Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
NGUYỄN CHÍ THANH
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
1
Mục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . 6
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch
đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . 15
2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 40
2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. tui xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tui một phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công
sức giúp đỡ tui hoàn thành luận văn.
tui cũng xin bày tỏ lòng Thank sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tui vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt
tui xin chân thành Thank Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên đã cho chúng tui được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy
giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái,
Cuối cùng, tui xin Thank bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,
ủng hộ tui cả về vật chất và tinh thần để tui có thể hoàn thành tốt khóa học
của mình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
3
Mở đầu
Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng
dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép
đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các
bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,
các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch
đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt
trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời
giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch
đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn.
Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện
như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.
Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này
là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư
duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó
khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học
của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với
những lý do đó chúng tui đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.
Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức
cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tui sẽ áp dụng vào
một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc
trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình
khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
4
đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),
một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với
tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi
qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
(tính chất 1.2.7-b).
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận
dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng
minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt
của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
5
Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)
và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)).
Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N. Khi
đó, ta luôn có AK
2
= AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M
0
bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N
0
khác cũng
nằm trên (O) và nằm trên AM
0
sao cho AM
0
.AN
0
= AK
2
.
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một
số thực k khác không.
Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M
thuộc đường thẳng
OM sao cho OM.OM
= k. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo
cực O, phương tích k (hay tỉ số k).
Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I
(O,k)
hay
I
k
O
, ta có I
k
O
(M) = M
hay I
k
O
: M → M
, hay một số sách đưa ra ký hiệu
f(O, k), trong luận văn này chúng tui dùng ký hiệu I
k
O
hay f(M) = M
sẽ
chỉ M
là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ta có
−−→
OM.
−−→
OM
= OM.OM
vì O, M, M
thẳng hàng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
6
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo
Tính chất 1.2.1. Cực nghịch đảo O không có điểm tương ứng qua phép
nghịch đảo.
Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng
Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là "điểm vô
tận" và quy ước xem điểm đó là ảnh đồng thời là tạo ảnh của điểm O qua
phép nghịch đảo f(O, k). Mặt phẳng được bổ sung điểm vô tận được gọi là
mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song
ánh, tức là một phép biến hình. Khi M càng tiến lại gần O là cực nghịch đảo
thì ảnh của f(M) sẽ càng tiến ra xa O, tức là nếu M → O thì f(M) → ∞.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ sung và các đường
tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp các đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M
1
, M
2
gọi là đối xứng với nhau
qua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d. (Ta quy ước:
điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận).
Cho đường tròn (O, R), hai điểm M
1
, M
2
gọi là đối xứng với nhau qua
(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = R
2
.
Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận
biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).
Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:
Qua phép nghịch đảo, nếu điểm M biến thành điểm M
thì ngược lại, điểm
M
biến thành điểm M (hay nếu I
k
O
(M) = M
thì ta cũng có I
k
O
(M
) = M,
vì OM.OM
= k = OM
.OM).
Như vậy I
k
O
◦ I
k
O
(M) = M hay (I
k
O
)
2
là một phép đồng nhất.
Tính chất 1.2.3. Đường tròn nghịch đảo:
Xét phép nghịch đảo I
k
O
: M → M
.
Nếu tỷ số k > 0 thì M và M
nằm cùng một phía đối với O. Khi đó tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
7
hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bán
kính
√
k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo. Khi đó các điểm
M mà thỏa mãn f(M) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) của
phép nghịch đảo f(O, k). Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì
M
nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
Nếu k < 0 thì hai điểm M và M
nằm về hai phía đối với O. Khi đó
không có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp
này đường tròn nghịch đảo của f(O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,
trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).
Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0
và M, M
là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k), thì mọi đường tròn
qua hai điểm M, M
đều trực giao với (O,
√
k) (hai đường tròn (O), (O
)
được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)
và (O
) cùng vuông góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M
đều biến thành chính nó qua f(O, k) với k > 0.
b) Nếu (O
1
) và (O
2
) lần lượt trực giao với (O,
√
k), k > 0 và (O
1
), (O
2
)
lần lượt cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này sẽ là ảnh của nhau qua phép
nghịch đảo f(O, k).
Chứng minh:
a) Gọi (O
) là đường tròn đi qua hai điểm M, M
và I = (O) ∩(O
).
Hình 1.1:
Giả sử OI cắt đường tròn O
tại điểm thứ hai I
khác I, ta có OM.OM
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
8
OI.OI
.
Mặt khác từ giả thiết: OM.OM
= OI.OI
= k = OI
2
. Do đó I ≡ I
,
hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O
) ⇔ OI⊥O
I, chứng tỏ đường tròn
(O
) trực giao với đường tròn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai
điểm M, M
đều trực giao với đường tròn (O,
√
k).
Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểm M, M
, theo chứng minh
trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C)
tại hai điểm N, N
, ta có ON.ON
= k, suy ra mọi điểm N thuộc đường
tròn (C) qua phép nghịch đảo f(O, k) đều có ảnh là N
cũng thuộc đường
tròn (C). Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C) qua M, M
đều biến thành chính
nó qua phép nghịch đảo f(O, k).
b) Gọi (O
1
) ∩ (O
2
) = {M, M
}. Giả sử OM ∩ (O
2
) = M
1
, ta có
OM.OM
1
= k và O, M, M
1
thẳng hàng. (1)
Hình 1.2:
Mặt khác giả sử OM ∩ (O
1
) = M
2
, ta có OM.OM
2
= k và O, M, M
2
thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M
2
≡ M
1
≡ M
, hay chứng tỏ M, M
là ảnh của
nhau qua phép nghịch đảo f(O, k).
Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f(O, k), k = 0. Thì với hai điểm A, B
không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn có A, B, f(A), f(B) là các điểm
đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A
= f(A)
và B
= f(B) thì A
B
= |k|.
AB
OA.OB
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
9
Chứng minh:
Giả sử O, A, B không thẳng hàng và k > 0, khi đó các điểm A
, B
tương
ứng nằm trên các tia OA, OB và
OA.OA
= OB.OB
= k
suy ra
OA
OB
=
OB
OA
⇒ ∆OAB ∆OB
A
⇒ A, B, A
, B
cùng thuộc
một đường tròn,
⇒
A
B
AB
=
OA
OB
=
OA
.OA
OB.OA
=
OA.OA
OA.OB
=
k
OA.OB
=
|k|
OA.OB
⇔ A
B
=
|k|.AB
OA.OB
(∗)
Hình 1.3:
Biểu thức (∗) đúng với cả O, A, B thẳng hàng và k < 0.
Chú ý: Khẳng định f(O, k) : AB → A
B
là sai! Tính chất ảnh của một
đường thẳng hay một đường tròn qua một phép nghịch đảo được nhắc đến
ngay sau đây.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
NGUYỄN CHÍ THANH
PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
1
Mục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo . . . . . . . 6
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch
đảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1. Bài toán chứng minh tính chất hình học . . . . . 15
2.2. Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . 40
2.3. Bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
2
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành trong khóa 3 đào tạo Thạc sĩ của trường
Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn
Văn Minh, Đại học Thái Nguyên. tui xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới
thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tui một phương pháp nghiên cứu khoa học
đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công
sức giúp đỡ tui hoàn thành luận văn.
tui cũng xin bày tỏ lòng Thank sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường
Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy
và khích lệ, động viên tui vượt qua những khó khăn trong học tập. Đặc biệt
tui xin chân thành Thank Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên đã cho chúng tui được lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ các thầy
giáo đầu ngành trong lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam hiện nay như GS.TSKH
Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khoái,
Cuối cùng, tui xin Thank bạn bè, gia đình và người thân đã động viên,
ủng hộ tui cả về vật chất và tinh thần để tui có thể hoàn thành tốt khóa học
của mình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
3
Mở đầu
Trong chương trình THPT một số phép biến hình đã được đưa vào giảng
dạy như phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép
đồng dạng, tuy nhiên phép nghịch đảo không được đề cập đến. Hầu như các
bài toán áp dụng phép nghịch đảo là những bài toán hay, bài toán kinh điển,
các bài toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế. Việc sử dụng phép nghịch
đảo để giải quyết các bài toán hình học nhiều khi là rất cần thiết. Đặc biệt
trong nhiều bài toán, nếu không sử dụng phép nghịch đảo thì việc tìm một lời
giải trở nên rất khó khăn cho người học toán, hơn nữa sử dụng phép nghịch
đảo sẽ giúp cho bài giải trở nên xúc tích và đẹp đẽ hơn.
Phép nghịch đảo là một công cụ quan trọng trong hình học, nó xuất hiện
như một điều tất yếu của sự phát triển tư duy toán học - tư duy biến hình.
Trong mỗi bài toán có sử dụng phép nghịch đảo để giải thì phép toán này
là một mắt xích quan trọng, một định hướng thông suốt trong quá trình tư
duy. Ngoài ra, phép nghịch đảo còn là một công cụ tư duy hữu ích để phát
triển các bài toán và cho ta một cách nhìn mới đối với bài toán đó. Điều đó
khiến cho người học toán không những phát triển được kiến thức hình học
của mình mà còn cung cấp cho họ một cái nhìn sâu hơn về bài toán. Với
những lý do đó chúng tui đã chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu.
Bố cục luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Kiến thức cơ bản về phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức
cơ bản về phép nghịch đảo, những tính chất mà chúng tui sẽ áp dụng vào
một số bài toán ở chương 2. Tính chất quan trọng và cũng là tính chất đặc
trưng của phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất của các phép biến hình
khác, đó là qua phép nghịch đảo: một đường thẳng không đi qua cực nghịch
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
4
đảo biến thành một đường tròn đi qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a),
một đường tròn đi qua cực nghịch đảo biến thành một đường thẳng không
đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với
tâm đường đường tròn đã cho (tính chất 1.2.7-a), một đường tròn không đi
qua cực nghịch đảo biến thành một đường tròn không đi qua cực nghịch đảo
(tính chất 1.2.7-b).
Chương 2. Một số bài toán hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận
dụng định nghĩa và tính chất của phép nghịch đảo vào một số bài toán chứng
minh, quỹ tích, dựng hình trong hình học phẳng. Qua đó làm nổi bật ưu việt
của phép nghịch đảo khi áp dụng giải lớp những bài toán đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
5
Chương 1
Kiến thức cơ bản
1.1. Định nghĩa
Đôi nét về định nghĩa:
Khi học ở trung học cơ sở, ta đã biết bài toán sau: "Cho đường tròn (O)
và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)).
Một cát tuyến bất kỳ từ A đến (O) cắt (O) lần lượt tại hai điểm M, N. Khi
đó, ta luôn có AK
2
= AM.AN ". Như vậy ta để ý rằng với một điểm M
0
bất kỳ nằm trên đường tròn (O) thì luôn tồn tại một điểm N
0
khác cũng
nằm trên (O) và nằm trên AM
0
sao cho AM
0
.AN
0
= AK
2
.
Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho một điểm O cố định và một
số thực k khác không.
Cho tương ứng mỗi điểm M khác O với một điểm M
thuộc đường thẳng
OM sao cho OM.OM
= k. Phép tương ứng đó được gọi là phép nghịch đảo
cực O, phương tích k (hay tỉ số k).
Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k được ký hiệu là I
(O,k)
hay
I
k
O
, ta có I
k
O
(M) = M
hay I
k
O
: M → M
, hay một số sách đưa ra ký hiệu
f(O, k), trong luận văn này chúng tui dùng ký hiệu I
k
O
hay f(M) = M
sẽ
chỉ M
là ảnh của M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k.
Ta có
−−→
OM.
−−→
OM
= OM.OM
vì O, M, M
thẳng hàng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
6
1.2. Một số tính chất của phép nghịch đảo
Tính chất 1.2.1. Cực nghịch đảo O không có điểm tương ứng qua phép
nghịch đảo.
Vì thế phép nghịch đảo không phải là một phép biến hình của mặt phẳng
Euclide.
Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide một điểm duy nhất gọi là "điểm vô
tận" và quy ước xem điểm đó là ảnh đồng thời là tạo ảnh của điểm O qua
phép nghịch đảo f(O, k). Mặt phẳng được bổ sung điểm vô tận được gọi là
mặt phẳng mở rộng. Phép nghịch đảo trên mặt phẳng mở rộng là một song
ánh, tức là một phép biến hình. Khi M càng tiến lại gần O là cực nghịch đảo
thì ảnh của f(M) sẽ càng tiến ra xa O, tức là nếu M → O thì f(M) → ∞.
Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận là đường thẳng bổ sung và các đường
tròn trong mặt phẳng được gọi là tập hợp các đường tròn nghĩa rộng.
Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M
1
, M
2
gọi là đối xứng với nhau
qua d nếu chúng là ảnh của nhau qua phép đối xứng trục d. (Ta quy ước:
điểm vô tận đối xứng với điểm vô tận).
Cho đường tròn (O, R), hai điểm M
1
, M
2
gọi là đối xứng với nhau qua
(O, R) nếu chúng là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực O, phương tích
k = R
2
.
Qua phép nghịch đảo này điểm O biến thành điểm vô tận và điểm vô tận
biến thành cực O, nên O và điểm vô tận là đối xứng với nhau qua (O, R).
Tính chất 1.2.2. Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp:
Qua phép nghịch đảo, nếu điểm M biến thành điểm M
thì ngược lại, điểm
M
biến thành điểm M (hay nếu I
k
O
(M) = M
thì ta cũng có I
k
O
(M
) = M,
vì OM.OM
= k = OM
.OM).
Như vậy I
k
O
◦ I
k
O
(M) = M hay (I
k
O
)
2
là một phép đồng nhất.
Tính chất 1.2.3. Đường tròn nghịch đảo:
Xét phép nghịch đảo I
k
O
: M → M
.
Nếu tỷ số k > 0 thì M và M
nằm cùng một phía đối với O. Khi đó tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
7
hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo là đường tròn tâm O, bán
kính
√
k, đường tròn này được gọi là đường tròn nghịch đảo. Khi đó các điểm
M mà thỏa mãn f(M) = M được gọi là các điểm kép (điểm bất động) của
phép nghịch đảo f(O, k). Nếu điểm M nằm ở bên trong của đường tròn thì
M
nằm ở bên ngoài của đường tròn nghịch đảo và ngược lại.
Nếu k < 0 thì hai điểm M và M
nằm về hai phía đối với O. Khi đó
không có điểm kép, cũng không có đường tròn nghịch đảo (trong trường hợp
này đường tròn nghịch đảo của f(O, k) sẽ được gọi là đường tròn bán thực,
trong đó tâm của đường tròn là thực và bán kính của đường tròn là ảo).
Tính chất 1.2.4. a) Nếu phép nghịch đảo f(O, k) có phương tích k > 0
và M, M
là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo f(O, k), thì mọi đường tròn
qua hai điểm M, M
đều trực giao với (O,
√
k) (hai đường tròn (O), (O
)
được gọi là trực giao với nhau nếu hai tiếp tuyến tại một giao điểm của (O)
và (O
) cùng vuông góc với nhau). Hơn nữa mọi đường tròn (C) qua M, M
đều biến thành chính nó qua f(O, k) với k > 0.
b) Nếu (O
1
) và (O
2
) lần lượt trực giao với (O,
√
k), k > 0 và (O
1
), (O
2
)
lần lượt cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm này sẽ là ảnh của nhau qua phép
nghịch đảo f(O, k).
Chứng minh:
a) Gọi (O
) là đường tròn đi qua hai điểm M, M
và I = (O) ∩(O
).
Hình 1.1:
Giả sử OI cắt đường tròn O
tại điểm thứ hai I
khác I, ta có OM.OM
=
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
8
OI.OI
.
Mặt khác từ giả thiết: OM.OM
= OI.OI
= k = OI
2
. Do đó I ≡ I
,
hay OI là tiếp tuyến của đường tròn (O
) ⇔ OI⊥O
I, chứng tỏ đường tròn
(O
) trực giao với đường tròn (O). Vậy ta có với mọi đường tròn đi qua hai
điểm M, M
đều trực giao với đường tròn (O,
√
k).
Hơn nữa với mọi đường tròn (C) đi qua hai điểm M, M
, theo chứng minh
trên ta có (C) trực giao với (O). Từ O ta kẻ một đường thẳng bất kỳ cắt (C)
tại hai điểm N, N
, ta có ON.ON
= k, suy ra mọi điểm N thuộc đường
tròn (C) qua phép nghịch đảo f(O, k) đều có ảnh là N
cũng thuộc đường
tròn (C). Vậy chứng tỏ mọi đường tròn (C) qua M, M
đều biến thành chính
nó qua phép nghịch đảo f(O, k).
b) Gọi (O
1
) ∩ (O
2
) = {M, M
}. Giả sử OM ∩ (O
2
) = M
1
, ta có
OM.OM
1
= k và O, M, M
1
thẳng hàng. (1)
Hình 1.2:
Mặt khác giả sử OM ∩ (O
1
) = M
2
, ta có OM.OM
2
= k và O, M, M
2
thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M
2
≡ M
1
≡ M
, hay chứng tỏ M, M
là ảnh của
nhau qua phép nghịch đảo f(O, k).
Tính chất 1.2.5. Phép nghịch đảo f(O, k), k = 0. Thì với hai điểm A, B
không thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta luôn có A, B, f(A), f(B) là các điểm
đồng viên (tức là cùng thuộc một đường tròn). Hơn nữa nếu đặt A
= f(A)
và B
= f(B) thì A
B
= |k|.
AB
OA.OB
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN
You must be registered for see links
9
Chứng minh:
Giả sử O, A, B không thẳng hàng và k > 0, khi đó các điểm A
, B
tương
ứng nằm trên các tia OA, OB và
OA.OA
= OB.OB
= k
suy ra
OA
OB
=
OB
OA
⇒ ∆OAB ∆OB
A
⇒ A, B, A
, B
cùng thuộc
một đường tròn,
⇒
A
B
AB
=
OA
OB
=
OA
.OA
OB.OA
=
OA.OA
OA.OB
=
k
OA.OB
=
|k|
OA.OB
⇔ A
B
=
|k|.AB
OA.OB
(∗)
Hình 1.3:
Biểu thức (∗) đúng với cả O, A, B thẳng hàng và k < 0.
Chú ý: Khẳng định f(O, k) : AB → A
B
là sai! Tính chất ảnh của một
đường thẳng hay một đường tròn qua một phép nghịch đảo được nhắc đến
ngay sau đây.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links