Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Giải tích khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3. Tích trong trên không gian (KC(R), H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Giải tích phân thứ khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Phép tính đạo hàm Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Một vài kết quả quan trọng trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Phương trình tích phân và vi phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1. Phương trình tích phân khoảng Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Phương trình vi phân khoảng có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chương 3. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3.2. Phương trình vi-tích phân khoảng có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3. Phương trình vi-tích phân khoảng có xung với trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chương 4. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2. Phương pháp giải nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. . . . . . 111
Kết luận của luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Các hướng nghiên cứu tiếp theo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3Danh sách hình vẽ
2.1 Nghiệm của Ví dụ 2.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Nghiệm của Ví dụ 2.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 (S1)-nghiệm của phương trình (2.29) (l = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 (S2)-nghiệm của phương trình (2.29) (l = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 (S1)-nghiệm của phương trình (2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 (S2)-nghiệm của phương trình (2.32) (l = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 (S1)-nghiệm của (2.32) (l = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 (S2)-nghiệm của (2.32) (l = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Biểu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71
3.8 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Nghiệm w−tăng của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . 94
4.2 Nghiệm w−giảm của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . 95
4.3 Nghiệm w−tăng của Ví dụ (4.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Nghiệm w−giảm của Ví dụ (4.40 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiGIỚI THIỆU TỔNG QUAN
Hầu hết các bài toán trong kỹ thuật đều được mô hình hóa bởi các hệ động lực
(Dynamical systems) và các dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân
hay phương trình vi- tích phân. Tuy nhiên các mô hình này không phải lúc nào
cũng hoàn hảo do sự tác động hay bị nhiễu bởi các yếu tố bất định, không đầy đủ
và không chắc chắn của các thông số lên hệ thống. Hiện nay, các hướng nghiên cứu
về hệ động lực khi được nhúng vào môi trường chứa đựng các yếu tố không chắc
chắn đang là vấn đề mới và cần được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ cả về phương
diện lý thuyết lẫn ứng dụng. Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết
không chắc chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận đầu tiên được sử dụng rộng rãi nhất
là lý thuyết xác suất để xử lý những tham số không chắc chắn của hệ thống như
các biến ngẫu nhiên hay các trường dữ liệu ngẫu nhiên. Mặc dù đạt được những
thành công to lớn nhưng hướng tiếp cận này chỉ cho kết quả đáng tin cậy khi và chỉ
khi có đầy đủ dữ liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất của
các tham số ngẫu nhiên. (2) Gần đây, việc xây dựng và phát triển lý thuyết diễn tả
sự không chắc chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ của dữ diệu đang được
quan tâm. Do đó, hướng tiếp cận thứ hai được đề xuất dựa vào khái niệm của tập
mờ bằng việc sử dụng hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc của các tham số không
chắc chắn. (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, được xem như là trường hợp
riêng của giải tích tập nói riêng và giải tích mờ nói chung và cách tiếp cận này có
thể được xem là công cụ diễn đạt được chấp nhận rộng rãi nhất trong số những tiếp
cận không mang tính xác suất. Trong những năm gần đây giải tích không chắc chắn
được diễn đạt dưới khái niệm mờ và khoảng đang trở thành một chủ đề hấp dẫn
trong mắt các nhà nghiên cứu bởi vì nó có khả năng mô hình hoá bằng toán học
các hệ thống động lực chịu nhiều tác động của môi trường bên ngoài, hệ động lực
phức tạp mà không thể biểu diễn được dưới dạng quá trình thực.
Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt bằng các tập mờ được đã được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để
giải tích mờ ngày càng trở thành một lý thuyết chặt chẽ về mặt toán học và hiệu quả
5về mặt ứng dụng thực tiễn. Vào những thập niên 70-80, Zadeh cùng với các cộng sự
như Chang [10], Heilpern [19], Dubois và Prade [12] đã có những nghiên cứu đặt
nền móng cho các phép toán giải tích mờ như tính khả vi, tính đo được và tính khả
tích của các ánh xạ đa trị và các ánh xạ giá trị mờ. Về sau giải tích mờ tiếp tục được
nghiên cứu và hoàn thiện bởi các công trình có giá trị của Bede, Stefanini, Chalco
và các cộng sự [7]-[9], Diamond và Kloeden [11], Lakshmikantham và Mohapatra
[30]. Theo tiến trình phát triển của giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ
và phương trình vi phân mờ đã được Kaleva [22, 23] khởi đầu dựa trên khái niệm
đạo hàm Hukuhara. Kaleva đã thiết lập những khái niệm cơ bản, chứng minh được
sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp
1 dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiên cứu về sau. Trong gần một
thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã phát
triển hết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một số nhóm
nghiên cứu tiêu biểu về phương trình vi phân mờ có thể kể đến là các nhóm nghiên
cứu của Nieto, Lupulescu, Chalco-Cano, Malinowski, Rodríguez-López, Bede. Trong
các công trình [24, 46], Nieto và các cộng sự đã phát triển các kỹ thuật thường
sử dụng trong phương trình vi phân thường sang chứng minh các định lý về sự
tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình vi phân mờ tuyến tính
cấp 1 với điều kiện biên dạng tuần hoàn, hay phương trình vi phân cấp 1 có trễ.
Chalco-Cano [8] xây dựng khái niệm mới về nghiệm của phương trình vi phân cấp
1 dưới tính khả vi mờ tổng quát. Lupulescu [32] đã sử dụng phương pháp xây dựng
dãy xấp xỉ về nghiệm để chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn
cục cho phương trình vi phân có trễ. Hơn nữa Lupulescu đã kết hợp nguyên lý suy
rộng Zadeh, phương pháp Step và định lý Stacking để đưa ra quy trình tìm nghiệm
mờ dạng giải tích và ứng dụng giải một số mô hình thực tế quan trọng. Malinowski
[34, 37] đã kết hợp giữa hai khái niệm mờ và ngẫu nhiên để nghiên cứu một số tính
chất của nghiệm như sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm phương
trình vi phân mờ ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, một số ứng dụng của phương pháp tiếp
cận cho các bài toán thực tế cũng được trình bày.
Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt dưới khái niệm các biến khoảng trong
đường thẳng thực được Moore đưa ra năm 1966 [42], là một sự mở rộng của lý
thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải quyết những bài toán kết cấu trong
cơ học chịu ảnh hưởng của sai số đo đạc và nhiễu của môi trường [44]. Trong
[42, 44] tác giả đã trình bày các khái niệm cơ bản về các phép toán đại số khoảng
và các bài toán ứng dụng liên quan. Bên cạnh đó, mối liên hệ giữa giải tích mờ
và giải tích khoảng được trình bày bởi Moore và Lodwick [43], Pedrycz và Gomide
6
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi[47]. Các tác giả đã chứng minh rằng một tập mờ có thể được biễu diễn bởi các
biến và vectơ khoảng thông qua tập mức thể hiện mức độ thuộc của tập mờ. Do đó,
trong một thập niên trở lại đây, bằng cách sử dụng các kết quả của giải tích mờ, việc
nghiên cứu và xây dựng các phép toán giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng
cho việc khảo sát các lớp phương trình vi phân khoảng và các bài toán liên quan
đến hệ động lực cũng đã thu hút nhiều nhóm nghiên cứu của các nhà khoa học
trong và ngoài nước. Có nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu các lớp phương
trình vi phân khoảng và chúng liên quan đến quá trình phát triển đạo hàm của hàm
khoảng, bao gồm: đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát. Việc nghiên
cứu các tính chất định tính của nghiệm của các lớp phương trình vi phân khoảng
dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara đã thu được nhiều kết quả đáng kể (để biết đầy
đủ hơn về các kết quả dạng này, chúng ta có thể tham khảo trong cuốn sách chuyên
khảo [30]). Tuy nhiên, khái niệm khả vi Hukuhara được xây dựng dựa trên hiệu
Hukuhara [21] giữa hai khoảng có nhược điểm là hiệu này không luôn tồn tại và
do đó dẫn đến đạo hàm không luôn tồn tại [9]. Ngoài ra, độ rộng diễn tả sự không
chắc chắn của hàm khoảng thoả mãn sự khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời
gian, tức là theo thời gian, tính không chắc chắn của nghiệm ngày càng không thể
quan sát, hay nói cách khác quỹ đạo của nghiệm khoảng ngày càng khác khá xa
so với nghiệm cổ điển của bài toán. Vì vậy khái niệm khả vi Hukuhara không thích
hợp để nghiên cứu các biểu diễn tiệm cận nghiệm hay các bài toán giá trị biên có
tính tuần hoàn. Để khắc phục nhược điểm này Bede và các cộng sự đã xây dựng
khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa trên hiệu Hukuhara tổng quát [54] cho
các hàm khoảng. Cách tiếp cận này thể hiện độ rộng không chắc chắn của nghiệm
phương trình vi phân khoảng có thể giảm theo biến thời gian hay có thể tồn tại
các điểm chuyển (switching points) giữa các độ rộng tăng hay giảm của nghiệm.
Việc nghiên cứu các lớp hàm khoảng dưới tính khả vi Hukuhara tổng quát đã tạo ra
một số hướng nghiên cứu mới cho lý thuyết phương trình vi phân và các hệ động
lực trong các không gian giải tích trừu tượng, đó là: sự tồn tại và tính duy nhất của
các dạng nghiệm khi xét tính khả vi theo các nghĩa khác nhau, điểm chuyển giữa
các dạng nghiệm, các điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo các nghĩa khác nhau. Tuy
nhiên những kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu này còn khá khiêm tốn. Một
số kết quả nghiên cứu đạt được gần đây có thể kể đến các kết quả của Chalco-Cano
và các cộng sự [9], Malinowski [35], Lupulescu [31, 33].
Được thúc đẩy bởi các lý do nêu trên và dựa vào quá trình phát triển của giải tích
khoảng, trong luận án này chúng tui tiến hành nghiên cứu một số lớp bài toán
phương trình tích phân, vi phân và vi- tích phân khoảng dưới khái niệm khả vi
7Hukuhara tổng quát với mong muốn góp phần vào quá trình xây dựng và hoàn
thiện lý thuyết mới này. Nội dung của luận án bao gồm 04 chương.
- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2: Phương trình tích phân và vi phân khoảng.
- Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng.
- Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân
thường và phương trình vi phân khoảng. Giới thiệu các kiến thức về giải tích
khoảng như: các phép toán, đạo hàm và tích phân của hàm giá trị khoảng; giới
thiệu định nghĩa tích trong của hai hàm giá trị khoảng và một số tính chất quan
trọng của tích trong; một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường
được sử dụng trong các chương tiếp theo được trình bày.
Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu hai lớp bài toán khác nhau, bao gồm:
phương trình tích phân khoảng Volterra và phương trình vi phân khoảng với trễ
dưới khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát. Chúng tui chứng minh sự tồn tại và
duy nhất nghiệm cho phương trình tích phân khoảng Volterra bằng hai công cụ
khác nhau là sự hội tụ của dãy xấp xỉ về nghiệm của phương trình, và lý thuyết
điểm bất động. Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp bài toán trên cũng được trình
bày. Ngoài ra, bằng cách sử dụng khái niệm tích trong trên không gian các các hàm
khoảng (xem mục 1.1.3), chúng tui xây dựng một số điều kiện tiêu biến cho vế
phải của phương trình vi phân khoảng với trễ và chứng minh được sự tồn tại duy
nhất nghiệm toàn cục cho lớp bài toán trên. Hơn thế nữa, phương pháp giải của
bài toán này cũng được trình bày. Kết quả của chương này đã được công bố trong
các bài báo [A1], [A2] của luận án.
Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm của ba lớp bài toán
cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ và
phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ dưới khái niệm khả vi Hukuhara
tổng quát. Bằng cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov ta chứng minh được sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của ba lớp phương trình vi- tích phân khoảng nêu trên.
Phương pháp giải cho các lớp phương trình này cũng được trình bày. Kết quả của
chương này đã được công bố trong các bài báo [A3], [A4].
8
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4 trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
hai lớp phương trình vi phân khoảng, bao gồm: phương trình vi phân khoảng phân
thứ với trễ và phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ bằng việc xây dựng, phát
triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng khoảng trong mục
1.2 và sử dụng lý thuyết điểm bất động trong không gian được sắp xếp thứ tự (xem
mục 1.1.4 và mục 1.3). Bên cạnh đó, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu
đầu vào và bậc đạo hàm của phương trình cũng được nghiên cứu. Phương pháp
giải của bài toán này cũng được trình bày. Các kết quả trong chương này được công
bố trong các bài báo [A5].
Các kết quả chính của luận án đã được tác giả cùng các giáo sư hướng dẫn và các
đồng nghiệp đăng trên các tạp chí khoa học chuyên ngành có uy tín trong lĩnh vực
phương trình vi phân ([A1]-[A5]) cũng như tham gia báo cáo tại các hội nghị trong
nước ([A6]-[A8]).
9CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN
CDa
a+X Đạo hàm Caputo bậc phân thứ a 2 (0, 1) của hàm khoảng X
D+m, D−m Đạo hàm Dini trên và dưới của hàm thực m
DHX Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng X
Dg
HX Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm khoảng X
D
gHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm khoảng X
RLDa
a+X Đạo hàm Riemann-Liouville bậc phân thứ (không nguyên)
a 2 (0, 1) của hàm khoảng X
d±
dt m(·) Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo t
w(A) Độ rộng của khoảng A
G(a) Hàm Gamma
Hiệu Hukuhara
gH Hiệu Hukuhara tổng quát
H[A, B] Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B
[A, A] Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trong R
L([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [a, b]
C([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a, b]
AC([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên [a, b]
C1([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên [a, b]
C([a − s, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a − s, b]
N Tập các số tự nhiên
, Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng
(A, B)+ Tích trong của hai khoảng A, B
=a
a+X, Xa Tích phân Riemann–Liouville bậc phân thứ a
của hàm khoảng X
P, Q Toán tử từ không gian các hàm khoảng vào không gian
các hàm khoảng.
10
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tui nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Các nội dung được sắp xếp
như sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép toán,
đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu định nghĩa tích trong
của hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; Phần 1.3 chúng
tui nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Các chứng
minh của định lý, tính chất, . . . , trong luận án này được tìm thấy trong các sách
chuyên khảo như: Moore [42], Neumaier [45], Lakshmikantham và các đồng tác
giả [28, 30], Rudin [51] và một số bài báo như: Markov [40], Lupulescu [31, 33],
Stefanini và Bede [54], . . . .
1.1. Giải tích khoảng
1.1.1. Các phép toán
Cho KC(R) là họ tất cả các khoảng khác rỗng, compắc trong R. Cho A, B 2 KC(R),
trong đó A = [A, A], A ≤ A, B = [B, B], B ≤ B và l 2 R. Phép cộng hai khoảng
và phép nhân số thực với một khoảng được định nghĩa như sau:
A + B = [A + B, A + B]
và
lA =
8>><>>:
[lA, lA], nếu l > 0,
0, nếu l = 0,
[lA, lA], nếu l < 0.
Tính chất 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B, C 2 KC(R). Ta có
(i) (A + B) + C = A + (B + C),
(ii) A + 0 = 0 + A, 0 2 KC(R) là phần tử không của KC(R),
11(iii) A + B = B + A,
(iv) l(mA) = (lm)A, với mọi l, m 2 R,
(v) 1A = A,
(vi) l(A + B) = lA + lB, với mọi l 2 R,
(vii) (l + m)A = lA + mA, với mọi l, m 2 R, và lm ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B 2 KC(R). Khoảng cách Hausdorff H
giữa A và B được định nghĩa như sau:
H[A, B] = maxfjA − Bj, jA − Bjg. (1.1)
Độ lớn của A:
H[A, 0] = kAk = maxfjAj, jAjg
và độ rộng của A:
w(A) = A − A.
Tính chất 1.1.2. (Markov [40]) Cho A, B, C, D 2 KC(R) và l 2 R. Ta có
(i) H[A + C, B + C] = H[A, B] và H[A, B] = H[B, A],
(ii) H[A + B, C + D] ≤ H[A, C] + H[B, D],
(iii) H[lA, lB] = jljH[A, B].
Định lý 1.1.3. (KC(R), H) là không gian mêtric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Nếu tồn tại một
khoảng C 2 KC(R) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và
B. Ta kí hiệu C = A B.
Tính chất 1.1.4. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B, C, D 2 KC(R). Ta có
(i) nếu A B, A C tồn tại thì H[A B, A C] = H[B, C];
(ii) nếu A B, C D tồn tại thì H[A B, C D] = H[A + D, B + C];
(iii) nếu A B, A (B + C) tồn tại thì (A B) C tồn tại và (A B) C =
A (B + C);
(iv) nếu A B, A C, C B tồn tại thì (A B) (A C) tồn tại và (A B)
(A C) = C B.
Định nghĩa 1.1.3. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Hiệu Hukuhara
tổng quát của A và B, kí hiệu A gH B, được định nghĩa như sau:
A
gH B = ( ( (ba) [ ) [AA −− BB,, AA −− BB]],, nếu nếu ww((AA)) ≥< ww((BB)). (1.2)
12
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiTính chất 1.1.5. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R), trong đó A = [A, A]
và B = [B, B]. Ta có,
(i ) hiệu Hukuhara tổng quát luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa,
[A, A] gH [B, B] = [C, C]
với C = min A − B, A − B , C = max A − B, A − B ;
(ii ) A gH A = 0;
(iii) nếu A gH B tồn tại theo nghĩa (1.2)-(a) thì B gH A tồn tại theo nghĩa (1.2)-
(b) và ngược lại;
(iv) (A + B) gH B = A;
(v) 0 gH (A gH B) = (−B) gH (−A);
(vi) A gH B = B gH A = C khi và chỉ khi C = 0 và A = B.
Tính chất 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Ta có,
H[A, B] = H[A gH B, 0].
Định nghĩa 1.1.4. (Markov [40]) Cho ánh xạ
X : [a, b] ! KC(R)
t 7! X(t) = [X(t), X(t)].
Nếu X(t) và X(t) là hai hàm thực xác định trên [a, b] thỏa X(t) ≤ X(t), 8t 2 [a, b]
thì X(t) được gọi là hàm khoảng.
Nhận xét 1.1.1. (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [a, b] ! KC(R) được hiểu
theo mêtric H.
(ii) lim
t!t0
X(t) tồn tại khi và chỉ khi lim
t!t0
X(t) và lim
t!t0
X(t) tồn tại, với mọi t0 2 [a, b].
(iii) lim
t!t0
X(t) = [lim
t!t0
X(t), lim
t!t0
X(t)] và hàm X(t) liên tục tại t0 2 [a, b] khi và chỉ
khi X(t), X(t) liên tục tại t0 2 [a, b].
Tính chất 1.1.7. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : [a, b] ! KC(R) và t0 2 [a, b]. Ta
có,
(i) lim
t!t0
X(t) = L , lim
t!t0
(X(t) gH L) = 0.
(ii) lim
t!t0
X(t) = X(t0) , lim
t!t0
(X(t) gH X(t0)) = 0.
Kí hiệu C([a, b], KC(R)) là không gian các hàm khoảng liên tục từ [a, b] vào KC(R).
Cho ánh xạ H0 : C([a, b], KC(R)) × C([a, b], KC(R)) ! [0, ¥) được xác định bởi:
H0[X, Y] = sup
t2[a,b]
H[X(t), Y(t)], X, Y 2 C([a, b], KC(R)).
Ta có (C([a, b], KC(R)), H0) là không gian metric đầy đủ.
13Nhận xét 1.1.2. Nếu X : [a, b] ! KC(R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặc
giảm thì hàm khoảng Y(t) = X(t) gH X(a) luôn có độ rộng tăng trên [a, b].
Cho g 2 [0, 1). Kí hiệu Cg([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm X : (a, b] !
KC(R) sao cho hàm (· − a)gX(·) 2 C([a, b], KC(R)). Ta nhận thấy không gian
C
g([a, b], KC(R)) đầy đủ với mêtric HCg(X, Y) = X gH Y C
g
được định nghĩa
kXkC
g
= sup
a≤t≤b
tgH[X(t), 0].
Hàm khoảng X : [a, b] ! KC(R) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu cho bất kỳ
# > 0, tồn tại số thực d > 0 sao cho với mọi f(sk, tk); k = 1, 2, ..., ng của những
khoảng mở rời rạc trong [a, b] với
n∑
k=1
(tk − sk) < d thì giá trị của X(tk) thoả mãn
n∑
k=1
H[X(tk), X(sk)] < #. Ta kí hiệu AC([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm
khoảng liên tục tuyệt đối trên [a, b].
Hệ quả 1.1.1. ([20]) Hàm khoảng X : [a, b] ! KC(R) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ
nếu X và X liên tục tuyệt đối.
1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân
Định nghĩa 1.1.5. (Lakshmikantham và các đồng tác giả [28], trang 14) Cho
X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t,
nếu tồn tại DHX(t) 2 KC(R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara
X (t + h) X(t), X(t) X(t − h) tồn tại và
lim
h!0+
X (t + h) X(t)
h = hlim !0+ X (t) hX(t − h) = DHX(t).
Định nghĩa 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b).
Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại DHg X(t) 2
KC(R) sao cho
KẾT LUẬN
Trong luận án này, chúng tui đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, trình
bày phương pháp giải cho các lớp bài toán khác nhau của phương trình tích phân
khoảng, phương trình vi phân khoảng có trễ, phương trình vi-tích phân có trễ,
phương trình vi -tích phân với đạo hàm phân thứ. Luận án đã đạt được các kết quả
mới như sau:
- Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình tích
phân khoảng Volterra và phương trình vi phân khoảng có trễ bằng cách sử
dụng nguyên lý điểm bất động Banach và công cụ tích trong trong không
gian các hàm khoảng trong Chương 2.
- Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của
phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ
và phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ bằng cách sử dụng công
cụ hàm tựa Lyapunov trong Chương 3.
- Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính ổn định của nghiệm
cho phương trình tích phân khoảng phân thứ có trễ và phương trình vi-tích
phân khoảng phân thứ bằng cách sử dụng lý thuyết điểm bất động trong
không gian được sắp xếp thứ tự trong Chương 4.
- Phương pháp giải cho các lớp phương trình được giới thiệu trong luận án
cũng được trình bày.
- Các kết quả của luận án đã được công bố trong các công trình sau: [A1],
[A2], [A3], [A4], [A5].
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
GIỚI THIỆU TỔNG QUAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Giải tích khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3. Tích trong trên không gian (KC(R), H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.4. Thứ tự trong không gian mêtric khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2. Giải tích phân thứ khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1. Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Phép tính đạo hàm Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3. Một vài kết quả quan trọng trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Phương trình tích phân và vi phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1. Phương trình tích phân khoảng Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Phương trình vi phân khoảng có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Chương 3. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Phương trình vi-tích phân khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi3.2. Phương trình vi-tích phân khoảng có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3. Phương trình vi-tích phân khoảng có xung với trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.4. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Chương 4. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1. Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.2. Phương pháp giải nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2. Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.2. Phương pháp giải nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. . . . . . 111
Kết luận của luận án. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Các hướng nghiên cứu tiếp theo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3Danh sách hình vẽ
2.1 Nghiệm của Ví dụ 2.1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Nghiệm của Ví dụ 2.1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 (S1)-nghiệm của phương trình (2.29) (l = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 (S2)-nghiệm của phương trình (2.29) (l = 0.5) . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 (S1)-nghiệm của phương trình (2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 (S2)-nghiệm của phương trình (2.32) (l = 1) . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 (S1)-nghiệm của (2.32) (l = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 (S2)-nghiệm của (2.32) (l = −1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 (S1)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 (S2)- nghiệm của Ví dụ 3.1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Biểu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70
3.6 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = 0.01. . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71
3.8 Biễu diễn của X(t), X(t) với t 2 [−21, 12], a = −0.01. . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Nghiệm w−tăng của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 1 . . . . . . . . . . . 94
4.2 Nghiệm w−giảm của Ví dụ 4.1.5 trong Trường hợp 2 . . . . . . . . . . . 95
4.3 Nghiệm w−tăng của Ví dụ (4.40) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Nghiệm w−giảm của Ví dụ (4.40 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiGIỚI THIỆU TỔNG QUAN
Hầu hết các bài toán trong kỹ thuật đều được mô hình hóa bởi các hệ động lực
(Dynamical systems) và các dạng phương trình vi phân, phương trình tích phân
hay phương trình vi- tích phân. Tuy nhiên các mô hình này không phải lúc nào
cũng hoàn hảo do sự tác động hay bị nhiễu bởi các yếu tố bất định, không đầy đủ
và không chắc chắn của các thông số lên hệ thống. Hiện nay, các hướng nghiên cứu
về hệ động lực khi được nhúng vào môi trường chứa đựng các yếu tố không chắc
chắn đang là vấn đề mới và cần được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ cả về phương
diện lý thuyết lẫn ứng dụng. Có ba hướng tiếp cận phổ biến để diễn đạt lý thuyết
không chắc chắn bao gồm: (1) Cách tiếp cận đầu tiên được sử dụng rộng rãi nhất
là lý thuyết xác suất để xử lý những tham số không chắc chắn của hệ thống như
các biến ngẫu nhiên hay các trường dữ liệu ngẫu nhiên. Mặc dù đạt được những
thành công to lớn nhưng hướng tiếp cận này chỉ cho kết quả đáng tin cậy khi và chỉ
khi có đầy đủ dữ liệu thực nghiệm để xác định hàm mật độ phân phối xác suất của
các tham số ngẫu nhiên. (2) Gần đây, việc xây dựng và phát triển lý thuyết diễn tả
sự không chắc chắn mà không phụ thuộc vào tính đầy đủ của dữ diệu đang được
quan tâm. Do đó, hướng tiếp cận thứ hai được đề xuất dựa vào khái niệm của tập
mờ bằng việc sử dụng hàm thuộc để mô tả mức độ thuộc của các tham số không
chắc chắn. (3) Cách tiếp cận thứ ba, giải tích khoảng, được xem như là trường hợp
riêng của giải tích tập nói riêng và giải tích mờ nói chung và cách tiếp cận này có
thể được xem là công cụ diễn đạt được chấp nhận rộng rãi nhất trong số những tiếp
cận không mang tính xác suất. Trong những năm gần đây giải tích không chắc chắn
được diễn đạt dưới khái niệm mờ và khoảng đang trở thành một chủ đề hấp dẫn
trong mắt các nhà nghiên cứu bởi vì nó có khả năng mô hình hoá bằng toán học
các hệ thống động lực chịu nhiều tác động của môi trường bên ngoài, hệ động lực
phức tạp mà không thể biểu diễn được dưới dạng quá trình thực.
Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt bằng các tập mờ được đã được nhiều nhà
toán học quan tâm nghiên cứu, xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để
giải tích mờ ngày càng trở thành một lý thuyết chặt chẽ về mặt toán học và hiệu quả
5về mặt ứng dụng thực tiễn. Vào những thập niên 70-80, Zadeh cùng với các cộng sự
như Chang [10], Heilpern [19], Dubois và Prade [12] đã có những nghiên cứu đặt
nền móng cho các phép toán giải tích mờ như tính khả vi, tính đo được và tính khả
tích của các ánh xạ đa trị và các ánh xạ giá trị mờ. Về sau giải tích mờ tiếp tục được
nghiên cứu và hoàn thiện bởi các công trình có giá trị của Bede, Stefanini, Chalco
và các cộng sự [7]-[9], Diamond và Kloeden [11], Lakshmikantham và Mohapatra
[30]. Theo tiến trình phát triển của giải tích mờ, việc nghiên cứu hệ động lực mờ
và phương trình vi phân mờ đã được Kaleva [22, 23] khởi đầu dựa trên khái niệm
đạo hàm Hukuhara. Kaleva đã thiết lập những khái niệm cơ bản, chứng minh được
sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình vi phân mờ cấp
1 dưới điều kiện Lipschitz, đặt nền móng cho các nghiên cứu về sau. Trong gần một
thập kỷ trở lại đây, lĩnh vực hệ động lực mờ và phương trình vi phân mờ đã phát
triển hết sức mạnh mẽ, thu hút được nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một số nhóm
nghiên cứu tiêu biểu về phương trình vi phân mờ có thể kể đến là các nhóm nghiên
cứu của Nieto, Lupulescu, Chalco-Cano, Malinowski, Rodríguez-López, Bede. Trong
các công trình [24, 46], Nieto và các cộng sự đã phát triển các kỹ thuật thường
sử dụng trong phương trình vi phân thường sang chứng minh các định lý về sự
tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình vi phân mờ tuyến tính
cấp 1 với điều kiện biên dạng tuần hoàn, hay phương trình vi phân cấp 1 có trễ.
Chalco-Cano [8] xây dựng khái niệm mới về nghiệm của phương trình vi phân cấp
1 dưới tính khả vi mờ tổng quát. Lupulescu [32] đã sử dụng phương pháp xây dựng
dãy xấp xỉ về nghiệm để chứng minh các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn
cục cho phương trình vi phân có trễ. Hơn nữa Lupulescu đã kết hợp nguyên lý suy
rộng Zadeh, phương pháp Step và định lý Stacking để đưa ra quy trình tìm nghiệm
mờ dạng giải tích và ứng dụng giải một số mô hình thực tế quan trọng. Malinowski
[34, 37] đã kết hợp giữa hai khái niệm mờ và ngẫu nhiên để nghiên cứu một số tính
chất của nghiệm như sự tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm phương
trình vi phân mờ ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, một số ứng dụng của phương pháp tiếp
cận cho các bài toán thực tế cũng được trình bày.
Lý thuyết không chắc chắn được diễn đạt dưới khái niệm các biến khoảng trong
đường thẳng thực được Moore đưa ra năm 1966 [42], là một sự mở rộng của lý
thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích giải quyết những bài toán kết cấu trong
cơ học chịu ảnh hưởng của sai số đo đạc và nhiễu của môi trường [44]. Trong
[42, 44] tác giả đã trình bày các khái niệm cơ bản về các phép toán đại số khoảng
và các bài toán ứng dụng liên quan. Bên cạnh đó, mối liên hệ giữa giải tích mờ
và giải tích khoảng được trình bày bởi Moore và Lodwick [43], Pedrycz và Gomide
6
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi[47]. Các tác giả đã chứng minh rằng một tập mờ có thể được biễu diễn bởi các
biến và vectơ khoảng thông qua tập mức thể hiện mức độ thuộc của tập mờ. Do đó,
trong một thập niên trở lại đây, bằng cách sử dụng các kết quả của giải tích mờ, việc
nghiên cứu và xây dựng các phép toán giải tích cho hàm khoảng nhằm ứng dụng
cho việc khảo sát các lớp phương trình vi phân khoảng và các bài toán liên quan
đến hệ động lực cũng đã thu hút nhiều nhóm nghiên cứu của các nhà khoa học
trong và ngoài nước. Có nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu các lớp phương
trình vi phân khoảng và chúng liên quan đến quá trình phát triển đạo hàm của hàm
khoảng, bao gồm: đạo hàm Hukuhara và đạo hàm Hukuhara tổng quát. Việc nghiên
cứu các tính chất định tính của nghiệm của các lớp phương trình vi phân khoảng
dựa vào khái niệm khả vi Hukuhara đã thu được nhiều kết quả đáng kể (để biết đầy
đủ hơn về các kết quả dạng này, chúng ta có thể tham khảo trong cuốn sách chuyên
khảo [30]). Tuy nhiên, khái niệm khả vi Hukuhara được xây dựng dựa trên hiệu
Hukuhara [21] giữa hai khoảng có nhược điểm là hiệu này không luôn tồn tại và
do đó dẫn đến đạo hàm không luôn tồn tại [9]. Ngoài ra, độ rộng diễn tả sự không
chắc chắn của hàm khoảng thoả mãn sự khả vi Hukuhara tăng dần theo biến thời
gian, tức là theo thời gian, tính không chắc chắn của nghiệm ngày càng không thể
quan sát, hay nói cách khác quỹ đạo của nghiệm khoảng ngày càng khác khá xa
so với nghiệm cổ điển của bài toán. Vì vậy khái niệm khả vi Hukuhara không thích
hợp để nghiên cứu các biểu diễn tiệm cận nghiệm hay các bài toán giá trị biên có
tính tuần hoàn. Để khắc phục nhược điểm này Bede và các cộng sự đã xây dựng
khái niệm khả vi Hukuhara tổng quát dựa trên hiệu Hukuhara tổng quát [54] cho
các hàm khoảng. Cách tiếp cận này thể hiện độ rộng không chắc chắn của nghiệm
phương trình vi phân khoảng có thể giảm theo biến thời gian hay có thể tồn tại
các điểm chuyển (switching points) giữa các độ rộng tăng hay giảm của nghiệm.
Việc nghiên cứu các lớp hàm khoảng dưới tính khả vi Hukuhara tổng quát đã tạo ra
một số hướng nghiên cứu mới cho lý thuyết phương trình vi phân và các hệ động
lực trong các không gian giải tích trừu tượng, đó là: sự tồn tại và tính duy nhất của
các dạng nghiệm khi xét tính khả vi theo các nghĩa khác nhau, điểm chuyển giữa
các dạng nghiệm, các điều kiện đủ để nghiệm khả vi theo các nghĩa khác nhau. Tuy
nhiên những kết quả đạt được theo hướng nghiên cứu này còn khá khiêm tốn. Một
số kết quả nghiên cứu đạt được gần đây có thể kể đến các kết quả của Chalco-Cano
và các cộng sự [9], Malinowski [35], Lupulescu [31, 33].
Được thúc đẩy bởi các lý do nêu trên và dựa vào quá trình phát triển của giải tích
khoảng, trong luận án này chúng tui tiến hành nghiên cứu một số lớp bài toán
phương trình tích phân, vi phân và vi- tích phân khoảng dưới khái niệm khả vi
7Hukuhara tổng quát với mong muốn góp phần vào quá trình xây dựng và hoàn
thiện lý thuyết mới này. Nội dung của luận án bao gồm 04 chương.
- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2: Phương trình tích phân và vi phân khoảng.
- Chương 3: Phương trình vi- tích phân khoảng.
- Chương 4: Phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ.
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương trình vi phân
thường và phương trình vi phân khoảng. Giới thiệu các kiến thức về giải tích
khoảng như: các phép toán, đạo hàm và tích phân của hàm giá trị khoảng; giới
thiệu định nghĩa tích trong của hai hàm giá trị khoảng và một số tính chất quan
trọng của tích trong; một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường
được sử dụng trong các chương tiếp theo được trình bày.
Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu hai lớp bài toán khác nhau, bao gồm:
phương trình tích phân khoảng Volterra và phương trình vi phân khoảng với trễ
dưới khái niệm đạo hàm Hukuhara tổng quát. Chúng tui chứng minh sự tồn tại và
duy nhất nghiệm cho phương trình tích phân khoảng Volterra bằng hai công cụ
khác nhau là sự hội tụ của dãy xấp xỉ về nghiệm của phương trình, và lý thuyết
điểm bất động. Hơn nữa, phương pháp giải cho lớp bài toán trên cũng được trình
bày. Ngoài ra, bằng cách sử dụng khái niệm tích trong trên không gian các các hàm
khoảng (xem mục 1.1.3), chúng tui xây dựng một số điều kiện tiêu biến cho vế
phải của phương trình vi phân khoảng với trễ và chứng minh được sự tồn tại duy
nhất nghiệm toàn cục cho lớp bài toán trên. Hơn thế nữa, phương pháp giải của
bài toán này cũng được trình bày. Kết quả của chương này đã được công bố trong
các bài báo [A1], [A2] của luận án.
Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại, duy nhất nghiệm của ba lớp bài toán
cho phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ và
phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ dưới khái niệm khả vi Hukuhara
tổng quát. Bằng cách sử dụng công cụ hàm tựa Lyapunov ta chứng minh được sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của ba lớp phương trình vi- tích phân khoảng nêu trên.
Phương pháp giải cho các lớp phương trình này cũng được trình bày. Kết quả của
chương này đã được công bố trong các bài báo [A3], [A4].
8
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4 trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
hai lớp phương trình vi phân khoảng, bao gồm: phương trình vi phân khoảng phân
thứ với trễ và phương trình vi- tích phân khoảng phân thứ bằng việc xây dựng, phát
triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng khoảng trong mục
1.2 và sử dụng lý thuyết điểm bất động trong không gian được sắp xếp thứ tự (xem
mục 1.1.4 và mục 1.3). Bên cạnh đó, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu
đầu vào và bậc đạo hàm của phương trình cũng được nghiên cứu. Phương pháp
giải của bài toán này cũng được trình bày. Các kết quả trong chương này được công
bố trong các bài báo [A5].
Các kết quả chính của luận án đã được tác giả cùng các giáo sư hướng dẫn và các
đồng nghiệp đăng trên các tạp chí khoa học chuyên ngành có uy tín trong lĩnh vực
phương trình vi phân ([A1]-[A5]) cũng như tham gia báo cáo tại các hội nghị trong
nước ([A6]-[A8]).
9CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN
CDa
a+X Đạo hàm Caputo bậc phân thứ a 2 (0, 1) của hàm khoảng X
D+m, D−m Đạo hàm Dini trên và dưới của hàm thực m
DHX Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng X
Dg
HX Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm khoảng X
D
gHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm khoảng X
RLDa
a+X Đạo hàm Riemann-Liouville bậc phân thứ (không nguyên)
a 2 (0, 1) của hàm khoảng X
d±
dt m(·) Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo t
w(A) Độ rộng của khoảng A
G(a) Hàm Gamma
Hiệu Hukuhara
gH Hiệu Hukuhara tổng quát
H[A, B] Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B
[A, A] Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trong R
L([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [a, b]
C([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a, b]
AC([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên [a, b]
C1([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên [a, b]
C([a − s, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a − s, b]
N Tập các số tự nhiên
, Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng
(A, B)+ Tích trong của hai khoảng A, B
=a
a+X, Xa Tích phân Riemann–Liouville bậc phân thứ a
của hàm khoảng X
P, Q Toán tử từ không gian các hàm khoảng vào không gian
các hàm khoảng.
10
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tui nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng. Các nội dung được sắp xếp
như sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép toán,
đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu định nghĩa tích trong
của hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; Phần 1.3 chúng
tui nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Các chứng
minh của định lý, tính chất, . . . , trong luận án này được tìm thấy trong các sách
chuyên khảo như: Moore [42], Neumaier [45], Lakshmikantham và các đồng tác
giả [28, 30], Rudin [51] và một số bài báo như: Markov [40], Lupulescu [31, 33],
Stefanini và Bede [54], . . . .
1.1. Giải tích khoảng
1.1.1. Các phép toán
Cho KC(R) là họ tất cả các khoảng khác rỗng, compắc trong R. Cho A, B 2 KC(R),
trong đó A = [A, A], A ≤ A, B = [B, B], B ≤ B và l 2 R. Phép cộng hai khoảng
và phép nhân số thực với một khoảng được định nghĩa như sau:
A + B = [A + B, A + B]
và
lA =
8>><>>:
[lA, lA], nếu l > 0,
0, nếu l = 0,
[lA, lA], nếu l < 0.
Tính chất 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B, C 2 KC(R). Ta có
(i) (A + B) + C = A + (B + C),
(ii) A + 0 = 0 + A, 0 2 KC(R) là phần tử không của KC(R),
11(iii) A + B = B + A,
(iv) l(mA) = (lm)A, với mọi l, m 2 R,
(v) 1A = A,
(vi) l(A + B) = lA + lB, với mọi l 2 R,
(vii) (l + m)A = lA + mA, với mọi l, m 2 R, và lm ≥ 0.
Định nghĩa 1.1.1. (Markov [40]) Cho A, B 2 KC(R). Khoảng cách Hausdorff H
giữa A và B được định nghĩa như sau:
H[A, B] = maxfjA − Bj, jA − Bjg. (1.1)
Độ lớn của A:
H[A, 0] = kAk = maxfjAj, jAjg
và độ rộng của A:
w(A) = A − A.
Tính chất 1.1.2. (Markov [40]) Cho A, B, C, D 2 KC(R) và l 2 R. Ta có
(i) H[A + C, B + C] = H[A, B] và H[A, B] = H[B, A],
(ii) H[A + B, C + D] ≤ H[A, C] + H[B, D],
(iii) H[lA, lB] = jljH[A, B].
Định lý 1.1.3. (KC(R), H) là không gian mêtric đầy đủ.
Định nghĩa 1.1.2. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Nếu tồn tại một
khoảng C 2 KC(R) sao cho A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và
B. Ta kí hiệu C = A B.
Tính chất 1.1.4. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B, C, D 2 KC(R). Ta có
(i) nếu A B, A C tồn tại thì H[A B, A C] = H[B, C];
(ii) nếu A B, C D tồn tại thì H[A B, C D] = H[A + D, B + C];
(iii) nếu A B, A (B + C) tồn tại thì (A B) C tồn tại và (A B) C =
A (B + C);
(iv) nếu A B, A C, C B tồn tại thì (A B) (A C) tồn tại và (A B)
(A C) = C B.
Định nghĩa 1.1.3. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Hiệu Hukuhara
tổng quát của A và B, kí hiệu A gH B, được định nghĩa như sau:
A
gH B = ( ( (ba) [ ) [AA −− BB,, AA −− BB]],, nếu nếu ww((AA)) ≥< ww((BB)). (1.2)
12
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiTính chất 1.1.5. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R), trong đó A = [A, A]
và B = [B, B]. Ta có,
(i ) hiệu Hukuhara tổng quát luôn tồn tại và duy nhất. Hơn nữa,
[A, A] gH [B, B] = [C, C]
với C = min A − B, A − B , C = max A − B, A − B ;
(ii ) A gH A = 0;
(iii) nếu A gH B tồn tại theo nghĩa (1.2)-(a) thì B gH A tồn tại theo nghĩa (1.2)-
(b) và ngược lại;
(iv) (A + B) gH B = A;
(v) 0 gH (A gH B) = (−B) gH (−A);
(vi) A gH B = B gH A = C khi và chỉ khi C = 0 và A = B.
Tính chất 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho A, B 2 KC(R). Ta có,
H[A, B] = H[A gH B, 0].
Định nghĩa 1.1.4. (Markov [40]) Cho ánh xạ
X : [a, b] ! KC(R)
t 7! X(t) = [X(t), X(t)].
Nếu X(t) và X(t) là hai hàm thực xác định trên [a, b] thỏa X(t) ≤ X(t), 8t 2 [a, b]
thì X(t) được gọi là hàm khoảng.
Nhận xét 1.1.1. (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [a, b] ! KC(R) được hiểu
theo mêtric H.
(ii) lim
t!t0
X(t) tồn tại khi và chỉ khi lim
t!t0
X(t) và lim
t!t0
X(t) tồn tại, với mọi t0 2 [a, b].
(iii) lim
t!t0
X(t) = [lim
t!t0
X(t), lim
t!t0
X(t)] và hàm X(t) liên tục tại t0 2 [a, b] khi và chỉ
khi X(t), X(t) liên tục tại t0 2 [a, b].
Tính chất 1.1.7. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : [a, b] ! KC(R) và t0 2 [a, b]. Ta
có,
(i) lim
t!t0
X(t) = L , lim
t!t0
(X(t) gH L) = 0.
(ii) lim
t!t0
X(t) = X(t0) , lim
t!t0
(X(t) gH X(t0)) = 0.
Kí hiệu C([a, b], KC(R)) là không gian các hàm khoảng liên tục từ [a, b] vào KC(R).
Cho ánh xạ H0 : C([a, b], KC(R)) × C([a, b], KC(R)) ! [0, ¥) được xác định bởi:
H0[X, Y] = sup
t2[a,b]
H[X(t), Y(t)], X, Y 2 C([a, b], KC(R)).
Ta có (C([a, b], KC(R)), H0) là không gian metric đầy đủ.
13Nhận xét 1.1.2. Nếu X : [a, b] ! KC(R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặc
giảm thì hàm khoảng Y(t) = X(t) gH X(a) luôn có độ rộng tăng trên [a, b].
Cho g 2 [0, 1). Kí hiệu Cg([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm X : (a, b] !
KC(R) sao cho hàm (· − a)gX(·) 2 C([a, b], KC(R)). Ta nhận thấy không gian
C
g([a, b], KC(R)) đầy đủ với mêtric HCg(X, Y) = X gH Y C
g
được định nghĩa
kXkC
g
= sup
a≤t≤b
tgH[X(t), 0].
Hàm khoảng X : [a, b] ! KC(R) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu cho bất kỳ
# > 0, tồn tại số thực d > 0 sao cho với mọi f(sk, tk); k = 1, 2, ..., ng của những
khoảng mở rời rạc trong [a, b] với
n∑
k=1
(tk − sk) < d thì giá trị của X(tk) thoả mãn
n∑
k=1
H[X(tk), X(sk)] < #. Ta kí hiệu AC([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm
khoảng liên tục tuyệt đối trên [a, b].
Hệ quả 1.1.1. ([20]) Hàm khoảng X : [a, b] ! KC(R) liên tục tuyệt đối nếu và chỉ
nếu X và X liên tục tuyệt đối.
1.1.2. Phép tính đạo hàm, tích phân
Định nghĩa 1.1.5. (Lakshmikantham và các đồng tác giả [28], trang 14) Cho
X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b). Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t,
nếu tồn tại DHX(t) 2 KC(R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara
X (t + h) X(t), X(t) X(t − h) tồn tại và
lim
h!0+
X (t + h) X(t)
h = hlim !0+ X (t) hX(t − h) = DHX(t).
Định nghĩa 1.1.6. (Stefanini và Bede [54]) Cho X : (a, b) ! KC(R) và t 2 (a, b).
Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại DHg X(t) 2
KC(R) sao cho
KẾT LUẬN
Trong luận án này, chúng tui đã chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm, trình
bày phương pháp giải cho các lớp bài toán khác nhau của phương trình tích phân
khoảng, phương trình vi phân khoảng có trễ, phương trình vi-tích phân có trễ,
phương trình vi -tích phân với đạo hàm phân thứ. Luận án đã đạt được các kết quả
mới như sau:
- Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình tích
phân khoảng Volterra và phương trình vi phân khoảng có trễ bằng cách sử
dụng nguyên lý điểm bất động Banach và công cụ tích trong trong không
gian các hàm khoảng trong Chương 2.
- Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của
phương trình vi- tích phân khoảng, phương trình vi- tích phân khoảng có trễ
và phương trình vi- tích phân khoảng có xung với trễ bằng cách sử dụng công
cụ hàm tựa Lyapunov trong Chương 3.
- Chứng minh được sự tồn tại, duy nhất nghiệm và tính ổn định của nghiệm
cho phương trình tích phân khoảng phân thứ có trễ và phương trình vi-tích
phân khoảng phân thứ bằng cách sử dụng lý thuyết điểm bất động trong
không gian được sắp xếp thứ tự trong Chương 4.
- Phương pháp giải cho các lớp phương trình được giới thiệu trong luận án
cũng được trình bày.
- Các kết quả của luận án đã được công bố trong các công trình sau: [A1],
[A2], [A3], [A4], [A5].
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links