ Ω
∂ Ω ≤ ∂ Ω
Nếu Ω không lồi, các bất đẳng thức trên là nghiêm ngặt.
Chứng minh
Đặt K = Ω . K phải chứa mọi điểm của Ω và chứa những đoạn thẳng nối
hai điểm phân biệt bất kỳ của Ω. Tập các điểm trong của K không thuộc Ω
được phân hoạch thành các thành phần liên thông Oi rời nhau:
int( ) K O − Ω = Ui i . Nếu Ω lồi, UiOi là tập rỗng. Mỗi điểm X K ∈∂ có
Ω
ΩKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 6
thể thuộc ∂Ω hay không. Nếu X ∉∂Ω , áp dụng định lý Caratheodory, X là
một điểm nằm trên đường thẳng d ⊂ 2 sao cho K nằm về một phía của d và
tồn tại các điểm Y Z d i i , ∈∂Ω ∩ để X nằm giữa Y Z i i , .
Giả sử
Oi là miền giữa d và Ω .Vì X ∉∂Ω nên Oi chứa một phần hình
tròn lân cận của X (có diện tích dương). Do đó ta có:
S K S S O S ( ) = (Ω + > Ω ) ∑ i ( i ) ( ) .
Bây giờ ta cắt biên Ω thành hai phần tại Y Z i i , . Đặt Γi là phần của ∂Ω
từ
Yi đến Zi dọc ∂Oi . Đặt Λi i i = ∂ − Γ O là đoạn thẳng từ Yi đến Zi . Khi đó
L L (Λi i ) < Γ ( ) .
Mặt khác K O = Ω ∪(Ui i) . Suy ra
L K L L L L (∂ = ∂Ω + Λ − Γ ≤ ∂Ω ) ( ) ∑ i( ( i i ) ( )) ( ) .
3.1.3. Bổ đề 2
Trong tất cả các tam giác có độ dài hai cạnh cho trước a và b, tam
giác vuông có diện tích lớn nhất.
Chứng minh
Giả sử tam giác ABC có độ dài hai cạnh BC a AC b = , = và diện tích
bằng S. Khi đó ta có:
1 1
sin
2 2
S ab C ab = ≤ .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ( ) sin 1
2
C C = ⇔ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ π
⎝ ⎠. Tức là S lớn
nhất khi và chỉ khi tam giác ABC vuông tại C.
Γi
Λi
Oi
Yi Zi
Ω
d
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiKhoá luận tốt nghiệp GVHD: PGS.TS Lê Anh Vũ
SVTH: Lê Thanh Bình Trang: 7
3.1.4. Bổ đề 3
Nếu hình phẳng đóng, bị chặn và lồi A bị chia bởi một dây cung nào đó
(tức là một đoạn thẳng có hai đầu mút thuộc biên của A ) thành 2 phần có
cùng chu vi nhưng diện tích khác nhau thì tồn tại hình A1 có cùng chu vi với
A nhưng diện tích lớn hơn diện tích của A.
P A'
A'1
A"
Q
Chứng minh
Giả sử PQ là một dây cung chia hình phẳng A thành hai phần A’, A’’ có
cùng chu vi nhưng diện tích của A’ lớn hơn diện tích của A’’. Gọi A1' là hình
đối xứng của A’ qua đường thẳng PQ. Khi đó hình A1 = A’ ∪ A1' có cùng chu
vi với A nhưng diện tích lớn hơn diện tích của A.
3.1.5. Định lý 2
Cho C là hình phẳng, đóng, bị chặn và lồi trong mặt phẳng. Nếu C
không là hình tròn thì tồn tại hình C’ có cùng chu vi như C nhưng diện tích
lớn hơn. Nói cách khác, hình tròn có diện tích lớn nhất trong tất cả các hình
phẳng có cùng chu vi.
Chứng minh của Steiner
Lấy P,Q là hai điểm biên của C mà nó chia C thành hai hình có chu vi
bằng nhau. Vì C không là đường tròn nên tồn tại V C ∈ sao cho PVQ ≠ 900 .
Gọi B1 2 , B là hai hình giới hạn bởi C và hai dây cung PV và QV.
KẾT LUẬN
- - - \[ - - -
I. Kết quả đạt được
Tóm lại, qua quá trình nghiên cứu, đề tài đã đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày, giới thiệu một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
đẳng chu trong mặt phẳng dựa vào công cụ giải tích hàm nhiều biến và
hình học vi phân cổ điển.
2. Hệ thống lại các bài toán đẳng chu phẳng trong chương trình toán phổ
thông trong đó có sự phân loại loại gốc và loại mở rộng.
II. Hạn chế của đề tài
1. Lời giải của một số bài toán chưa thật hay, chưa thật ngắn gọn.
2. Chưa trình bày chứng minh bất đẳng thức đẳng chu cho một vật thể bất
kì trong không gian vì phép chứng minh đó khá phức tạp.
3. Còn nhiều bài toán đẳng chu trong không gian chưa được nêu trong đề
tài.
III. Hướng phát triển của đề tài
1. Hướng đến chứng minh định lí đẳng chu trong trường hợp tổng quát
cho không gian Euclide n chiều n , n ≥ 2.
2. Ngoài ra còn có thể xét bài toán đẳng chu trên các không gian khác như
mặt cầu, đa tạp Riemann,…
Hy vọng trong thời gian tới khi có điều kiện nghiên cứu sâu hơn chúng tui sẽ
quay trở lại tìm hiểu vấn đề ở mức độ nâng cao hơn .
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: