daigai

Well-Known Member
Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN


1 Giới hạn dãy số

1.1 Dãy số

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên

Với , thay cho ký hiệu


ta thường dùng ký hiệu hay

Định nghĩa 1.2. Cho dãy
Dãy được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nếu
Dãy được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu
Dãy được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu Dãy được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu
Nhận xét.
Nếu thì
Nếu thì
Nếu thì . Và nếu thì
Nếu hai dãy dương cùng tăng (giảm) thì tăng (giảm).
Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số .
Dãy được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số sao cho
Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số sao cho
Dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.
Định lí 1.1. Dãy bị chặn khi và chỉ khi tồn tại ghằng số sao cho

1.2 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.4. Dãy số được gọi là hội tụ về , ký hiệu , nếu với mọi cho trước tùy ý, tìm được chỉ số sao cho với mọi đều có
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng

1.
2.
3.
Định lí 1.2. (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Định lí 1.3. (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho và . Khi đó
Nếu thì
Nếu thì
Định lí 1.4. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho và . Khi đó
Nếu thì
Nếu thì
Định lí 1.5. (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số thỏa mãn

các dãy cùng hội tụ đến
Khi đó dãy hội tụ và
Định lí 1.6. (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ và . Khi đó
Dãy hội tụ và
Dãy hội tụ và
Dãy hội tụ và
Dãy hội tụ và
Dãy hội tụ và
Dãy hội tụ và
Với thì dãy được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và
Với thì dãy được xác định từ một chỉ số nào đó, hội tụ và
Ví dụ 1.2. Tìm các giới hạn sau






1.3 Dấu hiệu hội tụ của dãy số

1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass

Định lí 1.7. Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Ví dụ 1.3. Cho các dãy số được xác định như sau

Chứng minh rằng các dãy số hội tụ và .

Lời giải. Ta xét hai trường hợp sau:
(i) Nếu thì bằng quy nạp ta chỉ ra được dãy là dãy giảm bị chặn dưới bởi , còn dãy là dãy tăng bị chặn trên bởi . Do đó theo định lý 1.7 tồn tại và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được .
(ii) Nếu tương tự như trường hợp (i).

Ví dụ 1.4. Cho dãy số được xác định như sau
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải. Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý 1.7 ta có tồn tại . Từ đẳng thức chuyển qua giới hạn ta được nhưng do nên chỉ lấy . Vậy .

Bài tập tương tự

Bài tập 1.5. Cho dãy số xác định bởi Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tìm .
Bài tập 1.6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện
.
Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.7. (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau:
với mọi và .
Khi đó tồn tại số thực sao cho và .
Bài tập 1.8. (VMO 2005). Cho dãy số thực được xác định bởi:
và với
trong đó là một số thực thuộc đoạn .
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.9. (VMO 2002B). Xét phương trình
,
trong đó là tham số nguyên dương.
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương , phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm trong khoảng ; kí hiệu nghiệm đó là .
2. Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi .
Bài tập 1.10. Cho số thực . Cho dãy số , được xác định bởi:
và với mọi .
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi và tính giới hạn đó.

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Định nghĩa 1.5. Dãy được gọi là dãy Cauchy nếu thỏa mãn điều kiện


Link Download bản DOC
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link tải, không dùng IDM để tải:

 

Các chủ đề có liên quan khác

Top