Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

[dieulinh060986]

Download Luận văn Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

Download miễn phí Luận văn Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU . 1
Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna . 3
1.1. Công thức Poison – Jensen . 3
1.1.1. Định lý . 3
1.1.2. Hệ quả . 6
1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất . 7
1.2.1. Định nghĩa . 7
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng . 9
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất . 9
1.3. Định lý cơ bản thứ hai . 10
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản) . 10
1.3.2. Bổ đề 1 . 11
1.3.3. Bổ đề 2 . 12
1.3.4. Định lý . 16
1.3.5. Định nghĩa . 17
1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết) . 18
1.3.7. Định lý . 20
Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. . 24
2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình. . 24
2.1.1. Định nghĩa . 24
2.1.2. Định lý (Milloux) . 24
2.1.3. Định lý . 26
2.1.4. Định lý . 28
2.1.5. Bổ đề: . 28
2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó . 32
2.2.8. Định lý . 34
2.2.9. Định lý . 36
KẾT LUẬN . 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 39


http://cloud.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2013-10-24-luan_van_phan_phoi_gia_tri_cua_ham_phan_hinh_va_da.NjEK9hN8sF.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-41919/
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung:

vì:
1: log 0 log logx x x x   
1 1
log 0 log 0
x x
  
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
0 1:log 0 log 0
1 1 1
log 0 log log log .
x x x
x
x x x


    
    
Như vậy, ta có:
   
 
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
log Re log Re log
2 2 2 Re
i i
i
f d f d d
f
   
        
.
Đặt
   
2
0
1
, log Re
2
im R f f d

 
 
.
Giả sử f có các cực điểm
 1,vb v n
(mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm
 1,a M  
trong
   ; ,z R n t f
là
số cực điểm của f trong
 z t
.
Đặt
   
1 0
, log ,
RN
v v
R dt
N R f n t f
b t
  
.
Như vậy,
1 0
1 1
, log ,
RM R dt
N R n t
f f ta 
   
    
   
 
.
Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:
     
1 1
log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R
f f
   
      
   
     
1 1
, , , , log 0m R f N R f m R N R f
f f
   
       
   
.
Đặt
     , , ,T R f m R f N R f 
, (1.1)
thì
   
1
, , log 0T R f T R f
f
 
  
 
. (1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
 ,T R f
được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng
Giả sử
   1 ,..., nf z f z
là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức
sau đây:
(1)
   
1 1
, , log
l l
k k
k k
m r f z m r f l
 
 
  
 
 
.
(2)
   
11
, ,
l l
k k
kk
m r f z m r f

 
 
 

.
(3)
 
1 1
, ,
l l
k k
k k
N r f N r f
 
 
 
 
 
.
(4)
 
11
, ,
l l
k k
kk
N r f N r f

 
 
 

.
(5)
 
1 1
, , log
l l
k k
k k
T r f T r f l
 
 
  
 
 
.
(6)
 
11
, ,
l l
k k
kk
T r f T r f

 
 
 

.
Đặc biệt, với mọi hàm phân hình
 f z
và mọi
a C
ta có:
   , , log log 2T r f T r f a a   
. (1.3)
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất
Giả sử
 f z
là hàm phân hình trong hình tròn
 , 0,z R R a 
là số
phức tùy ý. Khi đó ta có:
     
1 1
, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R
f a f a
          
    
trong đó
 , log log 2a R a  
.
Chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:
   
1 1 1
, , , , log 0m R N R T R T R f a f a
f a f a f a
     
          
       
.
Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.
(*) Nhận xét :
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ
bản thứ nhất. Hàm đếm 1
,N R
f a
 
 
 
được cho bởi công thức :
1
1
, log
M R
N R
f a a 
 
 
 

,
trong đó
a
là các nghiệm của phương trình
 f z a
trong hình tròn
z R
.
Hàm xấp xỉ
 
2
0
1 1 1
, log
2 Rei
m R d
f a f a

 
   
  

.
Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là
 Reif a
nhỏ) thì hàm
m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất
là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình
 f z a
’’ và ‘‘độ lớn
tập hợp tại đó
 f z
nhận giá trị gần bằng a’’. Trong khi đó vế phải của đẳng
thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình
 f z
nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau.
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)
Giả sử
 f z
là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn
 z r
;
1,..., ; 2qa a q 
, là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
         1
1
, , 2 ,
q
v
v
m r m r a T r f N r S r

    
,
trong đó
 1 0N r 
, được cho bởi:
     1
1
, 2 , , '
'
N r N r N r f N r f
f
 
   
 
,
 
 1
' 3 1
, log log2 log
' 0
q
v v
f q
S r m r q
f a f


 
    
 

,
1
min 0.v
v q
a a

  
  
( Để đơn giản ta giả thiết:
 ' 0 0,f  
).
Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề
sau.
1.3.2. Bổ đề 1
Giả sử
 g z
là hàm phân hình trong hình tròn
   , 0 0,z r g  
khi đó ta có:
 
 
 
2
0
1 1 1
, , log log 0
2 i
N r g N r d g
g g re

 
 
   
 

.
Chứng minh.
     
1 1 1
, , , , , ,N r g N r T r g m r g T r m r
g g g
      
             
      
   
1 1
, , , ,T r g T r m r g m r
g g
      
         
      
 
 
 
2 2
0 0
1 1 1 1
log log log
0 2 2
i
i
g re d d
g g re
 
   
 
   
 
 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
 
 
2
0
1 1
log log
0 2
ig re d
g

   
.
Đặt
 
1
1q
v v
F z
f a



.
1.3.3. Bổ đề 2
Với các giả thiết của định lý, ta có:
   
1
1 3
log log log log2. *
q q
F z q
f a  
  

  


Chứng minh.
+ Nếu với mọi

,
3
f a
q


 
thì (*) đúng.
Thật vậy với mọi

ta có :
1
1 3 1 3
log log
qq q
q
f a f a  
 

  
 

.

Vế phải của (*)
0
+ Giả sử tồn tại
v
:
3
vf a
q

 
.
Nếu tồn tại

thỏa mãn thì
v
là duy nhất. Vì nếu ngược lại:
;
3
vf a
q

 
.
3
f a
q


 
 2
3
va a
q

   
. (vô lý)
Với mọi
;
3
v f a
q

   
,
2
3 3
v vf a a a f a
q
 
        .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
 1 3 1 3 1 1
2 2 2 v
q
q q f af a  
 

.
13
2 2
3
vf a q
qf a



 

.
 
1
1 1 1q
v vv v
F z
f a f a f a  
  
  
 
= 1 1 1 1
1 1
2 2
v
v v v
f a q
f a f a q f af a
   
      
     

.
 
1
1 1 1
log log log2 log log log2
q
vv
F z
f a f a f a  
   
 
    
  
 
 
1
1 3
log 1 log log2
q q
q
f a  
 

   


1
1 3
log log log2
q q
q
f a  
 

  


.
(*) Chứng minh định lý:
Lấy 2
0
1
2
d


 
hai vế ta được:
 
2 2
10 0
1 1 1 3
log log log log 2
2 2
q
i qF re d d q
f a
 
 
      ...