Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Mục lục
Lời nói đầu 8
1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 11
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Các dạng biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức . . . . . . . . . 25
1.2.6 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann . . . . . . . 27
1.2.7 Khoảng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Số phức và biến phức trong lượng giác 36
2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . 43
2.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Tổng và tích sinh bởi các đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Chứng minh công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Tổng và tích các phân thức của biểu thức lượng giác . . 64
4MỤC LỤC 5
2.5 Bất đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6 Đặc trưng hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Một số ứng dụng của số phức trong đại số 88
3.1 Phương trình và hệ phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.1 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.2 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.3 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.4 Phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số . . 109
3.2 Các bài toán về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.1 Phương trình hàm trong đa thức . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . 120
3.2.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức . . . . . . . . . . . . 135
3.2.4 Quy tắc dấu Descartes trong ứng dụng . . . . . . . . . . 136
3.3 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . . 144
3.3.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính . . . . . . . . 145
3.3.2 Đẳng cấu phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính . . . . 160
3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 166
4.1 Giải phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2 Rút gọn một số tổng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số . . . . . . . . . . 172
4.4.1 Tính chất chia hết trong tập các số phức nguyên . . . . 174
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi6 MỤC LỤC
4.4.2 Số nguyên tố Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.3 Một số áp dụng số phức nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Một số ứng dụng của số phức trong hình học 192
5.1 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức193
5.1.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.2 Tích vô hướng của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.3 Tích ngoài của hai số phức. Diện tích tam giác . . . . . . 195
5.1.4 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.1.5 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức 196
5.1.6 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm
trên một đường tròn (đồng viên) . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 Các bài toán hình học chứng minh và tính toán . . . . . . . . . 214
5.4.1 Số phức và đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.4.2 Đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222
5.5 Bảng các công thức cơ bản ứng dụng số phức vào giải toán
hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân 231
6.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân . . . . . . . 231
6.2 Tính tổng bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . 257
6.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 271
6.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . 279MỤC LỤC 7
6.6 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm . . . . . . 291
7 Khảo sát các phương trình đại số 376
7.1 Nhắc lại các kiến thức cơ bản về số phức và hàm phức . . . . . 375
7.2 Số nghiệm của phương trình đa thức trên một khoảng . . . . . . 409
7.3 Đánh giá khoảng nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
7.4 Giải gần đúng phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 481
Phụ lục A. Hàm sinh và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
P-1 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
P-2 Khái niệm về hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
P-3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Phụ lục B. Hệ hồi quy và hệ tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 538
Q-1 Ma trận lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
Q-2 Ma trận tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
Tài liệu tham khảo 551
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiLời nói đầu
Chuyên đề "Biến phức, định lý và áp dụng" đóng vai trò như là một công
cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học, giải tích,
đại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức và
hàm biến phức còn được sử dụng nhiều trong toán hiện đại, các mô hình toán
ứng dụng, ...
Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên quốc tế và quốc gia, thì các bài
toán liên quan đến biến phức thường được đề cập dưới nhiều dạng phong phú
thông qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải, vừa
mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu sắc.
Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước
đều có phần kiến thức số phức. Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung
số phức cuối cùng cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12, tuy nhiên
còn rất đơn giản. Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là
học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất
đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một
vài tổng đặc biệt, ...
Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học
(phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các
vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác.
Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học
phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết
8Lời nói đầu 9
cơ bản và có đề cập đến các áp dụng trực tiếp theo cách phân loại phương
pháp và theo đặc thù cụ thể của các dạng ví dụ minh họa.
Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học cho đội ngũ giáo
viên, các học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích, Phương
trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ cấp và bồi dưỡng học sinh
giỏi về chuyên đề số phức, biến phức và áp dụng, chúng tui viết cuốn chuyên
đề nhỏ này nhằm trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ
bản về phương pháp sử dụng số phức và biến phức để tiếp cận các dạng toán
khác nhau của hình học, số học, toán rời rạc và các lĩnh vực liên quan.
Đây là chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học mà các tác giả đã giảng
dạy cho các lớp cao học, cho đội tuyển thi olympíc toán sinh viên quốc gia và
quốc tế và là nội dung bồi dưỡng giáo viên các trường đại học, cao đẳng và
trường chuyên trong cả nước từ nhiều năm nay.
Trong tài liệu này, chúng tui đã sử dụng một số nội dung về lý thuyết cũng
như bài tập mang tính hệ thống đã được các Thạc sĩ và học viên cao học thực
hiện theo một hệ thống lôgíc nhất định dưới dạng các chuyên đề nghiệp vụ
bậc sau đại học. Những dạng bài tập khác là một số đề thi của các kì thi
học sinh giỏi và các bài toán trong các tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Kvant,
Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đề và chuyên khảo, ... hiện hành ở
trong nước.
Cuốn sách được chia thành 5 chương.
Chương 1. Số phức và biến phức, lịch sử và các dạng biểu diễn
Chương 2. Tính toán trên số phức và biến phức
Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
Chương 4. Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi10 Lời nói đầu
Chương 5. Số phức và ứng dụng trong hình học
Chương 6. Số phức và lời giải của phương trình sai phân
Các tác giả xin chân thành Thank lãnh đạo Bộ Giáo Dục và Đào tạo,
trường ĐHKHTN, ĐHQGHN đã ủng hộ và động viên để các trường hè bồi
dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ sau đại học các năm từ 2002
đến 2009 đã thành công tốt đẹp.
Thank các giáo viên từ 64 tỉnh thành trong cả nước đã nghe giảng, trao
đổi semina và đọc bản thảo, đã gửi nhiều ý kiến đóng góp quan trọng cho nội
dung cũng như cách trình bày thứ tự các chuyên đề.
Cuốn sách được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình về mặt nội dung của
các thành viên trong semina liên trường-viện Giải tích - Đại số của Trường
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQGHN.
Các tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới đồng nghiệp và độc giả có ý kiến
đóng góp để cuốn sách chuyên đề này được hoàn thiện.
Hà Nội ngày 02 tháng 06 năm 2009
Các tác giảChương 1
Số phức, biến phức lịch sử và
các dạng biểu diễn
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI. Đó là thời kỳ Phục hưng của toán học
châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo1
√−1, b√−1, a + b√−1
xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học
Italy "Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số" (1545) của G.Cardano
(1501 - 1576) và "Đại số" (1572) của R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán học
Đức Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình của G.Cardano như sau:
"tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng những mầm mống của đại
số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại".
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
√−1 là lời giải hình thức của phương trình x2 + 1 = 0, xét biểu thức b√−1 là
nghiệm hình thức của phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó biểu thức tổng quát
hơn dạng
(x − a)2 + b2 6= 0
1Tên gọi "ảo" là dịch từ tiếng Pháp "imaginaire" do R.Descates đề xuất năm 1637.
11
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi12 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0. Về sau
biểu thức dạng
a + b√−1, b 6= 0
xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức
Cardano) được gọi là đại lượng "ảo" và sau đó được Gauss gọi là số phức2 và
thường được kí hiệu là a + bi, trong đó kí hiệu
i := √−1
được L.Euler3 đưa vào 1777 gọi là đơn vị "ảo".
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn
ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := √−1 là đơn vị "ảo" cũng đã
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho
các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch
lí sau đây: vì i = √−1 nên i2 = −1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các
2Thuật ngữ "số phức" là do nhà toán học Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đầu tiên (1803)
3L. Euler (1707-1783) là nhà toán học Thụy sĩ1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 13
là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng
hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước.
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách "Phương
pháp toạ độ " của mình, Viện sỹ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó
như sau:
Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tuỳ ý
của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS. Theo một định lí của hình học
sơ cấp, độ dài đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của
các đoạn thẳng AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói
rằng bình phương đoạn thẳng RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây
giờ, trở về với mặt phẳng phức. kí hiệu điểm −1 là A ; điểm +1 là B và điểm
i là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như
sau:
Đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là −1 và SB là +1. Như vậy, theo định
lí vừa nhắc lại ở trên ta có
i2 = (−1)(+1) = −1.
Thật đáng tiếc là phép chứng minh kỳ lạ này vẫn được viết trong sách và giảng
dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức
nhưng lại gọi chúng là các nghiệm "nguỵ biện". Chẳng hạn, khi giải hệ phương
trình
x xy+= 40 y = 10
Cardano đã tìm được nghiệm 5 + √−5 và 5 + √−5 và ông đã gọi nghiệm này
là "âm thuần tuý" và thậm chí còn gọi là "nghiệm âm nguỵ biện".
Có lẽ tên gọi "ảo" là di sản vĩnh cửu của "một thời ngây thơ đáng trân trọng
của số học".
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi14 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng
mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không
thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái
niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: "Các đại lượng ảo - đó là nơi ẩn náu
đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống
lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật".
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính
là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn "Đại số" (1572) ông đã định
nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên
lí thuyết các số "ảo".
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss4 (năm 1831). Vào thế
kỷ XVII - XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất
của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn
L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A.Moivre5
nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức!) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy
là C.Wessel đưa ra sự minh hoạ hình học về số phức và các phép toán trên
chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh hoạ
số phức cũng được gọi là "sơ đồ Argand" để ghi nhận công lao của nhà toán
5A.Moivre (1667-1754) là nhà toán học Anh1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 15
Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách
vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng
minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng
trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở
rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R
Với định lí cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành
trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình
đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường
số thực R (và do đó cả trường số hữu tỷ Q) không có tính chất đóng đại số.
Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ, con đường phát triển khái
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass,
G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số
phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn
bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo
toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp
số phức. Như vậy, các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ có thể thu được
bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức. Chẳng
hạn nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã bứt phá ra khỏi phạm
vi số phức và thu được các quatenion là trường hợp đơn giản nhất của hệ siêu
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mục lục
Lời nói đầu 8
1 Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn 11
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Các dạng biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Biểu diễn số phức dưới dạng cặp . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Biểu diễn số phức dưới dạng đại số . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.4 Biểu diễn số phức nhờ ma trận . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.5 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức . . . . . . . . . 25
1.2.6 Biểu diễn các số phức trên mặt cầu Riemann . . . . . . . 27
1.2.7 Khoảng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Số phức và biến phức trong lượng giác 36
2.1 Tính toán và biểu diễn một số biểu thức . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Tính giá trị của một số biểu thức lượng giác . . . . . . . . . . . 43
2.3 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Tổng và tích sinh bởi các đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . 54
2.4.1 Chứng minh công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Tổng và tích các phân thức của biểu thức lượng giác . . 64
4MỤC LỤC 5
2.5 Bất đẳng thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6 Đặc trưng hàm của hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Một số ứng dụng của số phức trong đại số 88
3.1 Phương trình và hệ phương trình đại số . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.1 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.2 Phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.3 Phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.4 Phương trình bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.5 Các bài toán về phương trình, hệ phương trình đại số . . 109
3.2 Các bài toán về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.1 Phương trình hàm trong đa thức . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.2 Các bài toán về đa thức bất khả quy . . . . . . . . . . . 120
3.2.3 Bài toán về sự chia hết của đa thức . . . . . . . . . . . . 135
3.2.4 Quy tắc dấu Descartes trong ứng dụng . . . . . . . . . . 136
3.3 Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính . . . . . . . . . 144
3.3.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính . . . . . . . . 145
3.3.2 Đẳng cấu phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính . . . . 160
3.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4 Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp 166
4.1 Giải phương trình Diophant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2 Rút gọn một số tổng tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3 Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4 Số phức nguyên và ứng dụng trong lí thuyết số . . . . . . . . . . 172
4.4.1 Tính chất chia hết trong tập các số phức nguyên . . . . 174
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi6 MỤC LỤC
4.4.2 Số nguyên tố Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.3 Một số áp dụng số phức nguyên . . . . . . . . . . . . . . 185
4.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5 Một số ứng dụng của số phức trong hình học 192
5.1 Mô tả một số kết quả của hình học phẳng bằng ngôn ngữ số phức193
5.1.1 Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.2 Tích vô hướng của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.1.3 Tích ngoài của hai số phức. Diện tích tam giác . . . . . . 195
5.1.4 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.1.5 Mô tả các phép biến hình phẳng bằng ngôn ngữ số phức 196
5.1.6 Điều kiện đồng quy, thẳng hàng, vuông góc và cùng nằm
trên một đường tròn (đồng viên) . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.3 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.4 Các bài toán hình học chứng minh và tính toán . . . . . . . . . 214
5.4.1 Số phức và đa giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.4.2 Đẳng thức lượng giác trong tam giác . . . . . . . . . . . 222
5.5 Bảng các công thức cơ bản ứng dụng số phức vào giải toán
hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân 231
6.1 Một số khái niệm cơ bản và tính chất của sai phân . . . . . . . 231
6.2 Tính tổng bằng phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . 239
6.3 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . . . 257
6.4 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 271
6.5 Hệ phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng . . . . . . . 279MỤC LỤC 7
6.6 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm . . . . . . 291
7 Khảo sát các phương trình đại số 376
7.1 Nhắc lại các kiến thức cơ bản về số phức và hàm phức . . . . . 375
7.2 Số nghiệm của phương trình đa thức trên một khoảng . . . . . . 409
7.3 Đánh giá khoảng nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
7.4 Giải gần đúng phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 481
Phụ lục A. Hàm sinh và áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
P-1 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
P-2 Khái niệm về hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
P-3 Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Phụ lục B. Hệ hồi quy và hệ tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 538
Q-1 Ma trận lũy linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
Q-2 Ma trận tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
Tài liệu tham khảo 551
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiLời nói đầu
Chuyên đề "Biến phức, định lý và áp dụng" đóng vai trò như là một công
cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của hình học, giải tích,
đại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức và
hàm biến phức còn được sử dụng nhiều trong toán hiện đại, các mô hình toán
ứng dụng, ...
Trong các kỳ thi Olympic toán sinh viên quốc tế và quốc gia, thì các bài
toán liên quan đến biến phức thường được đề cập dưới nhiều dạng phong phú
thông qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải, vừa
mang tính tổng hợp cao vừa mang tính đặc thù sâu sắc.
Chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông của hầu hết các nước
đều có phần kiến thức số phức. Ở nước ta, sau nhiều lần cải cách, nội dung
số phức cuối cùng cũng đã được đưa vào chương trình Giải tích 12, tuy nhiên
còn rất đơn giản. Vì nhiều lý do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là
học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách rất
đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương trình bậc hai, tính một
vài tổng đặc biệt, ...
Việc sử dụng số phức và biến phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học
(phẳng và không gian) tỏ ra có nhiều ưu việt, nhất là trong việc xem xét các
vấn đề liên quan đến các phép biến hình, quỹ tích và các dạng miền bảo giác.
Nhìn chung, hiện nay, chuyên đề số phức và biến phức (cho bậc trung học
phổ thông và đại học) đã được trình bày ở dạng giáo trình, trình bày lý thuyết
8Lời nói đầu 9
cơ bản và có đề cập đến các áp dụng trực tiếp theo cách phân loại phương
pháp và theo đặc thù cụ thể của các dạng ví dụ minh họa.
Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học cho đội ngũ giáo
viên, các học viên cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Giải tích, Phương
trình vi phân và tích phân, Phương pháp toán sơ cấp và bồi dưỡng học sinh
giỏi về chuyên đề số phức, biến phức và áp dụng, chúng tui viết cuốn chuyên
đề nhỏ này nhằm trình bày đầy đủ các kiến thức tổng quan, các kỹ thuật cơ
bản về phương pháp sử dụng số phức và biến phức để tiếp cận các dạng toán
khác nhau của hình học, số học, toán rời rạc và các lĩnh vực liên quan.
Đây là chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ sau đại học mà các tác giả đã giảng
dạy cho các lớp cao học, cho đội tuyển thi olympíc toán sinh viên quốc gia và
quốc tế và là nội dung bồi dưỡng giáo viên các trường đại học, cao đẳng và
trường chuyên trong cả nước từ nhiều năm nay.
Trong tài liệu này, chúng tui đã sử dụng một số nội dung về lý thuyết cũng
như bài tập mang tính hệ thống đã được các Thạc sĩ và học viên cao học thực
hiện theo một hệ thống lôgíc nhất định dưới dạng các chuyên đề nghiệp vụ
bậc sau đại học. Những dạng bài tập khác là một số đề thi của các kì thi
học sinh giỏi và các bài toán trong các tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Kvant,
Mathematica, các sách giáo khoa, chuyên đề và chuyên khảo, ... hiện hành ở
trong nước.
Cuốn sách được chia thành 5 chương.
Chương 1. Số phức và biến phức, lịch sử và các dạng biểu diễn
Chương 2. Tính toán trên số phức và biến phức
Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
Chương 4. Số phức trong các bài toán số học và tổ hợp
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi10 Lời nói đầu
Chương 5. Số phức và ứng dụng trong hình học
Chương 6. Số phức và lời giải của phương trình sai phân
Các tác giả xin chân thành Thank lãnh đạo Bộ Giáo Dục và Đào tạo,
trường ĐHKHTN, ĐHQGHN đã ủng hộ và động viên để các trường hè bồi
dưỡng nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ sau đại học các năm từ 2002
đến 2009 đã thành công tốt đẹp.
Thank các giáo viên từ 64 tỉnh thành trong cả nước đã nghe giảng, trao
đổi semina và đọc bản thảo, đã gửi nhiều ý kiến đóng góp quan trọng cho nội
dung cũng như cách trình bày thứ tự các chuyên đề.
Cuốn sách được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình về mặt nội dung của
các thành viên trong semina liên trường-viện Giải tích - Đại số của Trường
Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQGHN.
Các tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới đồng nghiệp và độc giả có ý kiến
đóng góp để cuốn sách chuyên đề này được hoàn thiện.
Hà Nội ngày 02 tháng 06 năm 2009
Các tác giảChương 1
Số phức, biến phức lịch sử và
các dạng biểu diễn
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức
Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI. Đó là thời kỳ Phục hưng của toán học
châu Âu sau đêm dài trung cổ. Các đại lượng ảo1
√−1, b√−1, a + b√−1
xuất hiện đầu tiên từ thế kỷ XVI trong các công trình của các nhà toán học
Italy "Nghệ thuật vĩ đại hay là về các quy tắc của đại số" (1545) của G.Cardano
(1501 - 1576) và "Đại số" (1572) của R.Bombelli (1530 - 1572). Nhà toán học
Đức Felix Klein (1849 - 1925) đã đánh giá công trình của G.Cardano như sau:
"tác phẩm quý giá đến tột đỉnh này đã chứa đựng những mầm mống của đại
số hiện đại và nó vượt xa tầm của toán học thời cổ đại".
Khi giải phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
√−1 là lời giải hình thức của phương trình x2 + 1 = 0, xét biểu thức b√−1 là
nghiệm hình thức của phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó biểu thức tổng quát
hơn dạng
(x − a)2 + b2 6= 0
1Tên gọi "ảo" là dịch từ tiếng Pháp "imaginaire" do R.Descates đề xuất năm 1637.
11
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi12 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
có thể xem là nghiệm hình thức của phương trình (x − a)2 + b2 = 0. Về sau
biểu thức dạng
a + b√−1, b 6= 0
xuất hiện trong quá trình giải phương trình bậc hai và bậc ba (công thức
Cardano) được gọi là đại lượng "ảo" và sau đó được Gauss gọi là số phức2 và
thường được kí hiệu là a + bi, trong đó kí hiệu
i := √−1
được L.Euler3 đưa vào 1777 gọi là đơn vị "ảo".
Quá trình thừa nhận số phức như một công cụ quý giá của toán học đã diễn
ra rất chậm chạp. Ngay tên gọi và kí hiệu i := √−1 là đơn vị "ảo" cũng đã
Sự khủng hoảng niềm tin càng trở nên sâu sắc hơn bởi việc chuyển một cách
thiếu cân nhắc và thiếu thận trọng một số quy tắc của đại số thông thường cho
các số phức đã sản sinh ra những nghịch lí khó chịu. Chẳng hạn như nghịch
lí sau đây: vì i = √−1 nên i2 = −1, nhưng đồng thời bằng cách sử dụng các
2Thuật ngữ "số phức" là do nhà toán học Pháp N.Carnot (1753-1823) đưa vào đầu tiên (1803)
3L. Euler (1707-1783) là nhà toán học Thụy sĩ1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 13
là định nghĩa số mới i cho phép ta đưa vào xét số phức. Điều đó có nghĩa rằng
hệ thức đó không thể chứng minh, nó chỉ là quy ước.
Tuy vậy, cũng có người muốn chứng minh hệ thức đó. Trong cuốn sách "Phương
pháp toạ độ " của mình, Viện sỹ L.S. Pointriagin đã mô tả lại chứng minh đó
như sau:
Đầu tiên người ta lấy nửa đường tròn với đường kính AB. Từ điểm R tuỳ ý
của nửa đường tròn hạ đường vuông góc RS. Theo một định lí của hình học
sơ cấp, độ dài đường vuông góc RS là trung bình nhân giữa các độ dài của
các đoạn thẳng AS và SB. Vì nói đến độ dài nên sẽ không sai sót lớn khi nói
rằng bình phương đoạn thẳng RS bằng tích các đoạn thẳng AS và BS. Bây
giờ, trở về với mặt phẳng phức. kí hiệu điểm −1 là A ; điểm +1 là B và điểm
i là R. Khi đó S sẽ là điểm 0. Tác giả của phép chứng minh đã lập luận như
sau:
Đoạn thẳng RS là i, đoạn thẳng AS là −1 và SB là +1. Như vậy, theo định
lí vừa nhắc lại ở trên ta có
i2 = (−1)(+1) = −1.
Thật đáng tiếc là phép chứng minh kỳ lạ này vẫn được viết trong sách và giảng
dạy ở một số trường phổ thông trước thế chiến thứ II.
Lịch sử toán học cũng ghi lại rằng Cardano cũng đã nhắc đến các nghiệm phức
nhưng lại gọi chúng là các nghiệm "nguỵ biện". Chẳng hạn, khi giải hệ phương
trình
x xy+= 40 y = 10
Cardano đã tìm được nghiệm 5 + √−5 và 5 + √−5 và ông đã gọi nghiệm này
là "âm thuần tuý" và thậm chí còn gọi là "nghiệm âm nguỵ biện".
Có lẽ tên gọi "ảo" là di sản vĩnh cửu của "một thời ngây thơ đáng trân trọng
của số học".
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phi14 Chương 1. Số phức, biến phức lịch sử và các dạng biểu diễn
Thậm chí đối với nhiều nhà bác học lớn thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản
chất hình học của các đại lượng ảo không được hình dung một cách rõ ràng
mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử cũng ghi lại rằng I.Newton đã không
thừa nhận các đại lượng ảo và không xem các đại lượng ảo thuộc vào các khái
niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng: "Các đại lượng ảo - đó là nơi ẩn náu
đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dường như một giống
lưỡng cư sống ở một chốn nào đấy giữa cái có thật và không có thật".
Người đầu tiên nhìn thấy lợi ích do đưa số phức vào toán học mang lại chính
là nhà toán học Italy R. Bombelli. Trong cuốn "Đại số" (1572) ông đã định
nghĩa các phép tính số học trên các đại lượng ảo và do đó ông đã sáng tạo nên
lí thuyết các số "ảo".
Thuật ngữ số phức được dùng đầu tiên bởi K.Gauss4 (năm 1831). Vào thế
kỷ XVII - XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất
của đại lượng ảo (số phức!) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn
L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn A.Moivre5
nghiên cứu và giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).
Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức!) chỉ tiêu tan khi nhà toán học người Nauy
là C.Wessel đưa ra sự minh hoạ hình học về số phức và các phép toán trên
chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh hoạ
số phức cũng được gọi là "sơ đồ Argand" để ghi nhận công lao của nhà toán
5A.Moivre (1667-1754) là nhà toán học Anh1.1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức 15
Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách
vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép chứng
minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định rằng
trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm.
Bản chất đại số của số phức thể hiện ở chỗ số phức là phần tử của trường mở
rộng (đại số) C của trường số thực R thu được bằng phép ghép đại số cho R
Với định lí cơ bản của đại số, Gauss đã chứng minh được trường C trở thành
trường đóng đại số. Điều đó có nghĩa là khi xét các nghiệm của phương trình
đại số trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường
số thực R (và do đó cả trường số hữu tỷ Q) không có tính chất đóng đại số.
Chẳng hạn, phương trình với hệ số thực có thể không có nghiệm thực.
Nhìn lại hơn 2500 năm từ thời Pythagor đến giờ, con đường phát triển khái
Bằng các kết quả sâu sắc trong các công trình của các nhà toán học K.Weierstrass,
G.Frobenius, B.Peirce người ta mới nhận ra rằng mọi cố gắng mở rộng tập số
phức theo con đường trên đều không có kết quả khả quan. K.Weierstrass đã
chứng minh tập hợp số phức C không thể mở rộng thành tập hợp rộng hơn
bằng cách ghép thêm số mới để trong tập hợp số rộng hơn thu được vẫn bảo
toàn mọi phép tính và mọi quy luật của các phép toán đã đúng trong tập hợp
số phức. Như vậy, các tập hợp số mới chứa tập số phức chỉ có thể thu được
bằng việc từ bỏ một số tính chất thông thường nào đó của các số phức. Chẳng
hạn nhà toán học Ailen là W.Hamilton (1805 - 1865) đã bứt phá ra khỏi phạm
vi số phức và thu được các quatenion là trường hợp đơn giản nhất của hệ siêu
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links