Download miễn phí Bài giảng Cơ sở tự động - Khảo sát ổn định hệ thống
Qui tắcvẽquỹđạonghiệm:
1. QĐNS đốixứngqua trụcthực.
2. SốnhánhQĐNS bằngsốcựccủaG0(s).
3. -KhiK=0 : n nhánhxuấtpháttạin cực.
-KhiK?8: m nhánhtiếnđếnm zero, n-mnhánhcònlạitiếnđến8
theocáctiệmcận.
-MộtđiểmtrêntrụcthựcthuộcQĐNS nếutổngsốcựcvàzero bên
phảinólàmộtsốlẻ.
4. Điểmtáchnhậplànghiệmphươngtrình:
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Chương 4KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH
HỆ THỐNG
ThS. NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
Khảo sát ổn định hệ thốngChương 4
I. Khái niệm về ổn định
1. Thế nào là ổn định?
Có thể minh hoạ một cách trực quan các trạng
thái của hệ thống như sau:
Không ổn định Biên giới ổn định Ổn định
2. Mối liên hệ giữa ổn định và hàm truyền
Xét hệ thống có hàm truyền:
I. Khái niệm về ổn định
Ổn định là khả năng trở về trạng thái cân bằng của
hệ thống sau khi kết thúc các tác động bên ngoài làm
cho nó rời khỏi trạng thái cân bằng đó.
1
0 1 1
1
0 1 1
..( )( )
( ) ..
m m
m m
n n
n n
b s b s b s bC sG s
R s a s a s a s a
−
−
−
−
+ + + += = + + + +
Định nghĩa:
Ta đặt:
9 Nghiệm phương trình B(s) = 0 gọi là các zero.
Có m zero, ký hiệu là zi , i = 1,…,m.
I. Khái niệm về ổn định
9 Nghiệm phương trình A(s) = 0 gọi là các cực.
Có n cực, ký hiệu là pj , j = 1,…,n.
1
0 1 1
1
0 1 1
( ) ..
( ) ..
m m
m m
n n
n n
B s b s b s b s b
A s a s a s a s a
−
−
−
−
= + + + +
= + + + +
I. Khái niệm về ổn định
Các cực và zero của hàm truyền có thể là thực
hay phức. Vị trí của chúng biểu diễn trên mặt phẳng
phức gọi là giản đồ cực-zero.
Ims
Res
Giản đồ cực-zero
x
x
x
xO
O
O x: cực
o: zero
I. Khái niệm về ổn định
- Có thể phân tích hàm truyền dưới dạng:
0 1 2
0 1 2
( )( )...( )( ) .
( )( )...( )
− − −= − − −
m
n
b s z s z s zG s
a s p s p s p
- Khi tín hiệu vào là hàm nấc thì đáp ứng sẽ là:
( )
0
0
1
1 2
0 1 2
( )( )...( )1( ) ( ). ( ) . .
( )( )..
(
)
)
.(
n
i
i
m
n
i
b s z s z s zC s R s G s
s a s p s p
C s
s p
s p
s=
= +
− − −= = − − −
⇒ −∑α α
I. Khái niệm về ổn định
⇒ Đáp ứng thời gian của hệ thống:
0
1
( ) α α
=
= +∑ in p ti
i
c t e
Tuỳ theo trị số các cực pi, đáp ứng có 3 dạng sau:
Tất cả các cực có phần thực âm⇒ Hệ ổn định.
Tồn tại cực có phần thực bằng không, các cực còn lại có
phần thực âm⇒ Hệ ở biên giới ổn định.
Tồn tại ít nhất một cực có phần thực dương⇒ Hệ không
ổn định.
I. Khái niệm về ổn định
c(t)
t
O
α0
Ổn định
c(t)
t
O
α0
Biên giới ổn định
c(t)
t
O
α0
Không ổn định
Kết luận:
Hệ thống ổn định nếu
tất cả các cực của hệ đều
có phần thực âm.
I. Khái niệm về ổn định
Vì vị trí các cực quyết định tính ổn định của hệ thống
nên phương trình A(s) = 0 gọi là phương trình đặc trưng,
đa thức A(s) gọi là đa thức đặc trưng của hệ thống.
Đối với hệ hồi tiếp:
⇒ Phương trình đặc trưng là: 1+ G(s)H(S) = 0.
C(s)G(s)
H(s)
R(s)
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
1. Điều kiện cần để ổn định
Điều kiện cần để hệ thống ổn định là các hệ
số của phương trình đặc trưng phải khác không
và cùng dấu.
s s s
s s
s s s s
+ − + =
+ + =
+ + + + =
3 2
3
4 3 2
3 2 1 0
2 5 0
4 5 2 1 0
⇒ Hệ không ổn định
⇒ Hệ không ổn định
⇒ Chưa kết luận được
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống tự động có PTĐT sau:
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
2. Tiêu chuẩn ổn định Routh
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng :
n n
n na s a s ... a s a
−
−+ + + + =10 1 1 0
Để xét ổn định, ta lập bảng Routh như sau :
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
- Bảng Routh gồm n+1 hàng
- Hàng 1 gồm các hệ số có chỉ số chẵn
- Hàng 2 gồm các hệ số có chỉ số lẻ
- Phần tử hàng i cột j ( i ≥ 3 ) xác định như sau:
i , i , j
ij i , j
i ,
c .c
c c
c
− − +
− +
−
= − 2 1 1 12 1
1 1
Tiêu chuẩn Routh:
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả
các phần tử ở cột 1 bảng Routh đều dương.
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống tự động sau:
C(s)G(s)
H(s)
R(s)
Cho biết các hàm truyền
G(s)
s(s )(s s )
H(s)
s
= + + +
= +
2
50
3 5
1
2
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Bài giải
Phương trình đặc tính của hệ thống:
1+G(s).H(s) = 0
5 4 3
2
26 16 31
50 11 0
3 5 2
30 50 0
⇔ + =+ + + +
⇔ + + + + + =s s s s s
.
s( s )( s s ) s
Lập bảng Routh: S5 1 16 30
S4 6 31 50
S3 10.83 21.67 0
S2 18.99 50
S1 -6.84
S0 50 Xem xét
Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2
lần nên hệ không ổn định.
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CỦA BẢNG ROUTH
Trường hợp 1
Có một phần tử ở cột 1 là zero, các phần tử khác cùng
hàng với nó khác zero.
Phương pháp: Thay phần tử zero bởi số dương ε nhỏ tùy ý.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng:
4 3 2
5 4 3 2
4 3 2
2 2 4 3 0
2 2 4 6 8 0
2 4 8 3 0
+ + + + =
+ + + + + =
+ + + + =
s s s s
s s s s s
s s s
( i )
s
( ii )
( iii )
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Trường hợp 2
Có tất cả các phần tử trên một hàng là zero.
Phương pháp:
Lập đa thức phụ P(s) từ các phần tử của hàng trước đó.
Thay hàng zero bởi các hệ số của đạo hàm đa thức phụ.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng:
5 4 3 2
4 3 2
5 4 3 2
5 4 3 2
2 6 12 8 16 0
4 7 16 12 0
4 8 8 7 4 0
2 24 48 25 50 0
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + + + =
+ + + − − =
( i )
( ii )
( iii )
s s s s s
s s s s
s s s s s
s s) s s( i sv
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
3. Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng :
n n
n na s a s ... a s a
−
−+ + + + =10 1 1 0
Để xét ổn định, ta lập ma trận Hurwitz như sau :
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Tiêu chuẩn Hurwitz:
Điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là tất cả các
định thức con chứa đường chéo của ma trận đều
dương.
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng:
s3 + 4s2 + 3s + 2 = 0
II. Tiêu chuẩn ổn định đại số
Bài giải
Lập ma trận Hurwitz:
H =
4 2 0
1 3 0
0 4 2
Các định thức :
∆1 = 4 > 0
∆2 = 10 > 0
∆3 = 20 > 0
⇒ Hệ thống ổn định
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
1. Tiêu chuẩn ổn định Nyquist
Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây :
C(s)
G(s)
R(s)
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra
là xét tính ổn định của hệ kín.
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn Nyquist:
Hệ kín Gk(s) sẽ ổn định nếu đường cong Nyquist
của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0) một góc kπ theo
chiều dương khi ω thay đổi từ 0 đến +∞.
Trong đó, k là số cực của hệ hở nằm bên phải
mặt phẳng phức.
jQ(ω)
P(ω)
-1
ω = 0 ω→ ∞
K=1
Hệ ổn định
P(ω)
jQ(ω)
-1
ω = 0ω→ ∞
K=2
Hệ không ổn định
Ví dụ áp dụng
Xét ổn định hệ thống có đặc tính tần số hệ hở dưới đây:
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
2. Tiêu chuẩn ổn định Bode
Cho hệ thống có sơ đồ khối như dưới đây :
C(s)
G(s)
R(s)
Cho biết đặc tính tần số của hệ hở, bài toán đặt ra
là xét tính ổn định của hệ kín.
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Giả sử đặc tính tần số hệ hở biểu diễn dạng biểu đồ
Bode. Ta định nghĩa các thông số quan trọng sau đây.
# Tần số cắt biên, ωc
L(ωc ) = 0 dB
# Tần số cắt pha, ω-π
ψ (ω-π ) = -π
# Độ dự trữ biên, GM
GM = -L(ω-π )
# Độ dự trữ pha, ΦM
ΦM = 180 0 + ψ (ωc )
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Tiêu chuẩn ổn định Bode:
Hệ kín Gk(s) sẽ ổn định nếu hệ hở G(s) có độ dự
trữ biên và độ dự trữ pha đều dương.
GM > 0
ΦM > 0
⇒ Hệ kín ổn định
II. Tiêu chuẩn ổn định tần số
Ví dụ áp dụng
1 2 3
1 1 110
100 100010
= = = =K , T , T ,T
1
2 3
1
1 1
+= + +
K (T s )G( s )H ( s...