lautrang_chieudong_salami
New Member
Download miễn phí Đề thi Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế - IMTS
Bài toán 3/27. Giả thiết rằng f(1) = 0, và với mọi số nguyên m và n ta có
f(m + n) = f(m) + f(n) + 3(4mn - 1).
Xác định f(19).
Bài toán 4/27. Trong mặt phẳng toạ độ vuông góc, ABCD là một hình vuông
và các điểm (31, 27), (42, 43), (60, 27), và (46, 16) lần l-ợt nằm trên các cạnh AB,
BC, CD, DA của nó. Xác định diện tích của ABCD.
Bài toán 5/27. Có thể dựng trung điểm của một đoạn thẳng cho tr-ớc chỉ sử
dụng compa hay không? (nghĩa là, không sử dụng th-ớc thẳng trừ khi để vẽ đoạn
thẳng ban đầu).
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
là mộtsố chính ph−ơng. Chứng minh rằng nếu a ~ b, thì tồn tại một số nguyên d−ơng c
sao cho a ~ c và b ~ c.
Bài toán 5/14. Cho tam giác ABC, kéo dài các cạnh để dựng thành hai hình lục
giác nh− hình vẽ. So sánh diện tích của hai lục giác đó.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search - 15 - [email protected]
IMTS vòng 15
Bài toán 1/15. Có thể ghép đôi các số nguyên d−ơng 1,2, 3, ..., 50 sao cho tổng
của mỗi cặp số là các số nguyên tố khác nhau hay không?
Bài toán 2/15. Hãy thay thế các chữ cái khác nhau bởi các chữ số khác nhau
trong {0, 1, ..., 9} sao cho các phép cộng sau đúng. (Hai phép toán độc lập với
nhau).
H A R R I E T D I A N A
M A R R I E D A N D
+ H E R S A R A H
D E N T I S T + A R E
R E B E L S
Bài toán 3/15. Hai hình chóp có chung đáy 7 cạnh, với các đỉnh kí hiệu là A1,
A2, ..., A7. Chúng có các đỉnh khác là B và C. Không có ba điểm nào trong 9 điểm
là thẳng hàng. Mỗi cạnh trong 14 cạnh BAi và CAi (i = 1, ..., 7), 14 đ−ờng chéo của
đáy, và đoạn BC, đ−ợc tô màu xanh hay đỏ. Chứng minh rằng có ba đoạn trong
chúng có cùng màu và là ba cạnh của một tam giác.
Bài toán 4/15. Giả thiết cho các số nguyên d−ơng a, b, c và x, y, z thoả mãn a2 +
b2 = c2 và x2 + y2 = z2. Chứng minh rằng:
(a + x)2 + (b + y)2 ≤ (c + z)2.
Và hãy xác định khi nào dấu bằng xảy ra?
Bài toán 5/15. Cho C1 và C2 là hai đ−ờng tròn cắt nhau tại A và B. C0 là đ−ờng
tròn qua A với tâm B. Hãy xác định điều kiện để cho dây cung chung của C0 và C1
tiếp xúc với C2?
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search - 16 - [email protected]
IMTS vòng 16
Bài toán 1/16. Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bài toán 2/16. Với n là một số nguyên d−ơng, đặt P(n) là tích của các chữ số
khác không trong hệ thập phân của n. Ta gọi n là "prodigitious" nếu P(n) chia hết
n. Chứng minh rằng không thể có một dãy 14 số nguyên d−ơng liên tiếp mà tất cả
là prodigitious.
Bài toán 3/16. Các đĩa đ−ợc đánh số từ 1 đến n và xếp vào một hàng các ô
vuông với một ô vuông để trống. Một b−ớc chuyển bao gồm lấy đi một đĩa và di
chuyển nó vào ô trống. Mục đích là sắp xếp lại các đĩa với số b−ớc chuyển ít nhất
sao cho đĩa 1 trong ô vuông 1, đĩa 2 trong ô vuông 2, ..., đĩa n trong ô vuông n, và
ô vuông cuối cùng là ô trống. Chẳng hạn, nếu vị trí ban đầu là
3 2 1 6 5 4 9 8 7 12 11 10
thì mất ít nhất 14 b−ớc chuyển; cụ thể là chúng ta có thể di chuyển các đĩa vào ô
trống theo thứ tự sau: 7, 10, 3, 1, 3, 6, 4, 6, 9, 8, 9, 12, 11, 12.
Hỏi vị trí ban đầu đòi hỏi số lớn nhất các b−ớc chuyển là thế nào nếu n = 1995?
Chỉ rõ số b−ớc chuyển cần thiết.
Bài toán 4/16. Cho ABCD là một tứ giác lồi tuỳ ý, với E, F, G, H là những trung
điểm của các cạnh nh− đ−ợc chỉ ra trên hình vẽ. Chứng minh rằng ng−ời ta có thể
ghép các mảnh tam giác AEH, BEF, CFG, DGH lại với nhau để thành một hình
bình hành t−ơng đẳng (congruent) với hình bình hành EFGH.
C
H
F
G
D
A E B
Bài toán 5/16. Một hình bát giác đẳng giác (các góc bằng nhau) ABCDEFGH có
các cạnh với độ dài là 2, 2 2 , 4, 24 , 6, 7, 7, 8. Cho AB = 8, hãy tìm độ dài EF.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search - 17 - [email protected]
IMTS vòng 17
Bài toán 1/17. Số 154 chữ số 19202122 ...939495 nhận đ−ợc bằng cách viết liền
nhau các số nguyên từ 19 đến 95 theo chiều tăng dần. Chúng ta xoá đi 95 chữ số
của số đó để đ−ợc một số lớn nhất có thể đ−ợc. Hỏi 19 chữ số của số có 59 chữ số
này là gì?
Bài toán 2/17. Tìm tất cả các cặp số nguyên d−ơng (m, n) sao mà m2 - n2 = 1995.
Bài toán 3/17. Chứng minh rằng có thể sắp xếp trên mặt phẳng 8 điểm sao cho
không có 5 điểm nào trong chúng là các đỉnh của một ngũ giác lồi. (Một ngũ giác
là lồi nếutất cả các góc trong của nó không v−ợt quá 180 độ).
Bài toán 4/17. Một ng−ời đàn ông hơn vợ ông ta 6 tuổi. Ông ta cho biết 4 năm
tr−ớc ông ta đã c−ới vợ đ−ợc đúng một nửa số tuổi ông ta. Ông ta sẽ bao nhiêu
tuổi vào lễ kỉ niệm 50 năm ngày c−ới nếu vào 10 năm tới thì bà vợ đã trải qua 2/3
cuộc đời lấy ông ta? (*)
Bài toán 5/17. Số bé nhất các hình chữ nhật 3 x 5 là bao nhiêu sẽ phủ kín một
hình vuông 26 x 26? Các hình chữ nhật có thể đè lên nhau và/hay lên các cạnh
của hình vuông. Bạn nên chứng minh kết luận của bạn bằng một ví dụ cụ thể.
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search - 18 - [email protected]
IMTS vòng 18
Bài toán 1/18. Xác định độ dài nhỏ nhất của khoảng [a, b] sao cho a ≤ x + y ≤ b
với mọi số thực x ≥ y ≥ 0 thoả mãn 19x + 95y = 1995.
Bài toán 2/18. Với số nguyên d−ơng n ≥ 2, kí hiệu P(n) là tích của các −ớc số
nguyên d−ơng (bao gồm 1 và n) của n. Tìm số n nhỏ nhất để P(n) = n10.
Bài toán 3/18. Cho đồ thị (graph) trên hình vẽ với 10
đỉnh, 15 cạnh và mỗi đỉnh có bậc 3 (nghĩa là có 3 cạnh
nối với mỗi đỉnh). Một số cạnh đ−ợc đánh số 1, 2, 3, 4,
5 nh− hình vẽ. Chứng minh rằng có thể đánh số 6, 7, ...,
15 các cạnh còn lại sao cho tại mỗi đỉnh tổng của các số
trên các cạnh nối với nó là bằng nhau.
Bài toán 4/18. Cho a, b, c, d là các số thực khác nhau
sao cho a + b + c + d = 3 và a2 + b2 + c2 + d2 = 45.
Tìm giá trị của biểu thức:
)db)(cb)(ab(
b
)da)(ca)(ba(
a 55
−−−+−−− .)cd)(bd)(ad(
d
)dc)(bc)(ac(
c 55
−−−+−−−+
Bài toán 5/18. Cho a và b là hai đ−ờng thẳng trên mặt phẳng, và C là một điểm
nh− hình vẽ. Chỉ dùng một compa và một th−ớc thẳng không chia vạch, hãy
dựng một tam giác vuông cân ABC, sao cho A nằm trên a, B nằm trên b và AB là
cạnh huyền của tam giác ABC.
b
a
C
Tìm kiếm Tài năng Toán học Quốc tế â diendantoanhoc.net
International Mathematical Talent Search - 19 - [email protected]
IMTS vòng 19
Bài toán 1/19. Có thể thay thế mỗi dấu ± d−ới đây thành - hay + để
±1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± ... ± 96 = 1996.
Nhiều nhất bao nhiêu dấu ± có thể đ−ợc thay bởi dấu +?
Bài toán 2/19. Ta nói (a, b, c) là một primitive Heronian triple nếu a, b và c là
các số nguyên d−ơng không có thừa số chung (khác 1), và diện tích của tam giác
mà độ dài các cạnh a, b, c cũng là một số nguyên. Chứng minh rằng nếu a = 96 thì
b và c phải cùng là lẻ.
Bài toán 3/19. Các số trong hình chữ nhật 7 x 8 trên hình vẽ đ−ợc tạo thành
bằng cách đặt 28 quân đôminô khác nhau của một bộ cờ thông th−ờng, ghi lại các
số (số chấm, từ 0 đến 6) trên mỗi mặt của các quân đôminô và xoá đi biên của
chúng. Xác định lại biên ban đầu của các quân đôminô. (Chú ý: Mỗi quân đôminô
chứa hai ô vuông liền nhau bởi một cạnh).
5 5 5 2 1 3 3 4
6 4 4 2 1 1 5 2
6 3 3 2 1 6 0 3
3 0 5 5 0 0 0 6
3 2 1 6 0 0 4 2
0 3 6 4 6 2 6 5
2 1 1 4 4 4 1 5
Bài toán 4/19. Giả sử rằng hàm f thoả mãn ph−ơng trình hàm sau
2f(x) + 3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−
+
2x
29x2f = 100x + 80.
Hãy tìm f(3).
Bài toán 5/19. Trong hình vẽ, hãy xác định diện tích của hình bát giác tô đậm
theo diện tích của hình vuông. Trong đó các biên của hình bát giác đều là các
đ−ờng thẳng kẻ từ các đỉnh của hình vuông đến trung điểm của các cạnh đối
diện.
Tìm kiếm T