Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh sách hình vẽ iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 Các điểm và đường đặc biệt trong 1.1 Các điểm đặc biệt loại một . . . . 1.1.1 Điểm Gergaune . . . . . . 1.1.2 Điểm Nagel . . . . . . . . 1.1.3 Điểm Lemoine . . . . . . . 1.1.4 Tâm Euler . . . . . . . . . 1.2 Các điểm đặc biệt loại hai . . . . 1.2.1 Điểm Schiffler . . . . . . . 1.2.2 Điểm Engiabech . . . . . . 1.2.3 Điểm Feuerbach . . . . . 1.2.4 Điểm Brocard . . . . . . . 1.2.5 Điểm Fermat-Torricelli . . 1 tam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt 2.1 Các hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại 2.1.1 Phương pháp Van Aubel . . . . . . . . 2.1.2 Phương pháp Stewart . . . . . . . . . . 2.1.3 Phương pháp Leibnitz . . . . . . . . . 2.1.4 Phương pháp véc tơ . . . . . . . . . . 2.1.5 Phương pháp tổ hợp các hệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 8 9 10 16 16 19 24 26 30 . . . . . . 35 35 36 38 41 45 55 ii 2.2 2.3 Một số hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại hai 2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach . . . . 2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad . . . . . 2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Hình thành các bất đẳng thức trong tam giác 2.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r và p . . . 2.3.3 Ứng dụng vào giải các bài toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 60 62 63 63 66 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ Stt Hình Nội dung .............................. Trang 1. Hình 1.1 Điểm Gergaune 6 2. Hình 1.2 Điểm Nagel 8 3. Hình 1.3 Tâm Euler 11 4. Hình 1.4 Tính chất i. (Euler) 12 5. Hình 1.5 Tính chất ii. (Euler) 13 6. Hình 1.6 Tính chất iii. (Euler) 13 7. Hình 1.7 Điểm Feuerbach 14 8. Hình 1.8 Điểm Schiffler 17 9. Hình 1.9 Tính chất 1.2.1.4 19 10. Hình 1.10 Tính chất 1.2.2.2 20 11. Hình 1.11 Tính chất 1.2.2.3 21 12. Hình 1.12 Tính chất 1.2.2.6 22 13. Hình 1.13 Chú ý 23 14. Hình 1.14 Tính chất 1.2.3.2 25 15. Hình 1.15 Điểm Brocard 26 16. Hình 1.16 Tính góc Brocard 30 17. Hình 1.17 Điểm Fermat – Torricelli 32 18. Hình 2.1 Định lý Van Aubel 37 19. Hình 2.2 Định lý Steiwart 38 20. Hình 2.3 Khoảng cách OG 39 21. Hình 2.4 Khoảng cách IG 40 22. Hình 2.5 Công thức Leibnitz 41 23. Hình 2.6 Ứng dụng điểm Brocard 69 24. Hình 2.7 Ứng dụng điểm Fermat – Torricelli 70 iv DANH SÁCH KÝ HIỆU Stt Ký hiệu Nội dung............................... Trang 1. G Trọng tâm tam giác 39 2. H Trực tâm 45 3. O Tâm ngoại tiếp 39 4. I Tâm nội tiếp 40 5. OA , OB , OC Tâm bàng tiếp 4 11. O9 Tâm Euler 10 6. J Điểm Gergaune 6 7. N Điểm Nagel 8 8. L Điểm Lemoine 9 9. S Điểm Schiffler 16 10. E Điểm Engiabech 19 11. F Điểm Feuerbach 24 12. Z Điểm Brocard 26 13. X Điểm Fermat 30 1 Lời nói đầu Các điểm đặc biệt, các đường thẳng đặc biệt của tam giác là đề tài gây hứng thú từ lâu đối với các nhà toán học bởi vì chính chúng có nhiều tính chất hình học đẹp đẽ, được phát triển thành bộ phận quan trọng trong "Hình học tam giác". Tính đến 3/09/2015, số điểm đặc biệt trong tam giác được phát hiện đã lên tới hơn 8000 điểm, mang ký hiệu X(i), i = 1, ..., 8000 (theo "Bách khoa toàn thư các tâm tam giác"). Luận văn chỉ hạn chế nghiên cứu một một số điểm đặc biệt và ứng dụng của chúng để có được các hệ thức Hình học mới. Để tiện cho cách trình bày chúng tui tạm chia thành 2 loại điểm đặc biệt: Điểm đặc biệt loại 1 gồm các điểm quen thuộc như trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, các tâm bàng tiếp, tâm Euler, điểm Gergaune, điểm Nagel, điểm Lemoine. Điểm đặc biệt loại 2 gồm các điểm Schiffler, điểm Engiabech, điểm Feurbach, điểm Fermat (hay gọi là điểm Torricenlli). Theo chúng tui với những điểm đặc biệt như vậy cũng đã đủ trình bày các tính chất phong phú và các hệ thức Hình học mới trong tam giác. Nhiều điểm ở đây đã được nói đến trong các cuốn sách, chẳng hạn [1], [2], [9], [7]. Tuy nhiên các tài liệu này trình bày vẫn chưa đầy đủ, vả lại các phép chứng minh của chúng tui đi theo hướng khác, cách khai thác tìm ra các hệ thức hình học được làm theo những phương pháp mới, hiệu quả. Các ứng dụng của các hệ thức, các tính chất vào các bài toán bất đẳng thức, giải phương trình góp phần làm phong phú nội dung của Luận văn. Đó cũng là những điểm mới của luận văn. 2 Mục đích của đề tài là: 1. Nhắc lại và bổ sung các điểm đặc biệt trong tam giác theo cấu trúc mỗi điểm được trình bày cơ sở định nghĩa, định nghĩa, các tính chất và ứng dụng. Nội dung này được chia làm hai phần: Các điểm loại 1 và các điểm loại 2. 2. Khai thác, phát hiện ra các hệ thức Hình học mới bằng các phương pháp: phương pháp Van Aubel, phương pháp Stewart, phương pháp Leibnitz, phương pháp tổ hợp các hệ thức. 3. Bước đầu nêu một số ứng dụng của các điểm đặc biệt và các hệ thức tìm được để giải các bài toán về bất đẳng thức, các đánh giá liên quan đến R, r, p và đặc biệt ứng dụng để giải các bài toán đại số. Phạm vi của đề tài là xét một số các điểm đặc biệt trong tam giác, nghiên cứu các tính chất hình học của chúng, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên và các đề thi Đại học. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 dành để trình bày các điểm đặc biệt trong tam giác, chia làm hai loại điểm đặc biệt. Trình bày chi tiết các tính chất của mỗi điểm. Chương 2 với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt" giới thiệu các hệ thức Hình học mới được phát hiện bằng các phương pháp hiệu quả như đã nói ở trên. Các bài toán bổ sung với số lượng đáng kể cũng góp phần làm cho nội dung luận văn thêm phong phú. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tui luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. tui xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tui đối với những điều thầy đã dành cho tôi. tui xin chân thành Thank ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến 3 thức quý báu,tạo mọi điều kiện cho tui hoàn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. tui xin gửi lời Thank chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tui trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Học viên Nguyễn Thu Hằng 4 Chương 1 Các điểm và đường đặc biệt trong tam giác 1.1 Các điểm đặc biệt loại một Ngoài các điểm đặc biệt quen biết trong tam giác như trọng tâm G là giao 3 đường trung tuyến, trực tâm H là giao 3 đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm ngoại tiếp), tâm đường tròn nội tiếp (tâm nội tiếp) ta xét thêm các điểm đặc biệt khác: các tâm bàng tiếp OA , OB , OC , điểm Gergaune J, điểm Nagel N , điểm Lemoine L và tâm Euler O9 , mà ta sẽ gọi chung là các điểm đặc biệt loại 1. Các đường đặc biệt sẽ được giới thiệu cùng với các điểm có liên quan. Nhắc lại về tâm các đường tròn bàng tiếp: Các phân giác của hai góc ngoài một tam giác cắt nhau trên phân giác trong của góc thứ ba. Giao điểm của hai phân giác các góc ngoài và phân giác trong của góc thứ ba là tâm đường tròn tiếp xúc một cạnh của tam giác và các đường kéo dài của 2 cạnh kia. Đường tròn đó gọi là đường tròn bàng tiếp. Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. Ta ký hiệu là các đường tròn (Oa , ρa ), (Ob , ρb ), (Oc , ρc ) lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c của tam giác. Ta có SABC = SABOa + SACOa − SBCOa = = ρa (h + c − a) = ρa (p − a) 2 c.ρa b.ρa a.ρa + − 2 2 2 5 với p là nửa chu vi tam giác ABC. Vậy ρa = ρb = S , p−b ρc = S . Tương tự như vậy, p−a S . p−c Tính chất 1.1.1. (Liên hệ giữa các bán kính) i. Tích các bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp bằng bình phương 2 = rρa ρb ρc . diện tích tam giác: SABC ii. Tổng các nghịch đảo các bán kính đường tròn bàng tiếp bằng nghịch 1 1 1 1 đảo bán kính đường tròn nội tiếp: = + + . r ρ a ρb ρc Chứng minh. i. Ta đã biết SABC = pr. Theo lưu ý ở trên SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC = ρc (p − c). Ta suy ra S 4 = pr.ρa (p − a).ρb (p − b).ρc (p − c) = S 2 .r.ρa .ρb .ρc . 2 Từ đó suy ra SABC = rρa ρb ρc . ii. Cũng từ SABC = pr, SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC = ρc (p − c) ta suy ra 1 p 1 p−a 1 p−b 1 p−c = , = , = , = . r S ρa S ρb S ρc S Sau khi cộng các đẳng thức vế với vế 1 1 1 1 = + + . r ρa ρb ρ c Tính chất 1.1.2. Đoạn thẳng từ đỉnh tam giác đến các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp bằng nửa chu vi tam giác. Chứng minh. Ta có AN = AB + BN = c + BK, AP = AC + CP = b + KC. Vì AN = AP nên 2AN = b + c + BK + KC = b + c + a = 2p. Suy ra AN = p. 6 Bài toán 1.1.3. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, cạnh huyền c ta có các hệ thức i. ρc = r + ρa + ρb , ρa .ρb . ii. r = ρc Bài toán 1.1.4. Chứng minh rằng trong tam giác vuông các bán kính ab ρa , ρb là nghiệm của tam thức f (x) = x2 − cx + . 2 a.ρb ρc Bài toán 1.1.5. Chứng minh đẳng thức SABC = . ρ b + ρc Sau đây ta sẽ nói về các điểm đặc biệt khác trong tam giác cùng các tính chất của chúng. 1.1.1 Điểm Gergaune Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.1.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp đồng quy tại một điểm. Hình 1.1: Điểm Gergaune Chứng minh. Gọi A0 , B 0 , C 0 là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp. Ta có đẳng thức sau A0 B B 0 C C 0 A p−b p−c p−a · · = − · · = −1. p−c p−a p−b A0 C B 0 A C 0 B 7 Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy. Định nghĩa 1.1.1.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp được gọi là điểm Gergaune, ký hiệu đó là điểm J. Mệnh đề 1.1.1.3. Điểm Gergaune thỏa mãn hệ thức sau −→ −→ −→ (p − b)(p − c)JA + (p − c)(p − a)JB + (p − a)(p − b)JC = ~0. (1.1) Chứng minh. Trước hết ta có bổ đề: Tam giác ABC, với mọi điểm M SM AC SM AB SM BC ,y = ,z = . Khi đó x + y + z = 1 và ta đặt x = SABC SABC SABC −−→ −−→ −−→ xM A + y M B + z M C = ~0 (hệ thức Jacobi). Thật vây, gọi A0 là giao điểm của M A và BC. Từ tính chất của tỷ −−→ A0 C −−→ A0 B −−→ lệ thức M A0 = MB + M C. Nhưng do tính chất của tỷ số diện BC BC tích và tỷ lệ thức A0 C SM A0 C SM AC A0 B SM BC = = ⇒ = A0 B SM A0 B SM AB BC SM AC + SM AB −−→ ⇒ M A0 = −−→ −−→ SM AC SM AB .M B + .M C. SM AC + SM AB SM AC + SM AB (1.2) Mặt khác M A0 SM A0 B SM A0 C SM A0 B + SM A0 C SM BC = = = = MA SM AB SM AC SM AB + SM AC SM AC + SM AB −−→ ⇒ M A0 = − −−→ SM BC M A. SM AC + SM AB Từ (1.2) và (1.3) ta suy ra hệ thức Jacobi. Chứng minh hệ thức (1.1). Ta có SJAB p − b SJAB p−a = , = . SJAC p − c SJBC p−c Vậy, SJAB (p − c) = SJAC (p − b) = SJBC (p − a) = T. (1.3) 8 Suy ra SJBC x= = SABC T p−a + T p−a T p−b + T p−c = 1 p−a + 1 p−a 1 p−b + 1 p−c 1 p−b + + 1 . p−c Tương tự, y= 1 p−a + 1 p−b 1 p−b + 1 , p−c z= 1 p−a 1 . p−c Áp dụng bổ đề trên ta suy ra điều phải chứng minh. 1.1.2 Điểm Nagel Mệnh đề 1.1.2.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp đồng quy tại một điểm. Hình 1.2: Điểm Nagel Chứng minh. Ký hiệu các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB. Điểm F 0 là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài. Ta có F A = AF 0 = BF 0 − BA = p − c. Tương tự, F C = p − a, KC = p − b, KB = p − c, LB = p − a, LA = p − b nên F A KC LB F A KC LB (p − c)(p − b)(p − a) . . =− . . =− = −1. F C KB LA (p − a)(p − c)(p − b) F C KB LA Theo định lý Céva, các đường thẳng AK, BF, CL đồng quy tại một điểm. Ta ký hiệu điểm đó là điểm N . 9 Định nghĩa 1.1.2.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp được gọi là điểm Nagel. Chú ý 1.1.2.3. Mỗi đường thẳng AK, BL, CF chia chu vi tam giác làm đôi. Thật vậy, AC + CK = b + (p − b) = p, CB + BL = a + (p − a) = p, BA + AF = c + (p − c) = p. Mệnh đề 1.1.2.4. Điểm Nagel N thỏa mãn hệ thức −−→ −−→ −−→ (p − a)N A + (p − b)N B + (p − c)N C = ~0. (1.4) Chứng minh. Áp dụng Jacobi tương tự như điểm Gergaune.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh sách hình vẽ iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 Các điểm và đường đặc biệt trong 1.1 Các điểm đặc biệt loại một . . . . 1.1.1 Điểm Gergaune . . . . . . 1.1.2 Điểm Nagel . . . . . . . . 1.1.3 Điểm Lemoine . . . . . . . 1.1.4 Tâm Euler . . . . . . . . . 1.2 Các điểm đặc biệt loại hai . . . . 1.2.1 Điểm Schiffler . . . . . . . 1.2.2 Điểm Engiabech . . . . . . 1.2.3 Điểm Feuerbach . . . . . 1.2.4 Điểm Brocard . . . . . . . 1.2.5 Điểm Fermat-Torricelli . . 1 tam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt 2.1 Các hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại 2.1.1 Phương pháp Van Aubel . . . . . . . . 2.1.2 Phương pháp Stewart . . . . . . . . . . 2.1.3 Phương pháp Leibnitz . . . . . . . . . 2.1.4 Phương pháp véc tơ . . . . . . . . . . 2.1.5 Phương pháp tổ hợp các hệ thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 8 9 10 16 16 19 24 26 30 . . . . . . 35 35 36 38 41 45 55 ii 2.2 2.3 Một số hệ thức liên hệ giữa các điểm đặc biệt loại hai 2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach . . . . 2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad . . . . . 2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Hình thành các bất đẳng thức trong tam giác 2.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r và p . . . 2.3.3 Ứng dụng vào giải các bài toán đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 60 62 63 63 66 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ Stt Hình Nội dung .............................. Trang 1. Hình 1.1 Điểm Gergaune 6 2. Hình 1.2 Điểm Nagel 8 3. Hình 1.3 Tâm Euler 11 4. Hình 1.4 Tính chất i. (Euler) 12 5. Hình 1.5 Tính chất ii. (Euler) 13 6. Hình 1.6 Tính chất iii. (Euler) 13 7. Hình 1.7 Điểm Feuerbach 14 8. Hình 1.8 Điểm Schiffler 17 9. Hình 1.9 Tính chất 1.2.1.4 19 10. Hình 1.10 Tính chất 1.2.2.2 20 11. Hình 1.11 Tính chất 1.2.2.3 21 12. Hình 1.12 Tính chất 1.2.2.6 22 13. Hình 1.13 Chú ý 23 14. Hình 1.14 Tính chất 1.2.3.2 25 15. Hình 1.15 Điểm Brocard 26 16. Hình 1.16 Tính góc Brocard 30 17. Hình 1.17 Điểm Fermat – Torricelli 32 18. Hình 2.1 Định lý Van Aubel 37 19. Hình 2.2 Định lý Steiwart 38 20. Hình 2.3 Khoảng cách OG 39 21. Hình 2.4 Khoảng cách IG 40 22. Hình 2.5 Công thức Leibnitz 41 23. Hình 2.6 Ứng dụng điểm Brocard 69 24. Hình 2.7 Ứng dụng điểm Fermat – Torricelli 70 iv DANH SÁCH KÝ HIỆU Stt Ký hiệu Nội dung............................... Trang 1. G Trọng tâm tam giác 39 2. H Trực tâm 45 3. O Tâm ngoại tiếp 39 4. I Tâm nội tiếp 40 5. OA , OB , OC Tâm bàng tiếp 4 11. O9 Tâm Euler 10 6. J Điểm Gergaune 6 7. N Điểm Nagel 8 8. L Điểm Lemoine 9 9. S Điểm Schiffler 16 10. E Điểm Engiabech 19 11. F Điểm Feuerbach 24 12. Z Điểm Brocard 26 13. X Điểm Fermat 30 1 Lời nói đầu Các điểm đặc biệt, các đường thẳng đặc biệt của tam giác là đề tài gây hứng thú từ lâu đối với các nhà toán học bởi vì chính chúng có nhiều tính chất hình học đẹp đẽ, được phát triển thành bộ phận quan trọng trong "Hình học tam giác". Tính đến 3/09/2015, số điểm đặc biệt trong tam giác được phát hiện đã lên tới hơn 8000 điểm, mang ký hiệu X(i), i = 1, ..., 8000 (theo "Bách khoa toàn thư các tâm tam giác"). Luận văn chỉ hạn chế nghiên cứu một một số điểm đặc biệt và ứng dụng của chúng để có được các hệ thức Hình học mới. Để tiện cho cách trình bày chúng tui tạm chia thành 2 loại điểm đặc biệt: Điểm đặc biệt loại 1 gồm các điểm quen thuộc như trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, các tâm bàng tiếp, tâm Euler, điểm Gergaune, điểm Nagel, điểm Lemoine. Điểm đặc biệt loại 2 gồm các điểm Schiffler, điểm Engiabech, điểm Feurbach, điểm Fermat (hay gọi là điểm Torricenlli). Theo chúng tui với những điểm đặc biệt như vậy cũng đã đủ trình bày các tính chất phong phú và các hệ thức Hình học mới trong tam giác. Nhiều điểm ở đây đã được nói đến trong các cuốn sách, chẳng hạn [1], [2], [9], [7]. Tuy nhiên các tài liệu này trình bày vẫn chưa đầy đủ, vả lại các phép chứng minh của chúng tui đi theo hướng khác, cách khai thác tìm ra các hệ thức hình học được làm theo những phương pháp mới, hiệu quả. Các ứng dụng của các hệ thức, các tính chất vào các bài toán bất đẳng thức, giải phương trình góp phần làm phong phú nội dung của Luận văn. Đó cũng là những điểm mới của luận văn. 2 Mục đích của đề tài là: 1. Nhắc lại và bổ sung các điểm đặc biệt trong tam giác theo cấu trúc mỗi điểm được trình bày cơ sở định nghĩa, định nghĩa, các tính chất và ứng dụng. Nội dung này được chia làm hai phần: Các điểm loại 1 và các điểm loại 2. 2. Khai thác, phát hiện ra các hệ thức Hình học mới bằng các phương pháp: phương pháp Van Aubel, phương pháp Stewart, phương pháp Leibnitz, phương pháp tổ hợp các hệ thức. 3. Bước đầu nêu một số ứng dụng của các điểm đặc biệt và các hệ thức tìm được để giải các bài toán về bất đẳng thức, các đánh giá liên quan đến R, r, p và đặc biệt ứng dụng để giải các bài toán đại số. Phạm vi của đề tài là xét một số các điểm đặc biệt trong tam giác, nghiên cứu các tính chất hình học của chúng, đặc biệt chú ý đến các bài toán thi học sinh giỏi, thi Olympic trong nước và Quốc tế, các bài thi vào Trung học phổ thông chuyên và các đề thi Đại học. Ngoài phần mở đầu và danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn được chia làm hai chương. Chương 1 dành để trình bày các điểm đặc biệt trong tam giác, chia làm hai loại điểm đặc biệt. Trình bày chi tiết các tính chất của mỗi điểm. Chương 2 với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến các điểm đặc biệt" giới thiệu các hệ thức Hình học mới được phát hiện bằng các phương pháp hiệu quả như đã nói ở trên. Các bài toán bổ sung với số lượng đáng kể cũng góp phần làm cho nội dung luận văn thêm phong phú. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tui luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. tui xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tui đối với những điều thầy đã dành cho tôi. tui xin chân thành Thank ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến 3 thức quý báu,tạo mọi điều kiện cho tui hoàn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp. tui xin gửi lời Thank chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tui trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016 Học viên Nguyễn Thu Hằng 4 Chương 1 Các điểm và đường đặc biệt trong tam giác 1.1 Các điểm đặc biệt loại một Ngoài các điểm đặc biệt quen biết trong tam giác như trọng tâm G là giao 3 đường trung tuyến, trực tâm H là giao 3 đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm ngoại tiếp), tâm đường tròn nội tiếp (tâm nội tiếp) ta xét thêm các điểm đặc biệt khác: các tâm bàng tiếp OA , OB , OC , điểm Gergaune J, điểm Nagel N , điểm Lemoine L và tâm Euler O9 , mà ta sẽ gọi chung là các điểm đặc biệt loại 1. Các đường đặc biệt sẽ được giới thiệu cùng với các điểm có liên quan. Nhắc lại về tâm các đường tròn bàng tiếp: Các phân giác của hai góc ngoài một tam giác cắt nhau trên phân giác trong của góc thứ ba. Giao điểm của hai phân giác các góc ngoài và phân giác trong của góc thứ ba là tâm đường tròn tiếp xúc một cạnh của tam giác và các đường kéo dài của 2 cạnh kia. Đường tròn đó gọi là đường tròn bàng tiếp. Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. Ta ký hiệu là các đường tròn (Oa , ρa ), (Ob , ρb ), (Oc , ρc ) lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c của tam giác. Ta có SABC = SABOa + SACOa − SBCOa = = ρa (h + c − a) = ρa (p − a) 2 c.ρa b.ρa a.ρa + − 2 2 2 5 với p là nửa chu vi tam giác ABC. Vậy ρa = ρb = S , p−b ρc = S . Tương tự như vậy, p−a S . p−c Tính chất 1.1.1. (Liên hệ giữa các bán kính) i. Tích các bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp bằng bình phương 2 = rρa ρb ρc . diện tích tam giác: SABC ii. Tổng các nghịch đảo các bán kính đường tròn bàng tiếp bằng nghịch 1 1 1 1 đảo bán kính đường tròn nội tiếp: = + + . r ρ a ρb ρc Chứng minh. i. Ta đã biết SABC = pr. Theo lưu ý ở trên SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC = ρc (p − c). Ta suy ra S 4 = pr.ρa (p − a).ρb (p − b).ρc (p − c) = S 2 .r.ρa .ρb .ρc . 2 Từ đó suy ra SABC = rρa ρb ρc . ii. Cũng từ SABC = pr, SABC = ρa (p − a), SABC = ρb (p − b), SABC = ρc (p − c) ta suy ra 1 p 1 p−a 1 p−b 1 p−c = , = , = , = . r S ρa S ρb S ρc S Sau khi cộng các đẳng thức vế với vế 1 1 1 1 = + + . r ρa ρb ρ c Tính chất 1.1.2. Đoạn thẳng từ đỉnh tam giác đến các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp bằng nửa chu vi tam giác. Chứng minh. Ta có AN = AB + BN = c + BK, AP = AC + CP = b + KC. Vì AN = AP nên 2AN = b + c + BK + KC = b + c + a = 2p. Suy ra AN = p. 6 Bài toán 1.1.3. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, cạnh huyền c ta có các hệ thức i. ρc = r + ρa + ρb , ρa .ρb . ii. r = ρc Bài toán 1.1.4. Chứng minh rằng trong tam giác vuông các bán kính ab ρa , ρb là nghiệm của tam thức f (x) = x2 − cx + . 2 a.ρb ρc Bài toán 1.1.5. Chứng minh đẳng thức SABC = . ρ b + ρc Sau đây ta sẽ nói về các điểm đặc biệt khác trong tam giác cùng các tính chất của chúng. 1.1.1 Điểm Gergaune Ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.1.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp đồng quy tại một điểm. Hình 1.1: Điểm Gergaune Chứng minh. Gọi A0 , B 0 , C 0 là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp. Ta có đẳng thức sau A0 B B 0 C C 0 A p−b p−c p−a · · = − · · = −1. p−c p−a p−b A0 C B 0 A C 0 B 7 Theo định lý Céva, 3 đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy. Định nghĩa 1.1.1.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp được gọi là điểm Gergaune, ký hiệu đó là điểm J. Mệnh đề 1.1.1.3. Điểm Gergaune thỏa mãn hệ thức sau −→ −→ −→ (p − b)(p − c)JA + (p − c)(p − a)JB + (p − a)(p − b)JC = ~0. (1.1) Chứng minh. Trước hết ta có bổ đề: Tam giác ABC, với mọi điểm M SM AC SM AB SM BC ,y = ,z = . Khi đó x + y + z = 1 và ta đặt x = SABC SABC SABC −−→ −−→ −−→ xM A + y M B + z M C = ~0 (hệ thức Jacobi). Thật vây, gọi A0 là giao điểm của M A và BC. Từ tính chất của tỷ −−→ A0 C −−→ A0 B −−→ lệ thức M A0 = MB + M C. Nhưng do tính chất của tỷ số diện BC BC tích và tỷ lệ thức A0 C SM A0 C SM AC A0 B SM BC = = ⇒ = A0 B SM A0 B SM AB BC SM AC + SM AB −−→ ⇒ M A0 = −−→ −−→ SM AC SM AB .M B + .M C. SM AC + SM AB SM AC + SM AB (1.2) Mặt khác M A0 SM A0 B SM A0 C SM A0 B + SM A0 C SM BC = = = = MA SM AB SM AC SM AB + SM AC SM AC + SM AB −−→ ⇒ M A0 = − −−→ SM BC M A. SM AC + SM AB Từ (1.2) và (1.3) ta suy ra hệ thức Jacobi. Chứng minh hệ thức (1.1). Ta có SJAB p − b SJAB p−a = , = . SJAC p − c SJBC p−c Vậy, SJAB (p − c) = SJAC (p − b) = SJBC (p − a) = T. (1.3) 8 Suy ra SJBC x= = SABC T p−a + T p−a T p−b + T p−c = 1 p−a + 1 p−a 1 p−b + 1 p−c 1 p−b + + 1 . p−c Tương tự, y= 1 p−a + 1 p−b 1 p−b + 1 , p−c z= 1 p−a 1 . p−c Áp dụng bổ đề trên ta suy ra điều phải chứng minh. 1.1.2 Điểm Nagel Mệnh đề 1.1.2.1. Các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp đồng quy tại một điểm. Hình 1.2: Điểm Nagel Chứng minh. Ký hiệu các tiếp điểm là K ∈ BC, F ∈ AC, L ∈ AB. Điểm F 0 là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B với cạnh AB kéo dài. Ta có F A = AF 0 = BF 0 − BA = p − c. Tương tự, F C = p − a, KC = p − b, KB = p − c, LB = p − a, LA = p − b nên F A KC LB F A KC LB (p − c)(p − b)(p − a) . . =− . . =− = −1. F C KB LA (p − a)(p − c)(p − b) F C KB LA Theo định lý Céva, các đường thẳng AK, BF, CL đồng quy tại một điểm. Ta ký hiệu điểm đó là điểm N . 9 Định nghĩa 1.1.2.2. Điểm là giao của các đường thẳng nối các đỉnh tam giác với các tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp được gọi là điểm Nagel. Chú ý 1.1.2.3. Mỗi đường thẳng AK, BL, CF chia chu vi tam giác làm đôi. Thật vậy, AC + CK = b + (p − b) = p, CB + BL = a + (p − a) = p, BA + AF = c + (p − c) = p. Mệnh đề 1.1.2.4. Điểm Nagel N thỏa mãn hệ thức −−→ −−→ −−→ (p − a)N A + (p − b)N B + (p − c)N C = ~0. (1.4) Chứng minh. Áp dụng Jacobi tương tự như điểm Gergaune.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links