Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm số tổng và bậc của hàm số học
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị..................................................................... 3
1.1. Số nguyên tố......................................................................................... 3
1.2. Một số tính chất của số nguyên tố ........................................................ 3
1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn .................................................................... 5
1.4. Hệ thặng dư modun m .......................................................................... 7
Chƣơng 2. Hàm số học ............................................................................... 10
2.1. Khái niệm hàm số học ........................................................................ 10
2.2. Một số hàm số học cơ bản .................................................................. 11
2.2.1. Hàm Euler .................................................................................... 11
2.2.2. Hàm Mobius
n ........................................................................ 14
2.2.3. Công thức nghịch đảo Mobius ...................................................... 16
2.2.4. Hàm Mangoldt
n
................................................................... 18
2.2.5. Hàm điểm nguyên r n ................................................................. 19
2.2.6. Hàm ước d n ............................................................................. 19
2.2.7. Hàm tổng các ước
2.2.8. Hàm
k
n ................................................................ 20
n ................................................................................... 25
2.2.9. Hàm n .................................................................................... 26
Chƣơng 3 .................................................................................................... 27
Hàm tổng và bậc của các hàm số học ........................................................ 27
3.1. Hàm tổng............................................................................................ 27
3.1.1. Định nghĩa hàm tổng .................................................................... 27
3.1.2. Các hàm tổng của các hàm số học R N , D N ,Φ N .... ............ 27
3.2. Bậc của các hàm số học ...................................................................... 29
KẾT LUẬN................................................................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 39
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Số học luôn được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Bên cạnh
việc giải đáp những bí ấn về các con số, nó còn có những ứng dụng vô cùng
quan trọng trong hệ thống toán học, cũng như trong khoa học kĩ thuật, và đặc
biệt là ứng dụng thông qua các hàm số học.
Hàm số học là khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm trong khoa học
toán học. Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính
thống nhất của môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo giữa
các phân môn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chương trình.
Do một số hàm số học không là chính qui. Nên ta xét hàm tổng của các
hàm số học. Việc nghiên cứu hàm tổng và bậc của hàm số học giúp ta hiểu rõ
nét hơn về tính chất của hàm và các ứng dụng của nó.
Chính vì vậy nên em đã chọn đề tài " Hàm số tổng và bậc của các
hàm số học" làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài nhằm hệ thống lại 1 số hàm số học cơ bản như: hàm euler, hàm
mobius, hàm tổng…; bên cạnh đó là nghiên cứu về hàm tổng của các hàm và
bậc của các hàm số học cũng như hàm tổng
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: các hàm số học, hàm tổng, bậc của các hàm số học.
- Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản
thân nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu về hàm tổng và bậc của 1 số
hàm số học
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Nghiên cứu về bậc của các hàm số học cơ bản và hàm tổng của các
hàm số học
1
5. Giả thuyết khoa học
Đề tài nghiên cứu các vấn đề:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Hàm số học.
Chương 2: Hàm tổng và bậc của các hàm số học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu. Hệ thống khái quát các vấn đề về
điểm nguyên đã được định hướng. Tổng kết kinh nghiệm của các nhà khoa
học và bản thân.
2
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số nguyên tố
Định nghĩa 1.1.1.Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự
nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó.
Tập số nguyên tố kí hiệu là
Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Định nghĩa 1.1.2. Hai số nguyên a, b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
chúng có ước chung lớn nhất là phần tử khả nghịch. Kí hiệu là a, b
1.
1.2. Một số tính chất của số nguyên tố
Mệnh đề 1.2.1. Ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn
1 là một số nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử a là một số tự nhiên, a > 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của
a. Ta chứng minh p là số nguyên tố.
Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p phải là hợp số vì p 1, nghĩa là
nó có một ước thực sự p1,1< p1< p.
Suy ra p1 cũng là ước của a (mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất khác 1
của a).
Vậy p phải là số nguyên tố.
Hệ quả 1.2.1(Bổ đề Euclid). Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều chia hết cho ít
nhất một số nguyên tố.
Mệnh đề 1.2.2. Có vô số số nguyên tố hay tập số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh. Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1, p2,…, pn.
Xét số a = p1 p2…pn. + 1 > 1
3
Suy ra, theo tính chất thì a có ít nhất một số ước nguyên tố q. Nhưng vì có
hữu hạn số nguyên tố kể trên nên q phải trùng với một trong các số p1, p2,…,pn.
Do đó q | p1 p2…pn. Mà q | a suy ra q | a – p1 p2…pn = 1 (vô lý). Vậy
điều giả sử là sai. Do đó tập số nguyên tố là vô hạn.
Mệnh đề 1.2.3. Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số n là một số nguyên tố
không lớn hơn
n
Chứng minh. Gọi p là ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n. Theo tính chất 1
ta có p là số nguyên tố. Giử sử n = pq, khi đó do n là hợp số nên
n p, suy ra q > 1. Vậy q cũng là một ước lớn hơn 1 của n. Theo giả thiết ta
có p q p2 p.q = n. Từ đó ta được p
n.
Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2.2. Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trong
khoảng từ 1 đến
a thì a là số nguyên tố.
Mệnh đề 1.2.4. Cho p là số nguyên tố. Khi đó mọi số tự nhiên a thì p | a hoặc
(a, p) = 1.
Chứng minh. Gọi d = (a , p) d | p. Mà p là số nguyên tố nên hay d = 1
hay d = p.
+ Nếu d = 1 thì (a , p) = 1.
+ Nếu d = p thì p | a.
Vậy định lý được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. Cho p là số nguyên tố và a1, a2,…, an là các số tự nhiên. Khi
đó nếu p | a1a2…an thì tồn tại i {1, 2,…, n} để p | ai
4
Chứng minh. Nếu p không là ước của ai với mọi i 1, n thì theo mệnh đề
1.1.4 ta có ai , p 1 , với mọi i 1, n . Suy ra (a1a2…an , p) = 1. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết p | a1a2…an . Vậy tồn tại i 1,2,...n để p | ai.
Hệ quả 1.2.3. Nếu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó
phải trùng với một trong các số nguyên tố đó.
1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn
Định lý 1.3.1 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều
phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy
nhất không kể thứ tự các thừa số.
Chứng minh
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Khóa luận tốt nghiệp toán Hàm số tổng và bậc của hàm số học
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị..................................................................... 3
1.1. Số nguyên tố......................................................................................... 3
1.2. Một số tính chất của số nguyên tố ........................................................ 3
1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn .................................................................... 5
1.4. Hệ thặng dư modun m .......................................................................... 7
Chƣơng 2. Hàm số học ............................................................................... 10
2.1. Khái niệm hàm số học ........................................................................ 10
2.2. Một số hàm số học cơ bản .................................................................. 11
2.2.1. Hàm Euler .................................................................................... 11
2.2.2. Hàm Mobius
n ........................................................................ 14
2.2.3. Công thức nghịch đảo Mobius ...................................................... 16
2.2.4. Hàm Mangoldt
n
................................................................... 18
2.2.5. Hàm điểm nguyên r n ................................................................. 19
2.2.6. Hàm ước d n ............................................................................. 19
2.2.7. Hàm tổng các ước
2.2.8. Hàm
k
n ................................................................ 20
n ................................................................................... 25
2.2.9. Hàm n .................................................................................... 26
Chƣơng 3 .................................................................................................... 27
Hàm tổng và bậc của các hàm số học ........................................................ 27
3.1. Hàm tổng............................................................................................ 27
3.1.1. Định nghĩa hàm tổng .................................................................... 27
3.1.2. Các hàm tổng của các hàm số học R N , D N ,Φ N .... ............ 27
3.2. Bậc của các hàm số học ...................................................................... 29
KẾT LUẬN................................................................................................. 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 39
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Số học luôn được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Bên cạnh
việc giải đáp những bí ấn về các con số, nó còn có những ứng dụng vô cùng
quan trọng trong hệ thống toán học, cũng như trong khoa học kĩ thuật, và đặc
biệt là ứng dụng thông qua các hàm số học.
Hàm số học là khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm trong khoa học
toán học. Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cường tính
thống nhất của môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo giữa
các phân môn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chương trình.
Do một số hàm số học không là chính qui. Nên ta xét hàm tổng của các
hàm số học. Việc nghiên cứu hàm tổng và bậc của hàm số học giúp ta hiểu rõ
nét hơn về tính chất của hàm và các ứng dụng của nó.
Chính vì vậy nên em đã chọn đề tài " Hàm số tổng và bậc của các
hàm số học" làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
Đề tài nhằm hệ thống lại 1 số hàm số học cơ bản như: hàm euler, hàm
mobius, hàm tổng…; bên cạnh đó là nghiên cứu về hàm tổng của các hàm và
bậc của các hàm số học cũng như hàm tổng
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: các hàm số học, hàm tổng, bậc của các hàm số học.
- Phạm vi nghiên cứu: do hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản
thân nên khóa luận này chỉ tập trung nghiên cứu về hàm tổng và bậc của 1 số
hàm số học
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Nghiên cứu về bậc của các hàm số học cơ bản và hàm tổng của các
hàm số học
1
5. Giả thuyết khoa học
Đề tài nghiên cứu các vấn đề:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Hàm số học.
Chương 2: Hàm tổng và bậc của các hàm số học.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu. Hệ thống khái quát các vấn đề về
điểm nguyên đã được định hướng. Tổng kết kinh nghiệm của các nhà khoa
học và bản thân.
2
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Số nguyên tố
Định nghĩa 1.1.1.Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và không có ước tự
nhiên nào khác ngoài 1 và chính nó.
Tập số nguyên tố kí hiệu là
Một số tự nhiên lớn hơn 1 và không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Định nghĩa 1.1.2. Hai số nguyên a, b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
chúng có ước chung lớn nhất là phần tử khả nghịch. Kí hiệu là a, b
1.
1.2. Một số tính chất của số nguyên tố
Mệnh đề 1.2.1. Ước số tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên lớn hơn
1 là một số nguyên tố.
Chứng minh. Giả sử a là một số tự nhiên, a > 1 và p > 1 là ước nhỏ nhất của
a. Ta chứng minh p là số nguyên tố.
Thật vậy, giả sử p không là số nguyên tố thì p phải là hợp số vì p 1, nghĩa là
nó có một ước thực sự p1,1< p1< p.
Suy ra p1 cũng là ước của a (mâu thuẫn với giả thiết p là ước nhỏ nhất khác 1
của a).
Vậy p phải là số nguyên tố.
Hệ quả 1.2.1(Bổ đề Euclid). Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều chia hết cho ít
nhất một số nguyên tố.
Mệnh đề 1.2.2. Có vô số số nguyên tố hay tập số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh. Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p1, p2,…, pn.
Xét số a = p1 p2…pn. + 1 > 1
3
Suy ra, theo tính chất thì a có ít nhất một số ước nguyên tố q. Nhưng vì có
hữu hạn số nguyên tố kể trên nên q phải trùng với một trong các số p1, p2,…,pn.
Do đó q | p1 p2…pn. Mà q | a suy ra q | a – p1 p2…pn = 1 (vô lý). Vậy
điều giả sử là sai. Do đó tập số nguyên tố là vô hạn.
Mệnh đề 1.2.3. Ước nhỏ nhất khác 1 của một hợp số n là một số nguyên tố
không lớn hơn
n
Chứng minh. Gọi p là ước tự nhiên nhỏ nhất khác 1 của n. Theo tính chất 1
ta có p là số nguyên tố. Giử sử n = pq, khi đó do n là hợp số nên
n p, suy ra q > 1. Vậy q cũng là một ước lớn hơn 1 của n. Theo giả thiết ta
có p q p2 p.q = n. Từ đó ta được p
n.
Vậy định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2.2. Nếu số tự nhiên a > 1 không có ước nguyên tố nào trong
khoảng từ 1 đến
a thì a là số nguyên tố.
Mệnh đề 1.2.4. Cho p là số nguyên tố. Khi đó mọi số tự nhiên a thì p | a hoặc
(a, p) = 1.
Chứng minh. Gọi d = (a , p) d | p. Mà p là số nguyên tố nên hay d = 1
hay d = p.
+ Nếu d = 1 thì (a , p) = 1.
+ Nếu d = p thì p | a.
Vậy định lý được chứng minh.
Mệnh đề 1.2.5. Cho p là số nguyên tố và a1, a2,…, an là các số tự nhiên. Khi
đó nếu p | a1a2…an thì tồn tại i {1, 2,…, n} để p | ai
4
Chứng minh. Nếu p không là ước của ai với mọi i 1, n thì theo mệnh đề
1.1.4 ta có ai , p 1 , với mọi i 1, n . Suy ra (a1a2…an , p) = 1. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết p | a1a2…an . Vậy tồn tại i 1,2,...n để p | ai.
Hệ quả 1.2.3. Nếu số nguyên tố p chia hết tích của nhiều số nguyên tố thì nó
phải trùng với một trong các số nguyên tố đó.
1.3. Dạng phân tích tiêu chuẩn
Định lý 1.3.1 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều
phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy
nhất không kể thứ tự các thừa số.
Chứng minh
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links