coleminhdaquen
New Member
Download miễn phí Chuyên đề Hệ phương trình đối xứng loại (kiểu) I
II. điều kiện tham số đểhệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: đặt điều kiện (nếu có
. ii) Bước 2: đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và 2S 4P ≥ (*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệphương trình. Giải hệtìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ThS. ðoàn Vương NguyênTrang 1
CHUYÊN ðỀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG LOẠI (KIỂU) I
TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Hệ ñối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát:
f(x, y) = 0
g(x, y) = 0
, trong ñó
f(x, y) = f(y, x)
g(x, y) = g(y, x)
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ .
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et ñảo tìm x, y.
Chú ý:
i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP.
ii) ðôi khi ta phải ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv.
iii) Có những hệ phương trình trở thành ñối xứng loại I sau khi ñặt ẩn phụ.
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình
2 2
3 3
x y xy 30
x y 35
+ =
+ =
.
GIẢI
ðặt S x y, P xy= + = , ñiều kiện 2S 4P≥ . Hệ phương trình trở thành:
2
2
30
PSP 30 S
90S(S 3P) 35
S S 35
S
= = ⇔ − = − =
S 5 x y 5 x 2 x 3
P 6 xy 6 y 3 y 2
= + = = = ⇔ ⇔ ⇔ ∨
= = = =
.
Ví dụ 2. Giải hệ phương trình
3 3
xy(x y) 2
x y 2
− = −
− =
.
GIẢI
ðặt t y, S x t, P xt= − = + = , ñiều kiện 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:
3 3 3
xt(x t) 2 SP 2
x t 2 S 3SP 2
+ = = ⇔
+ = − =
S 2 x 1 x 1
P 1 t 1 y 1
= = = ⇔ ⇔ ⇔
= = = −
.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 4
x y
+ + + =
+ + + =
.
GIẢI
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang 2
ðiều kiện x 0, y 0≠ ≠ .
Hệ phương trình tương ñương với: 2 2
1 1
x y 4
x y
1 1
x y 8
x y
+ + + =
+ + + =
ðặt 2
1 1 1 1
S x y ,P x y ,S 4P
x y x y
= + + + = + + ≥
ta có:
2
1 1
x y 4
S 4 S 4 x y
P 4 1 1S 2P 8
x y 4
x y
+ + + = = = ⇔ ⇔ =− = + + =
1
x 2 x 1x
1 y 1
y 2
y
+ = = ⇔ ⇔
= + =
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
2 2x y 2xy 8 2 (1)
x y 4 (2)
+ + =
+ =
.
GIẢI
ðiều kiện x, y 0≥ . ðặt t xy 0= ≥ , ta có:
2xy t= và (2) x y 16 2t⇒ + = − .
Thế vào (1), ta ñược:
2t 32t 128 8 t t 4− + = − ⇔ =
Suy ra:
xy 16 x 4
x y 8 y 4
= = ⇔
+ = =
.
II. ðiều kiện tham số ñể hệ ñối xứng loại (kiểu) I có nghiệm
Phương pháp giải chung:
i) Bước 1: ðặt ñiều kiện (nếu có).
ii) Bước 2: ðặt S = x + y, P = xy với ñiều kiện của S, P và 2S 4P≥ (*).
iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ ñiều kiện (*) tìm m.
Chú ý:
Khi ta ñặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác ñiều kiện u, v.
Ví dụ 1 (trích ñề thi ðH khối D – 2004). Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình sau có nghiệm thực:
x y 1
x x y y 1 3m
+ =
+ = −
.
GIẢI
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang 3
ðiều kiện x, y 0≥ ta có:
3 3
x y 1 x y 1
x x y y 1 3m ( x) ( y) 1 3m
+ = + =
⇔
+ = − + = −
ðặt S x y 0,P xy 0= + ≥ = ≥ , 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:
2
S 1 S 1
P mS 3SP 1 3m
= = ⇔
=− = −
.
Từ ñiều kiện 2S 0,P 0,S 4P≥ ≥ ≥ ta có 10 m
4
≤ ≤ .
Ví dụ 2. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
2 2
x y xy m
x y xy 3m 9
+ + =
+ = −
có nghiệm thực.
GIẢI
2 2
x y xy m (x y) xy m
xy(x y) 3m 9x y xy 3m 9
+ + = + + = ⇔
+ = −+ = −
.
ðặt S = x + y, P = xy, 2S 4P.≥ Hệ phương trình trở thành:
S P m
SP 3m 9
+ =
= −
.
Suy ra S và P là nghiệm của phương trình 2t mt 3m 9 0− + − =
S 3 S m 3
P m 3 P 3
= = − ⇒ ∨
= − =
.
Từ ñiều kiện ta suy ra hệ có nghiệm
2
2
3 4(m 3) 21
m m 3 2 3
(m 3) 12 4
≥ −
⇔ ⇔ ≤ ∨ ≥ + − ≥
.
Ví dụ 3. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
x 4 y 1 4
x y 3m
− + − =
+ =
có nghiệm.
GIẢI
ðặt u x 4 0, v y 1 0= − ≥ = − ≥ hệ trở thành:
2 2
u v 4u v 4
21 3mu v 3m 5 uv
2
+ = + = ⇔ − + = − =
.
Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của 2 21 3mt 4t 0
2
−
− + = (*).
Hệ có nghiệm ⇔ (*) có 2 nghiệm không âm
/ 3m 130 0 132S 0 m 7
21 3m 3
0P 0
2
−∆ ≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤
− ≥≥
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang 4
Ví dụ 4. Tìm ñiều kiện m ñể hệ phương trình
2 2x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m
+ + + =
+ + =
có nghiệm thực.
GIẢI
2 22 2
2 2
(x 4x) (y 4y) 10x y 4x 4y 10
xy(x 4)(y 4) m (x 4x)(y 4y) m
+ + + = + + + = ⇔
+ + = + + =
.
ðặt 2 2u (x 2) 0, v (y 2) 0= + ≥ = + ≥ . Hệ phương trình trở thành:
u v 10 S 10
uv 4(u v) m 16 P m 24
+ = = ⇔
− + = − = +
(S = u + v, P = uv).
ðiều kiện
2S 4P
S 0 24 m 1
P 0
≥ ≥ ⇔ − ≤ ≤
≥
.
BÀI TẬP
Giải các hệ phương trình sau
1.
2 2
x y xy 5
x y xy 7
+ + =
+ + =
. ðáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
= = ∨
= =
.
2.
2 2x xy y 3
2x xy 2y 3
+ + =
+ + = −
. ðáp số:
x 1 x 3 x 3
y 1 y 3 y 3
= − = = − ∨ ∨
= − = − =
.
3.
3 3
x y 2xy 2
x y 8
+ + =
+ =
. ðáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
= = ∨
= =
.
4.
3 3x y 7
xy(x y) 2
− =
− =
. ðáp số:
x 1 x 2
y 2 y 1
= − = ∨
= − =
.
5.
2 2
x y 2xy 5
x y xy 7
− + =
+ + =
. ðáp số:
1 37 1 37
x xx 2 x 1
4 4
y 1 y 2 1 37 1 37
y y
4 4
− + = = = = − ∨ ∨ ∨
= = − − − − + = =
.
6.
2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y
+ + =
+ + =
. ðáp số:
x 1 x 17 3 5 7 3 5
x x
2 2 7 3 5 7 3 5
y yy 1 y 1
2 2
= − = − − + = = ∨ ∨ ∨ − + = = = − = −
.
ThS. ðoàn Vương Nguyên
Trang 5
7.
x y y x 30
x x y y 35
+ =
+ =
. ðáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
= = ∨
= =
.
8.
x y 7
1
y x xy
x xy y xy 78
+ = +
+ =
(chú ý ñiều kiện x, y > 0). ðáp số: x 4 x 9
y 9 y 4
= = ∨
= =
.
9. ( )
2 23 3
3 3
2(x y) 3 x y xy
x y 6
+ = +
+...