Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE THƯỜNG GẶP
Mở đầu
Phương trình Diophante nó có vai trò quan trọng trong toán học và trong thực tế, kiến thức về vấn đề này rất rộng; nó đã được các nhà toán học trên thế giới và trong nước nghiên cứu rất lâu; để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường và giúp các em tiếp cận các phương trình Diophante với nhiều cách khác nhau, tui muốn khai thác một phần nhỏ về :” Các dạng phương trình Diophante thường gặp”, đây là những dạng phương trình thường có trong đề thi của các kỳ thi học sinh giỏi và nó rất sát thực với học sinh phổ thông. Trong chuyên đề này tui chia làm hai phần:
Chương I: Các dạng phương trình Diophante thường gặp
Chương II: Bài tập áp dụng.
Ở chương I, tui chỉ tóm tắt các dạng phương trình và cách giải, chấp nhận các định lý, không đi sâu vào chứng minh vì đa số các định lý này đã được thể hiện nhiều trong các tài liệu. Chương II chúng tui nghiên cứu một số bài tập liên quan đến chương I và cách giải.
Do thời gian cũng có hạn, chuyên đề không tránh khỏi sự sai sót, vậy mong các bạn tham khảo và góp ý thêm.
Chương 1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE THƯỜNG GẶP.
I.Phương trình diophante bậc nhất:
1.1.Phương trình diophante bậc nhất hai ẩn:
1.1.1. Định nghĩa 1.1: Phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax+by=c (1.1);
với a, b, c là các số nguyên; x, y là hai ẩn số nguyên của phương trình.
- Mỗi cặp số , thỏa mãn đẳng thức (1.1) được gọi là một nghiệm của phương trình.
- Giải phương trình (1.1) tức là tìm các cặp số , thỏa mãn đẳng thức (1.1).
1.1.2. Định lý 1.1: Giả sử Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.1) có nghiệm nguyên là d chia hết c.
1.1.3. Định lý 1.2: Nếu trong phương trình (1.1) các hệ số a,b nguyên tố cùng nhau và là một nghiệm thì tất cả các nghiệm của phương trình có dạng: ( )
1.1.4 Định lý 1.3: Nếu c=(a,b) và hay khác 1 thì nghiệm là nghiệm của phương trình (1.1) sẽ tìm được với và
1.2. Phương trình diophante bậc nhất nhiều ẩn:
1.2.1. Định nghĩa 1.2: Phương trình Diophante bậc nhất nhiều ẩn là phương trình có dạng: (1.2)
1.2.2 Định lý 1.4: Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.2) có ít nhất một nghiệm nguyên là .
1.2.3. Cách giải phương trình (1.2)
Đưa phương trình (1.2) về một trong hai dạng sau:
a) Có một hệ số của một ẩn bằng 1: Giả sử , khi đó:
; nghiệm của phương trình (1.2) là:
b) Có hai hệ số nguyên tố cùng nhau: Giả sử ; khi đó phương trình (1.2)
Giải phương trinh theo hai ẩn
2. Phương trình diophante bậc hai hai ẩn:
2.1 Phương trình dạng :
2.1.1. Định nghĩa 2.1: Dạng chung của phương trình Diophante bậc hai, hai ẩn số x và y là: (2.1)
Trong đó a,b,c,d,e,f là những số nguyên và ít nhất một trong các số a,b,c khác không.
* Nhận xét: Khi phương trình (2.1) có thể đưa về dạng đơn giản: (2.2). Thật vậy, ta đưa vào hai ẩn mới p, q bằng cách đặt (2.3)
Thay x; y vào (2.1) và sau khi biến đổi ta nhân được phương trình:
(2.4)
Với
Từ (2.3) ta có:
Từ đây mọi nghiệm nguyên của phương trình (2.1) tương ứng với nghiệm nguyên của phương trình (2.4). Nếu ta biết được ngiệm nguyên của phương trình (2.4) thì suy ra nghiệm x, y của (2.1) thông qua công thức của (2.3).
Vế trái của (2.4) dạng được gọi là dạng toàn phương của hai biến p, q. Chúng tui chỉ nghiên cứu giải phương trình vô định hai ẩn bậc hai ở dạng toàn phương .
2.1.2 Phép biến đổi dạng toàn phương:
Cho dạng toàn phương ; a,b,c
Số gọi là định thức của dạng toàn phương, ta đổi biến số x, y bằng những biến p, q theo công thức sau:
(2.5)
Ở đây những hệ số là những số nguyên.
Ta nhận được
ở đây
(2.6)
Đẳng thức (2.5) gọi là phép biến đổi. Ta nói rằng dạng toàn phương f(x,y) được biến đổi thành dạng toàn phương thông qua công thức (2.5)
Số gọi là môđun của biến đổi (2.5). Ta đi tìm định thức của dạng toàn phương đã biến đổi .
Ta có:
Sau khi rút gọn ta được:
(2.7)
Đẳng thức (2.7) chỉ ra rằng sự chuyển đổi từ dạng toàn phương này sang dạng toàn phương khác, trong đẳng thức có chứa bình phương của môdun chuyển đổi.
Nếu bình phương của môđun chuyển đổi của (2.7) bằng 1 thì dạng toàn phương đã cho f(x,y) và dạng toàn phương chuyển đổi có cùng một định thức suy ra từ (2.7).
Bằng cách kiểm tra liên tiếp dễ thấy rằng trong trường hợp này dạng biến thành dạng thông qua sự biến đổi , với bình phương modun của nó ta có ; trong trường hợp này hai dạng toàn phương gọi là tương đương. Vậy: Hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau, khi từ dạng thứ nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, và ngược lại đều thông qua một phép biến đổi với hệ số nguyên.
Nếu thì phép biến đổi (2.5) còn gọi là phép biến đổi riêng, còn nếu thì phép biến đổi không riêng. Tổng quát, phép biến đổi (2.5) gọi là riêng nếu , và không riêng nếu .
Nếu một dạng toàn phương f(x,y) bao hàm dạng toàn phương thông qua phép biến đổi riêng thì ta nói rằng f(x,y) bao hàm riêng dạng , còn ngược lại không bao hàm riêng.
Nếu f(x,y) bao hàm riêng và ngược lại khi đó những dạng toàn phương f(x,y) và gọi là tương đương riêng. Nếu chỉ có một bao hàm không riêng thì gọi chúng là tương đương không riêng.
2.1.3 Biểu diển số nguyên theo dạng toàn phương:
Nếu , ở đây là những số nguyên, ta nói rằng số nguyên m biểu diễn thông qua dạng toàn phương .
2.1.3.1 Nhận xét:
1. Nếu m=0 ta có phương trình , ta giải phương trình theo ẩn x tìm được
Ta suy ra, trong tường hợp này phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi định thức là số dương và là số chính phương.
2. Nếu , ta giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng , như là đẳng thức , ở đây là những nguyên tố cùng nhau.
Khi nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số h, k sao cho .
Từ đó suy ra:
Ta viết lại: với
Từ đây suy ra nếu số m biểu diễn thành dạng toàn phương khi với , thì phải tồn tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó và định thức của dạng toàn phương chia hết cho m. Trong trường hợp này ta nói rằng định thức là số dư của bình phương V đối với m. Tóm lại số R gọi là số dư của bình phương một số X đối với số M , nếu hiệu chia hết cho m.
2.1.3.2.Mệnh đề 2.1: Theo định nghĩa trên R là số dư của bình phương mọi số dạng X+kM,
2.1.4. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương biến đổi:
Cho dạng toàn phương bao hàm dạng thông qua phép biến đổi
: là những số nguyên)
Nếu phương trình vô định ; có nghiệm , thì dễ thấy những số ; sẽ là một nghiệm nguyên của phương trình vô định , ta có mệnh đề sau:
2.1.4.1. Mệnh đề 2.2: Nếu một số nguyên biểu diễn thông qua một dạng toàn phương đã cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn phương đã cho.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE THƯỜNG GẶP
Mở đầu
Phương trình Diophante nó có vai trò quan trọng trong toán học và trong thực tế, kiến thức về vấn đề này rất rộng; nó đã được các nhà toán học trên thế giới và trong nước nghiên cứu rất lâu; để góp phần vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường và giúp các em tiếp cận các phương trình Diophante với nhiều cách khác nhau, tui muốn khai thác một phần nhỏ về :” Các dạng phương trình Diophante thường gặp”, đây là những dạng phương trình thường có trong đề thi của các kỳ thi học sinh giỏi và nó rất sát thực với học sinh phổ thông. Trong chuyên đề này tui chia làm hai phần:
Chương I: Các dạng phương trình Diophante thường gặp
Chương II: Bài tập áp dụng.
Ở chương I, tui chỉ tóm tắt các dạng phương trình và cách giải, chấp nhận các định lý, không đi sâu vào chứng minh vì đa số các định lý này đã được thể hiện nhiều trong các tài liệu. Chương II chúng tui nghiên cứu một số bài tập liên quan đến chương I và cách giải.
Do thời gian cũng có hạn, chuyên đề không tránh khỏi sự sai sót, vậy mong các bạn tham khảo và góp ý thêm.
Chương 1
CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE THƯỜNG GẶP.
I.Phương trình diophante bậc nhất:
1.1.Phương trình diophante bậc nhất hai ẩn:
1.1.1. Định nghĩa 1.1: Phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng: ax+by=c (1.1);
với a, b, c là các số nguyên; x, y là hai ẩn số nguyên của phương trình.
- Mỗi cặp số , thỏa mãn đẳng thức (1.1) được gọi là một nghiệm của phương trình.
- Giải phương trình (1.1) tức là tìm các cặp số , thỏa mãn đẳng thức (1.1).
1.1.2. Định lý 1.1: Giả sử Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.1) có nghiệm nguyên là d chia hết c.
1.1.3. Định lý 1.2: Nếu trong phương trình (1.1) các hệ số a,b nguyên tố cùng nhau và là một nghiệm thì tất cả các nghiệm của phương trình có dạng: ( )
1.1.4 Định lý 1.3: Nếu c=(a,b) và hay khác 1 thì nghiệm là nghiệm của phương trình (1.1) sẽ tìm được với và
1.2. Phương trình diophante bậc nhất nhiều ẩn:
1.2.1. Định nghĩa 1.2: Phương trình Diophante bậc nhất nhiều ẩn là phương trình có dạng: (1.2)
1.2.2 Định lý 1.4: Điều kiện cần và đủ để phương trình (1.2) có ít nhất một nghiệm nguyên là .
1.2.3. Cách giải phương trình (1.2)
Đưa phương trình (1.2) về một trong hai dạng sau:
a) Có một hệ số của một ẩn bằng 1: Giả sử , khi đó:
; nghiệm của phương trình (1.2) là:
b) Có hai hệ số nguyên tố cùng nhau: Giả sử ; khi đó phương trình (1.2)
Giải phương trinh theo hai ẩn
2. Phương trình diophante bậc hai hai ẩn:
2.1 Phương trình dạng :
2.1.1. Định nghĩa 2.1: Dạng chung của phương trình Diophante bậc hai, hai ẩn số x và y là: (2.1)
Trong đó a,b,c,d,e,f là những số nguyên và ít nhất một trong các số a,b,c khác không.
* Nhận xét: Khi phương trình (2.1) có thể đưa về dạng đơn giản: (2.2). Thật vậy, ta đưa vào hai ẩn mới p, q bằng cách đặt (2.3)
Thay x; y vào (2.1) và sau khi biến đổi ta nhân được phương trình:
(2.4)
Với
Từ (2.3) ta có:
Từ đây mọi nghiệm nguyên của phương trình (2.1) tương ứng với nghiệm nguyên của phương trình (2.4). Nếu ta biết được ngiệm nguyên của phương trình (2.4) thì suy ra nghiệm x, y của (2.1) thông qua công thức của (2.3).
Vế trái của (2.4) dạng được gọi là dạng toàn phương của hai biến p, q. Chúng tui chỉ nghiên cứu giải phương trình vô định hai ẩn bậc hai ở dạng toàn phương .
2.1.2 Phép biến đổi dạng toàn phương:
Cho dạng toàn phương ; a,b,c
Số gọi là định thức của dạng toàn phương, ta đổi biến số x, y bằng những biến p, q theo công thức sau:
(2.5)
Ở đây những hệ số là những số nguyên.
Ta nhận được
ở đây
(2.6)
Đẳng thức (2.5) gọi là phép biến đổi. Ta nói rằng dạng toàn phương f(x,y) được biến đổi thành dạng toàn phương thông qua công thức (2.5)
Số gọi là môđun của biến đổi (2.5). Ta đi tìm định thức của dạng toàn phương đã biến đổi .
Ta có:
Sau khi rút gọn ta được:
(2.7)
Đẳng thức (2.7) chỉ ra rằng sự chuyển đổi từ dạng toàn phương này sang dạng toàn phương khác, trong đẳng thức có chứa bình phương của môdun chuyển đổi.
Nếu bình phương của môđun chuyển đổi của (2.7) bằng 1 thì dạng toàn phương đã cho f(x,y) và dạng toàn phương chuyển đổi có cùng một định thức suy ra từ (2.7).
Bằng cách kiểm tra liên tiếp dễ thấy rằng trong trường hợp này dạng biến thành dạng thông qua sự biến đổi , với bình phương modun của nó ta có ; trong trường hợp này hai dạng toàn phương gọi là tương đương. Vậy: Hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau, khi từ dạng thứ nhất chuyển đổi sang dạng thứ hai, và ngược lại đều thông qua một phép biến đổi với hệ số nguyên.
Nếu thì phép biến đổi (2.5) còn gọi là phép biến đổi riêng, còn nếu thì phép biến đổi không riêng. Tổng quát, phép biến đổi (2.5) gọi là riêng nếu , và không riêng nếu .
Nếu một dạng toàn phương f(x,y) bao hàm dạng toàn phương thông qua phép biến đổi riêng thì ta nói rằng f(x,y) bao hàm riêng dạng , còn ngược lại không bao hàm riêng.
Nếu f(x,y) bao hàm riêng và ngược lại khi đó những dạng toàn phương f(x,y) và gọi là tương đương riêng. Nếu chỉ có một bao hàm không riêng thì gọi chúng là tương đương không riêng.
2.1.3 Biểu diển số nguyên theo dạng toàn phương:
Nếu , ở đây là những số nguyên, ta nói rằng số nguyên m biểu diễn thông qua dạng toàn phương .
2.1.3.1 Nhận xét:
1. Nếu m=0 ta có phương trình , ta giải phương trình theo ẩn x tìm được
Ta suy ra, trong tường hợp này phương trình có nghiệm nguyên khi và chỉ khi định thức là số dương và là số chính phương.
2. Nếu , ta giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng , như là đẳng thức , ở đây là những nguyên tố cùng nhau.
Khi nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số h, k sao cho .
Từ đó suy ra:
Ta viết lại: với
Từ đây suy ra nếu số m biểu diễn thành dạng toàn phương khi với , thì phải tồn tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó và định thức của dạng toàn phương chia hết cho m. Trong trường hợp này ta nói rằng định thức là số dư của bình phương V đối với m. Tóm lại số R gọi là số dư của bình phương một số X đối với số M , nếu hiệu chia hết cho m.
2.1.3.2.Mệnh đề 2.1: Theo định nghĩa trên R là số dư của bình phương mọi số dạng X+kM,
2.1.4. Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương biến đổi:
Cho dạng toàn phương bao hàm dạng thông qua phép biến đổi
: là những số nguyên)
Nếu phương trình vô định ; có nghiệm , thì dễ thấy những số ; sẽ là một nghiệm nguyên của phương trình vô định , ta có mệnh đề sau:
2.1.4.1. Mệnh đề 2.2: Nếu một số nguyên biểu diễn thông qua một dạng toàn phương đã cho thì nó cũng biểu diễn thông qua mọi dạng toàn phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng toàn phương đã cho.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links