Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết N ối
MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................I
HƯỚNG DẪN ........................................................................................................... VI
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN .................................................... 1
1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ....................................................................................... 1
1.1.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 1
1.1.2 Các tính chất của giới hạn hàm số ..................................................................... 2
1.1.3 Giới hạn lim u(x)v(x), dạng vô định 1 ................................................................. 3
1.2 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN ........................................................... 6
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................... 9
TÓM TẮT ................................................................................................................ 12
BÀI TẬP ................................................................................................................. 13
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 14
BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ........................................................... 15
2.1 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM............................................................................ 15
2.2 KHẢ VI, VI PHÂN .............................................................................................. 17
2.2.1 Khả vi, vi phân.............................................................................................. 17
2.2.2 Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân (cấp một) ......................... 18
2.2.3 Đạo hàm của hàm số cho bởi phương trình tham số ........................................... 19
2.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn ..................................................................................... 19
2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ........................................................................ 21
2.3.1 Đạo hàm cấp cao .......................................................................................... 21
2.3.2 Công thức Leibniz .......................................................................................... 21
2.3.3 Vi phân cấp cao ............................................................................................. 22
2.3.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng ..................................................................... 22
2.4 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .............................................................. 23
2.5 CÔNG THỨC TAYLOR ......................................................................................... 26
2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Peano ................................................................ 27
2.5.2 Công thức Maclaurin một số hàm sơ cấp .......................................................... 28
2.5.3 Sử dụng công thức Taylor tính gần đúng có đánh giá sai số ................................ 30
2.5.4 Sử dụng công thức Taylor tính giới hạn ............................................................ 31
2.6 QUY TẮC L’HOSPITAL ....................................................................................... 31
TÓM TẮT ................................................................................................................ 33
BÀI TẬP ................................................................................................................. 34
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 37
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN ........................................................................ 39
3.1 DÙNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ = () ...................................................... 39
3.2 KHẢO SÁT HÀM SỐ CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ ..................................... 42
II
MỤC LỤC
3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC ................................................... 45
3.3.1 Hệ tọa độ cực ................................................................................................45
3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng....................................................................................46
3.3.3 Đường cong trong tọa độ cực ...........................................................................47
3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực ............................................48
TÓM TẮT ................................................................................................................ 51
BÀI TẬP ................................................................................................................. 51
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 53
BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................................... 54
4.1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ 54
4.1.1 Tích phân xác định .........................................................................................54
4.1.2 Các tính chất của tích phân xác định .................................................................55
4.1.3 Tích phân với cận trên thay đổi ........................................................................55
4.1.4 Công thức Newton - Leibniz - định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................56
4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 (KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN VÔ HẠN).................... 58
4.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................58
4.2.2 Sử dụng công thức Newton - Leibniz .................................................................59
4.2.3 Tích phân không âm. Các định lý so sánh ..........................................................59
4.2.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................61
4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 (HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN KHÔNG BỊ CHẶN) .. 62
4.3.1 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................62
4.3.2 Tích phân hàm không âm. Các định lý so sánh ...................................................63
4.3.3 Công thức Newton - Leibniz trong tích phân suy rộng .........................................64
4.3.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................64
4.3.5 Một số ví dụ ..................................................................................................64
TÓM TẮT ................................................................................................................ 67
BÀI TẬP ................................................................................................................. 67
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 68
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 70
5.1 MẶT BẬC HAI .................................................................................................... 70
5.1.1 Ellipsoid ........................................................................................................70
5.1.2 Elliptic paraboloid ...........................................................................................71
5.1.3 Hyperboloid một tầng .....................................................................................71
5.1.4 Hyperboloid hai tầng ......................................................................................72
5.1.5 Hyperbolic paraboloid .....................................................................................73
5.1.6 Mặt trụ bậc hai ..............................................................................................73
5.1.7 Mặt nón bậc hai .............................................................................................74
5.2 HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................. 75
5.3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ..................................................................................... 76
5.4 ĐẠO HÀM RIÊNG ............................................................................................... 79
5.4.1 Đạo hàm riêng ...............................................................................................79
MỤC LỤC
III
5.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .................................................................................. 80
5.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT ................................................................. 82
5.5.1 Đạo hàm theo hướng và gradient của hàm (, ) .............................................. 82
5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến ......................................... 84
TÓM TẮT ................................................................................................................ 86
BÀI TẬP ................................................................................................................. 87
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 89
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................... 90
6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN .......................................................................................... 90
6.1.1 Khả vi và vi phân .......................................................................................... 90
6.1.2 Các tính chất của vi phân ............................................................................... 93
6.1.3 Tính gần đúng .............................................................................................. 93
6.1.4 Vi phân cấp cao ............................................................................................ 94
6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP ..................................................... 96
6.2.1 Vi phân của hàm hợp. Tính bất biến của dạng vi phân cấp một ........................... 98
6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp ................................................ 99
6.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN ..................................................... 100
6.3.1 Hàm ẩn ....................................................................................................... 100
6.3.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ............................................................ 101
6.4 CÔNG THỨC TAYLOR ....................................................................................... 105
TÓM TẮT .............................................................................................................. 108
BÀI TẬP ............................................................................................................... 110
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 112
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................... 113
7.1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (CỰC TRỊ TỰ DO) ................................................... 113
7.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................................... 117
7.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 125
TÓM TẮT .............................................................................................................. 130
BÀI TẬP ............................................................................................................... 132
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 134
BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................................ 135
8.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ......................................................................... 135
8.1.1 Bài toán thể tích........................................................................................... 135
8.1.2 Định nghĩa tích phân kép ............................................................................... 136
8.1.3 Tính chất ..................................................................................................... 137
8.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................ 138
8.3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP..................................................... 145
8.3.1 Diện tích hình phẳng..................................................................................... 145
8.3.2 Thể tích vật thể............................................................................................ 145
8.3.3 Diện tích mặt cong ....................................................................................... 145
TÓM TẮT .............................................................................................................. 147
IV
MỤC LỤC
BÀI TẬP ............................................................................................................... 148
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 150
BÀI 9: ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP ................................................................ 152
9.1 TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC............................................................... 152
9.2 ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT .................................................................................... 156
9.3 ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP ........................................................ 157
9.3.1 Khối lượng của mảnh phẳng .......................................................................... 157
9.3.2 Mô-men quán tính (mô-men thứ hai) của mảnh phẳng ..................................... 158
9.3.3 Mô-men tĩnh (mô-men thứ nhất) của mảnh phẳng ........................................... 158
9.3.4 Trọng tâm ................................................................................................... 158
TÓM TẮT .............................................................................................................. 161
BÀI TẬP ............................................................................................................... 162
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 164
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................................... 165
10.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN ...................................................................................... 165
10.1.1 Phương trình vi phân .................................................................................. 165
10.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân ................................................................. 166
10.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .................................................................... 167
10.2.1 Phương trình cấp một ................................................................................. 167
10.2.2 Phương trình vi phân của họ đường cong ....................................................... 169
10.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CÓ BIẾN PHÂN LY ................................... 171
10.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP............................................................. 172
10.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN .......................................................... 176
10.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ................................................ 178
10.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) ............................... 178
10.6.2 Phương pháp thừa số tích phân .................................................................... 179
10.7 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI ........................................................................ 180
TÓM TẮT .............................................................................................................. 182
BÀI TẬP ............................................................................................................... 183
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 185
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 ................................................................. 186
11.1 KHÁI NIỆM CHUNG ....................................................................................... 186
11.2 PHƯƠNG TRÌNH GIẢM CẤP ĐƯỢC ................................................................. 188
11.2.1 Phương trình không chứa y và y’ .................................................................. 188
11.2.2 Phương trình không chứa y .......................................................................... 188
11.2.3 Phương trình không chứa .......................................................................... 189
11.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 ................................................ 189
11.3.1 Khái niệm .................................................................................................. 189
11.3.2 Xây dựng nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm ............................................... 195
11.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số (Tìm nghiệm riêng của … thuần nhất) ............. 196
11.3.4 Nguyên lý xếp chồng nghiệm ....................................................................... 198
MỤC LỤC
V
11.4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO ......................................................... 199
11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng ................................... 200
11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng .................................. 203
11.4.3 Nghiệm riêng phương trình không thuần nhất cấp hai. … bất định..................... 204
11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cấp cao hệ số hằng .............. 207
TÓM TẮT .............................................................................................................. 208
BÀI TẬP ............................................................................................................... 208
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 209
VI
HƯỚNG DẪN
HƯỚNG DẪN
MÔ TẢ MÔN HỌC
Môn học trang bị các kiến thức về giải tích các hàm một biến, giải tích các hàm
nhiều biến và phương trình vi phân. Nội dung bao gồm: phép tính vi tích phân đối với
hàm một biến và ứng dụng; hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục; tích phân suy rộng;
đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn, gradient; cực trị và
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến; tích phân kép, chuyển tích phân
sang tọa độ cực; phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và phương trình vi phân tuyến
tính cấp cao hệ số hằng.
NỘI DUNG MÔN HỌC
Bài 1. Trình bày về giới hạn và liên tục của hàm số một biến cùng với khái niệm về
vô cùng bé.
Bài 2. Nhắc lại đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp. Khái niệm và cách tìm đạo hàm
của hàm ẩn, đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. Trình bày các định lí
về giá trị trung bình và công thức Taylor.
Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số ở dạng tường minh,
dạng phương trình tham số và trong tọa độ cực.
Bài 4. Tích phân suy rộng loại 1, loại 2. Một số tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của
tích phân suy rộng.
Bài 5. Khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. Đạo
hàm riêng cấp một và cấp cao của hàm nhiều biến. Khái niệm đạo hàm theo
hướng và gradient của hàm nhiều biến.
Bài 6. Tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Tìm đạo hàm riêng của hàm
hợp, hàm ẩn, hàm cho bởi phương trình tham số. Công thức Taylor của hàm hai
biến.
Bài 7. Tìm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn.
HƯỚNG DẪN
VII
Bài 8. Trình bày về tích phân kép, đưa về tích lặp để tích tính tích phân kép và đổi
thứ tự lấy tích phân. Ứng dụng của tích phân kép.
Bài 9. Đổi biến trong tích phân kép. Đổi sang tọa độ cực và tính tích phân kép
trong tọa độ cực.
Bài 10. Khái niệm chung về phương trình vi phân. Một số dạng và cách giải một số
dạng phương trình vi phân cấp 1 (tách biến, đẳng cấp, tuyến tính,…).
Bài 11. Trình bày phương trình vi phân cấp 2 (tổng quát) và phương trình vi phân
cấp cao hệ số hằng.
KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ
Môn Giải tích 1 yêu cầu sinh viên có kĩ năng cơ bản tìm giới hạn của hàm số, tìm
đạo hàm và tính tích phân của hàm một biến số.
YÊU CẦU MÔN HỌC
Người học vận dụng được lí thuyết để tính các giới hạn và xét sự liên tục của
hàm một biến; tính các đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn, và hàm cho bởi phương trình
tham số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm một biến trong tọa độ cực, từ phương trình
tham số, của các mặt bậc hai; khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng; tìm cực
trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm số 2, 3 biến số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số hai biến trên miền đóng, bị chặn; tích được tích phân kép, đưa
về tính trên tọa độ cực trong những điều kiện cho phép; giải được phương trình vi
phân cấp 1, cấp 2 và cấp cao tuyến tính hệ số hằng.
Sử dụng thành thạo các phương pháp diễn dịch, quy nạp trong toán học. Khuyến
khích sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi và các chương trình trên máy tính hỗ trợ việc
tính toán trong môn học.
Người học cần đi học đầy đủ, đọc các nội dung sẽ được học trước khi đến lớp,
làm các bài tập về nhà và đảm bảo thời gian tự học ở nhà.
VIII
HƯỚNG DẪN
CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC
Để học tốt môn này, người học cần đọc trước các nội dung chưa được học trên lớp;
tham gia đều đặn và tích cực trên lớp; hiểu các khái niệm, tính chất và ví dụ tại lớp
học. Sau khi học xong, cần ôn lại bài đã học và làm các bài tập, câu trắc nghiệm. Tìm
đọc thêm các tài liệu khác liên quan đến bài học và làm thêm bài tập.
Tài liệu này được biên soạn dựa theo cuốn sách "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh
Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm một biến và lí thuyết chuỗi,
NXB ĐHQG TPHCM, 2009" và "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu
Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TPHCM, 2009". Hầu
hết các kết quả lí thuyết trong bài giảng này đều không có chứng minh. Sinh viên có
thể tìm đọc thêm cuốn sách nêu trên để tìm hiểu các chứng minh chi tiết cho những
kết quả trong bài giảng, cũng như làm thêm bài tập để rèn luyện từ nguồn bài tập và
các ví dụ đã giải sẵn trong đó.
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC
Môn học được đánh giá gồm hai thành phần.
Phần điểm quá trình chiếm 30%, hình thức và nội dung đánh giá điểm quá trình do
giảng quyết định và công bố cho người học đầu khóa học.
Phần điểm cuối khóa chiếm 70%, hình thức bài thi trắc nghiệm trong 90 phút.
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
1
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CỦA HÀM MỘT BIẾN
Học xong bài này người học cần thực hiện được các điều sau.
-
Tìm giới hạn của hàm số một biến số dùng một số kỹ thuật biến đổi tương đương,
đặc biệt là các vô cùng bé tương đương.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................I
HƯỚNG DẪN ........................................................................................................... VI
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN .................................................... 1
1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ....................................................................................... 1
1.1.1 Định nghĩa ..................................................................................................... 1
1.1.2 Các tính chất của giới hạn hàm số ..................................................................... 2
1.1.3 Giới hạn lim u(x)v(x), dạng vô định 1 ................................................................. 3
1.2 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN VÀ GIỚI HẠN ........................................................... 6
1.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC ............................................................................................... 9
TÓM TẮT ................................................................................................................ 12
BÀI TẬP ................................................................................................................. 13
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 14
BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ........................................................... 15
2.1 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM............................................................................ 15
2.2 KHẢ VI, VI PHÂN .............................................................................................. 17
2.2.1 Khả vi, vi phân.............................................................................................. 17
2.2.2 Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân (cấp một) ......................... 18
2.2.3 Đạo hàm của hàm số cho bởi phương trình tham số ........................................... 19
2.2.4 Đạo hàm của hàm ẩn ..................................................................................... 19
2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO ........................................................................ 21
2.3.1 Đạo hàm cấp cao .......................................................................................... 21
2.3.2 Công thức Leibniz .......................................................................................... 21
2.3.3 Vi phân cấp cao ............................................................................................. 22
2.3.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng ..................................................................... 22
2.4 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH .............................................................. 23
2.5 CÔNG THỨC TAYLOR ......................................................................................... 26
2.5.1 Công thức Taylor với phần dư Peano ................................................................ 27
2.5.2 Công thức Maclaurin một số hàm sơ cấp .......................................................... 28
2.5.3 Sử dụng công thức Taylor tính gần đúng có đánh giá sai số ................................ 30
2.5.4 Sử dụng công thức Taylor tính giới hạn ............................................................ 31
2.6 QUY TẮC L’HOSPITAL ....................................................................................... 31
TÓM TẮT ................................................................................................................ 33
BÀI TẬP ................................................................................................................. 34
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 37
BÀI 3: KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT BIẾN ........................................................................ 39
3.1 DÙNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ = () ...................................................... 39
3.2 KHẢO SÁT HÀM SỐ CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ ..................................... 42
II
MỤC LỤC
3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG TỌA ĐỘ CỰC ................................................... 45
3.3.1 Hệ tọa độ cực ................................................................................................45
3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng....................................................................................46
3.3.3 Đường cong trong tọa độ cực ...........................................................................47
3.3.4 Khảo sát và vẽ đồ thị đường cong trong tọa độ cực ............................................48
TÓM TẮT ................................................................................................................ 51
BÀI TẬP ................................................................................................................. 51
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 53
BÀI 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ................................................................................... 54
4.1 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ 54
4.1.1 Tích phân xác định .........................................................................................54
4.1.2 Các tính chất của tích phân xác định .................................................................55
4.1.3 Tích phân với cận trên thay đổi ........................................................................55
4.1.4 Công thức Newton - Leibniz - định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................56
4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 (KHOẢNG LẤY TÍCH PHÂN VÔ HẠN).................... 58
4.2.1 Tích phân suy rộng loại 1 ................................................................................58
4.2.2 Sử dụng công thức Newton - Leibniz .................................................................59
4.2.3 Tích phân không âm. Các định lý so sánh ..........................................................59
4.2.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................61
4.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 (HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN KHÔNG BỊ CHẶN) .. 62
4.3.1 Tích phân suy rộng loại 2 ................................................................................62
4.3.2 Tích phân hàm không âm. Các định lý so sánh ...................................................63
4.3.3 Công thức Newton - Leibniz trong tích phân suy rộng .........................................64
4.3.4 Hội tụ tuyệt đối ..............................................................................................64
4.3.5 Một số ví dụ ..................................................................................................64
TÓM TẮT ................................................................................................................ 67
BÀI TẬP ................................................................................................................. 67
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 68
BÀI 5: HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................................... 70
5.1 MẶT BẬC HAI .................................................................................................... 70
5.1.1 Ellipsoid ........................................................................................................70
5.1.2 Elliptic paraboloid ...........................................................................................71
5.1.3 Hyperboloid một tầng .....................................................................................71
5.1.4 Hyperboloid hai tầng ......................................................................................72
5.1.5 Hyperbolic paraboloid .....................................................................................73
5.1.6 Mặt trụ bậc hai ..............................................................................................73
5.1.7 Mặt nón bậc hai .............................................................................................74
5.2 HÀM NHIỀU BIẾN ............................................................................................. 75
5.3 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ..................................................................................... 76
5.4 ĐẠO HÀM RIÊNG ............................................................................................... 79
5.4.1 Đạo hàm riêng ...............................................................................................79
MỤC LỤC
III
5.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao .................................................................................. 80
5.5 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG, GRADIENT ................................................................. 82
5.5.1 Đạo hàm theo hướng và gradient của hàm (, ) .............................................. 82
5.5.2 Đạo hàm theo hướng và gradient đối với hàm 3 biến ......................................... 84
TÓM TẮT ................................................................................................................ 86
BÀI TẬP ................................................................................................................. 87
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM .......................................................................................... 89
BÀI 6: KHẢ VI VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .................................................... 90
6.1 KHẢ VI VÀ VI PHÂN .......................................................................................... 90
6.1.1 Khả vi và vi phân .......................................................................................... 90
6.1.2 Các tính chất của vi phân ............................................................................... 93
6.1.3 Tính gần đúng .............................................................................................. 93
6.1.4 Vi phân cấp cao ............................................................................................ 94
6.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP ..................................................... 96
6.2.1 Vi phân của hàm hợp. Tính bất biến của dạng vi phân cấp một ........................... 98
6.2.2 Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp ................................................ 99
6.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN ..................................................... 100
6.3.1 Hàm ẩn ....................................................................................................... 100
6.3.2 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn ............................................................ 101
6.4 CÔNG THỨC TAYLOR ....................................................................................... 105
TÓM TẮT .............................................................................................................. 108
BÀI TẬP ............................................................................................................... 110
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 112
BÀI 7: CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................... 113
7.1 CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN (CỰC TRỊ TỰ DO) ................................................... 113
7.2 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................................... 117
7.3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 125
TÓM TẮT .............................................................................................................. 130
BÀI TẬP ............................................................................................................... 132
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 134
BÀI 8: TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................................ 135
8.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP ......................................................................... 135
8.1.1 Bài toán thể tích........................................................................................... 135
8.1.2 Định nghĩa tích phân kép ............................................................................... 136
8.1.3 Tính chất ..................................................................................................... 137
8.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP ............................................................................ 138
8.3 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP..................................................... 145
8.3.1 Diện tích hình phẳng..................................................................................... 145
8.3.2 Thể tích vật thể............................................................................................ 145
8.3.3 Diện tích mặt cong ....................................................................................... 145
TÓM TẮT .............................................................................................................. 147
IV
MỤC LỤC
BÀI TẬP ............................................................................................................... 148
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 150
BÀI 9: ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP ................................................................ 152
9.1 TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC............................................................... 152
9.2 ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT .................................................................................... 156
9.3 ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP ........................................................ 157
9.3.1 Khối lượng của mảnh phẳng .......................................................................... 157
9.3.2 Mô-men quán tính (mô-men thứ hai) của mảnh phẳng ..................................... 158
9.3.3 Mô-men tĩnh (mô-men thứ nhất) của mảnh phẳng ........................................... 158
9.3.4 Trọng tâm ................................................................................................... 158
TÓM TẮT .............................................................................................................. 161
BÀI TẬP ............................................................................................................... 162
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 164
BÀI 10: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................................... 165
10.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN ...................................................................................... 165
10.1.1 Phương trình vi phân .................................................................................. 165
10.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân ................................................................. 166
10.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 .................................................................... 167
10.2.1 Phương trình cấp một ................................................................................. 167
10.2.2 Phương trình vi phân của họ đường cong ....................................................... 169
10.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT CÓ BIẾN PHÂN LY ................................... 171
10.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP............................................................. 172
10.5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN .......................................................... 176
10.6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 ................................................ 178
10.6.1 Phương pháp biến thiên hằng số (phương pháp Lagrange) ............................... 178
10.6.2 Phương pháp thừa số tích phân .................................................................... 179
10.7 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI ........................................................................ 180
TÓM TẮT .............................................................................................................. 182
BÀI TẬP ............................................................................................................... 183
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 185
BÀI 11: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 ................................................................. 186
11.1 KHÁI NIỆM CHUNG ....................................................................................... 186
11.2 PHƯƠNG TRÌNH GIẢM CẤP ĐƯỢC ................................................................. 188
11.2.1 Phương trình không chứa y và y’ .................................................................. 188
11.2.2 Phương trình không chứa y .......................................................................... 188
11.2.3 Phương trình không chứa .......................................................................... 189
11.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 ................................................ 189
11.3.1 Khái niệm .................................................................................................. 189
11.3.2 Xây dựng nghiệm thứ hai khi biết một nghiệm ............................................... 195
11.3.3 Phương pháp biến thiên hằng số (Tìm nghiệm riêng của … thuần nhất) ............. 196
11.3.4 Nguyên lý xếp chồng nghiệm ....................................................................... 198
MỤC LỤC
V
11.4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP CAO ......................................................... 199
11.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng ................................... 200
11.4.2 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp cao hệ số hằng .................................. 203
11.4.3 Nghiệm riêng phương trình không thuần nhất cấp hai. … bất định..................... 204
11.4.4 Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất cấp cao hệ số hằng .............. 207
TÓM TẮT .............................................................................................................. 208
BÀI TẬP ............................................................................................................... 208
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ........................................................................................ 209
VI
HƯỚNG DẪN
HƯỚNG DẪN
MÔ TẢ MÔN HỌC
Môn học trang bị các kiến thức về giải tích các hàm một biến, giải tích các hàm
nhiều biến và phương trình vi phân. Nội dung bao gồm: phép tính vi tích phân đối với
hàm một biến và ứng dụng; hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục; tích phân suy rộng;
đạo hàm riêng và vi phân, đạo hàm riêng và vi phân của hàm ẩn, gradient; cực trị và
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến; tích phân kép, chuyển tích phân
sang tọa độ cực; phương trình vi phân cấp 1, cấp 2 và phương trình vi phân tuyến
tính cấp cao hệ số hằng.
NỘI DUNG MÔN HỌC
Bài 1. Trình bày về giới hạn và liên tục của hàm số một biến cùng với khái niệm về
vô cùng bé.
Bài 2. Nhắc lại đạo hàm, đạo hàm của hàm hợp. Khái niệm và cách tìm đạo hàm
của hàm ẩn, đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số. Trình bày các định lí
về giá trị trung bình và công thức Taylor.
Bài 3. Ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số ở dạng tường minh,
dạng phương trình tham số và trong tọa độ cực.
Bài 4. Tích phân suy rộng loại 1, loại 2. Một số tiêu chuẩn khảo sát sự hội tụ của
tích phân suy rộng.
Bài 5. Khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. Đạo
hàm riêng cấp một và cấp cao của hàm nhiều biến. Khái niệm đạo hàm theo
hướng và gradient của hàm nhiều biến.
Bài 6. Tính khả vi và vi phân của hàm nhiều biến. Tìm đạo hàm riêng của hàm
hợp, hàm ẩn, hàm cho bởi phương trình tham số. Công thức Taylor của hàm hai
biến.
Bài 7. Tìm cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn.
HƯỚNG DẪN
VII
Bài 8. Trình bày về tích phân kép, đưa về tích lặp để tích tính tích phân kép và đổi
thứ tự lấy tích phân. Ứng dụng của tích phân kép.
Bài 9. Đổi biến trong tích phân kép. Đổi sang tọa độ cực và tính tích phân kép
trong tọa độ cực.
Bài 10. Khái niệm chung về phương trình vi phân. Một số dạng và cách giải một số
dạng phương trình vi phân cấp 1 (tách biến, đẳng cấp, tuyến tính,…).
Bài 11. Trình bày phương trình vi phân cấp 2 (tổng quát) và phương trình vi phân
cấp cao hệ số hằng.
KIẾN THỨC TIỀN ĐỀ
Môn Giải tích 1 yêu cầu sinh viên có kĩ năng cơ bản tìm giới hạn của hàm số, tìm
đạo hàm và tính tích phân của hàm một biến số.
YÊU CẦU MÔN HỌC
Người học vận dụng được lí thuyết để tính các giới hạn và xét sự liên tục của
hàm một biến; tính các đạo hàm của hàm hợp, hàm ẩn, và hàm cho bởi phương trình
tham số; khảo sát và vẽ đồ thị của hàm một biến trong tọa độ cực, từ phương trình
tham số, của các mặt bậc hai; khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng; tìm cực
trị tự do và cực trị có điều kiện của hàm số 2, 3 biến số; tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số hai biến trên miền đóng, bị chặn; tích được tích phân kép, đưa
về tính trên tọa độ cực trong những điều kiện cho phép; giải được phương trình vi
phân cấp 1, cấp 2 và cấp cao tuyến tính hệ số hằng.
Sử dụng thành thạo các phương pháp diễn dịch, quy nạp trong toán học. Khuyến
khích sinh viên sử dụng máy tính bỏ túi và các chương trình trên máy tính hỗ trợ việc
tính toán trong môn học.
Người học cần đi học đầy đủ, đọc các nội dung sẽ được học trước khi đến lớp,
làm các bài tập về nhà và đảm bảo thời gian tự học ở nhà.
VIII
HƯỚNG DẪN
CÁCH TIẾP NHẬN NỘI DUNG MÔN HỌC
Để học tốt môn này, người học cần đọc trước các nội dung chưa được học trên lớp;
tham gia đều đặn và tích cực trên lớp; hiểu các khái niệm, tính chất và ví dụ tại lớp
học. Sau khi học xong, cần ôn lại bài đã học và làm các bài tập, câu trắc nghiệm. Tìm
đọc thêm các tài liệu khác liên quan đến bài học và làm thêm bài tập.
Tài liệu này được biên soạn dựa theo cuốn sách "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh
Hằng, và Ngô Thu Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm một biến và lí thuyết chuỗi,
NXB ĐHQG TPHCM, 2009" và "Đỗ Công Khanh, Nguyễn Minh Hằng, và Ngô Thu
Lương, Toán cao cấp: Giải tích các hàm nhiều biến, NXB ĐHQG TPHCM, 2009". Hầu
hết các kết quả lí thuyết trong bài giảng này đều không có chứng minh. Sinh viên có
thể tìm đọc thêm cuốn sách nêu trên để tìm hiểu các chứng minh chi tiết cho những
kết quả trong bài giảng, cũng như làm thêm bài tập để rèn luyện từ nguồn bài tập và
các ví dụ đã giải sẵn trong đó.
PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC
Môn học được đánh giá gồm hai thành phần.
Phần điểm quá trình chiếm 30%, hình thức và nội dung đánh giá điểm quá trình do
giảng quyết định và công bố cho người học đầu khóa học.
Phần điểm cuối khóa chiếm 70%, hình thức bài thi trắc nghiệm trong 90 phút.
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN
1
BÀI 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC
CỦA HÀM MỘT BIẾN
Học xong bài này người học cần thực hiện được các điều sau.
-
Tìm giới hạn của hàm số một biến số dùng một số kỹ thuật biến đổi tương đương,
đặc biệt là các vô cùng bé tương đương.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Tags: cách làm dạng bài tìm hàm khả vi giải tích 1, bài tập tìm cực trị tự do giải tích 1, Đỗ Công Khanh, Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng:Toán cao cấp 1– Giải tích hàm một biến PDF, giải tích hàm một biến và lý thuyết chuỗi đỗ công khanh pdf, Trình bày định nghĩa, cách tính tích phân suy rộng loại 1, loại 2., áp dụng vi phân tính gia trị gần đúng của, vi phân tính gần đúng