Link tải luận văn miễn phí cho ae Kết Nối
Tích phân bội
4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn................................................................ 133
4.1.1. Khái niệm...................................................................................................................... 133
4.1.2. Các thí dụ ...................................................................................................................... 137
4.1.3. Các tính chất ban đầu .................................................................................................... 139
4.2. Sự tồn tại tích phân. Tích phân trên tập bất kỳ .............................................................. 140
4.2.1. Hàm bậc thang và sự tồn tại của tích phân.................................................................... 140
4.2.2. Tích phân trên tập bất kỳ............................................................................................... 142
4.2.3. Tính khả tích của hàm liên tục ...................................................................................... 148
4.2.4. ý nghĩa của tích phân bội .............................................................................................. 150
4.3. Tích phân lặp ................................................................................................................ 152
4.3.1. Định lý Fubini ............................................................................................................... 152
4.3.2. Các hệ quả quan trọng................................................................................................... 156
4.4. Phép đổi biến trong tích phân bội............................................................................... 159
4.4.1. Phân hoạch đơn vị và bổ đề cơ bản............................................................................... 159
4.4.2. Phép đổi biến trong tích phân bội ................................................................................. 162
4.4.3. Một vài thí dụ................................................................................................................ 168
4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn
4.1.1. Khái niệm
Hộp đóng trong không gian Rn là tập hợp có dạng sau đây
B := { ( , ,... ) x1 2 x xn ∈ Rn : , 1,2,..., a x b i n i i i ≤ ≤ = },
trong đó a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,... n n là những số cố định với a b i n i i ≤ , 1,..., = . Khi ấy
ta có thể nói hộp đóng B được xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n , và cũng
có thể nói các số này xác định hộp đóng B. Nếu có chỉ số i sao cho a b i i = thì ta
nói hộp đóng B là suy biến; trong trường hợp trái lại, hộp đóng B không suy
biến.134 Giải tích các hàm nhiều biến
Các đoạn [ , ], 1,2,..., a b i n i i = được gọi là các cạnh sinh hộp đóng B, và đôi khi
ta viết
B a b a b a b = × × × [ , ] [ , ] ... [ , ] 1 1 2 2 n n .
Số ( ).( )...( ) b a b a b a 1 1 2 2 − − − n n được gọi là thể tích của hộp đóng và thường được
ký hiệu là V B ( ) hay vol(B). Như vậy, nếu hộp đóng suy biến thì thể tích bằng 0, và
hộp đóng không suy biến thì thể tích khác 0.
Khái niệm hộp mở được định nghĩa tương tự như hộp đóng bằng các thay các
dấu ≤ bởi các dấu <.
Trong phần này, để thuận tiện trong việc sử dụng các ký hiệu hình thức, ta quy
ước khoảng với 2 đầu mút trùng nhau là một điểm hay là khoảng có độ dài 0 (chứ
không phải là tập rỗng). Hộp mở được coi là không suy biến khi tất cả các cạnh của
nó là những khoảng thực sự trong R (tức là có 2 đầu mút phân biệt), và khi ấy
người ta thường gọi nó là phần trong (hay miền trong) của hộp đóng tương ứng.
Trong trường hợp ngược lại, tức là có chỉ số i sao cho a b i i = , thì ta nói hộp mở
là suy biến. Nếu hộp có đúng s cạnh không suy biến (tức là chỉ có n-s cạnh suy
biến thành điểm) thì ta gọi nó là hộp mở tương đối s chiều. Như vậy, hộp mở
không suy biến là hộp mở tương đối n chiều (hay đơn giản là hộp mở n chiều),
còn điểm là một hộp mở tương đối 0 chiều.
Trong không gian 1 chiều thì hộp đóng chính là đoạn, còn hộp mở là khoảng.
Thể tích của hộp [ , ] B a b = ⊂ R là độ dài của đoạn và bằng ( ) b a − .
Hộp trong không gian 2 chiều chính là hình chữ nhật. Thể tích của hộp
B a b a b = × [ , ] [ , ] 1 1 2 2 là diện tích hình chữ nhật và bằng ( )( ) b a b a 1 1 2 2 − − . Phần
trong của hình chữ nhật là tập B a b a b ′ = × ( , ) ( , ) 1 1 2 2 và là hộp mở 2 chiều. Các
cạnh hình chữ nhật không kể đỉnh (tức các tập { } a a b 1 2 2 ×( , ) ,{ } b a b 1 2 2 ×( , ) ,
( , ) a b a 1 1 2 ×{ } , ( , ) a b b 1 1 2 ×{ } ) là các hộp mở tương đối 1 chiều, còn các đỉnh của
hình chữ nhật là các hộp mở tương đối 0 chiều. Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói
trên là không giao nhau, và hợp của chúng đúng bằng hình chữ nhật (đóng) ban
đầu. Như vậy, người ta có được một cách “phân rã” hình chữ nhật đóng thành các
hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 2). Cách phân rã này được gọi là phân
rã chuẩn tắc.
Hộp trong không gian 3 chiều thì đúng là hộp theo ngôn ngữ thông thường và
thể tích của nó cũng chính là khái niệm đã được biết trong chương trình phổ thông.
Miền trong của hộp là một hộp mở 3 chiều, các mặt bao quanh hộp (không kể
cạnh) là các hộp mở tương đối 2 chiều, các cạnh của hộp (không kể đỉnh) là các
hộp mở tương đối 1 chiều, và các đỉnh của hộp là các hộp mở tương đối 0 chiều.
Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói trên cũng là không giao nhau, và hợp của chúng
đúng bằng hộp đóng ban đầu. Như vậy, ta cũng có cách “phân rã chuẩn tắc” một
hình hộp đóng 3 chiều thành các hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 3).
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 135
Tương tự như trên, với hộp n chiều B a b a b a b = × × × [ , ] [ , ] ... [ , ] 1 1 2 2 n n , người ta
có thể “phân rã chuẩn tắc” nó thành các hộp mở tương đối (với các số chiều khác
nhau, từ 0 đến n). Cụ thể, mỗi thành phần của phân rã này là một tập trong Rn có
dạng như sau:
{ } ( , ,..., ): , 1,2,..., x1 2 x x x Q i n n i i ∈ = ,
trong đó mỗi Qi chỉ có thể nhận 1 trong 3 khả năng: khoảng ( , ) a b i i , điểm{ } ai ,
hay điểm{ } bi . Số lượng các chỉ số i mà Qi không phải là điểm (mà là khoảng
thực sự) cũng chính là số chiều của thành phần này.
Định nghĩa. Phân hoạch P của một hộp đóng B xác định bởi a a a 1 2 , ,..., n ,
b b b 1 2 , ,..., n là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [ , ],[ , ],...,[ , ] a b a b a b 1 1 2 2 n n
trong R (theo nghĩa thông thường). Nghĩa là, nó gồm một họ n dãy số hữu hạn
1 1 1 1
a x x x x b 1 0 1 2 (1) 1 = < < < = ... k ;
2 2 2 2
a x x x x b 2 0 1 2 (2) 2 = < < < = ... k ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 1 2 ( ) ...
n n n n
a x x x x b n k n n = < < < = .
Bề rộng (hay đường kính) của phân hoạch này là một số, ký hiệu là d(P), xác định
như sau:
d P x x j k i i n ( ) : max{ : 1,2,..., ( ), 1,2,..., } = i i j j − −1 = = .
Như vậy một phân hoạch P của một hộp đóng B sẽ xác định một họ các hộp đóng
con ( ) P B gồm có (1). (2).... ( ) K = k k k n phần tử. Mỗi phần tử được xác định bởi n
cạnh sinh có dạng [ , ] , x x i i j j−1 với chỉ số i nằm giữa 1 và n, còn chỉ số j nằm
giữa 1 và k(i). Rõ ràng hợp của các hộp thuộc họ P( ) B sẽ đúng bằng B. Hai hộp
bất kỳ trong họ P( ) B không giao nhau ở miền trong của chúng.
Nếu ta tiến hành phân rã từng hộp con trong họ thành các hộp mở tương đối
(theo phương pháp phân rã chuẩn tắc) thì ta có được một họ các hộp mở tương đối
(với các số chiều khác nhau, từ 0 đến n), ký hiệu là PN ( ) B , và được gọi là họ các
hộp mở tương đối sinh bởi phân hoạch P. Có thể chỉ ra rằng mỗi tập trong họ
PN ( ) B có dạng
{ } ( , ,..., ): , 1,2,..., x1 2 x x x Q i n n i i ∈ = ,
trong đó Qi có thể là một trong các khoảng ( , ), 1,..., ( ) xi i j j −1 x j k i = , hay là một
trong các điểm { }, 0,1,..., ( ) xij j k i = .136 Giải tích các hàm nhiều biến
Thí dụ. Trong trường hợp n =1 thì hộp chính là một đoạn và phân hoạch của nó
là khái niệm mà ta đã quen biết trong trường hợp hàm 1 biến. Họ các hộp mở
tương đối sinh bởi phân hoạch là tập hợp bao gồm tất cả các khoảng và tất cả các
điểm (đâù mút các khoảng) có trong phân hoạch.
Trong trường hợp 2 n = thì một hộp 2 chiều chính là một hình chữ nhật, và
phân hoạch P của một hình chữ nhật J xác định bởi a a b b 1 2 1 2 , , , là một bộ gồm
2 phân hoạch của 2 cạnh sinh hộp [ , ] a b 1 1 và [ , ] a b 2 2 (theo nghĩa thông thường
trong R). Nghĩa là, nó gồm 2 dãy số hữu hạn
1 1 1 1
a x x x x b 1 0 1 2 (1) 1 = < < < = ... k ,
2 2 2 2
a x x x x b 2 0 1 2 (2) 2 = < < < = ... k ,
chia hình chữ nhật J thành các hình chữ nhật con, kiểu ABCD như trong hình vẽ
sau:
Họ các tập mở tương đối sinh bởi phân hoạch PN ( ) B là tập hợp bao gồm tất cả
các hình chữ nhật con mở (kiểu phần trong của ABCD), các “cạnh con hở” (kiểu
các cạnh AB, BC, CD, DA không kể đỉnh), và các đỉnh (kiểu A, B, C, D,...) .
Phân hoạch của một hộp trong không gian 3 chiều là một bộ gồm 3 phân
hoạch (của 3 cạnh sinh hộp), và chúng chia hộp này thành các hình hộp con (theo
cách tương tự như trên).
Nếu như trong mỗi hộp con B P B k ∈ ( ) ta chọn ra một điểm nào đó
ck n k = ( , ,..., ) c c c B 1 2 k k k ∈
thì ta nói rằng ta có một phép chọn C đối với phân hoạch P.
B A
C D
1
1
(1)
1
1
1 1
1
10
a1 = x x "" xi xi+ "" xk = b
1
x
2
b2 = xk (2)
2
x
20
a2 = x
2j
x
2
x j+1
Hình 4.1
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 137
Nếu f là một hàm xác định trên hộp B thì với một phép chọn C ta định nghĩa
tổng Riemann của f trên phân hoạch P là
1
( , , ) : ( ) ( )
K
k k
k
S f P C f V B
=
=∑ c ,
trong đó V B ( ) k là thể tích của hộp Bk và K là số lượng các hộp Bk trong phân
hoạch. Khi ta không quan tâm tới một phép chọn nào cụ thể (nghĩa là phép chọn
nào cũng được) thì ta ký hiệu tổng Riemann là ( , ) S f P .
Định nghĩa Hàm f là khả tích trên hộp B nếu như tồn tại một số A sao cho,
với mỗi số ε> 0 cho trước, ta luôn tìm được số δ> 0 sao cho tổng Riemann
của f trên mọi phân hoạch có bề rộng nhỏ hơn δ chỉ sai khác với A một đại
lượng không vượt quá ε.
Khi ấy ta gọi số A là tích phân Riemann của hàm f trên hộp B và ký hiệu là
B
∫ f . Đôi khi người ta cũng ký hiệu nó là ∫B f ( , ,..., ) ... x x x dx dx dx 1 2 1 2 n n hay gọn
hơn là ( )
B
∫ f x dx ; đặc biệt, trong trường hợp 2, hay 3 chiều người ta thường thay
ký hiệu
∫B một cách “tường minh” hơn là ∫∫B hay∫∫∫B , hoặc
B
∫∫ hay
B
∫∫∫ .
Như vậy, định nghĩa tích phân (Riemann) của hàm nhiều biến cũng tương tự
như tích phân của hàm một biến, và khi 1 n = thì chúng hoàn toàn trùng nhau.
Cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, ta sẽ luôn nói gọn tích phân Riemann là
tích phân nếu như không có sự nhầm lẫn nào có thể nảy sinh.
Dễ dàng thấy rằng, tương tự như trong trường hợp hàm 1 biến, tích phân của
hàm nhiều biến trên một hộp là duy nhất, nếu nó tồn tại.
4.1.2. Các thí dụ
Thí dụ 1. Nếu hàm f là một hằng số c trên hộp B thì nó khả tích và tích phân
của nó trên hộp đó đúng bằng tích của c với thể tích của hộp (chứng minh suy trực
tiếp từ định nghĩa, như đối với trường hợp hàm 1 biến).
Thí dụ 2. Nếu f là hàm nhận giá trị 1 tại những điểm có các tọa độ là số hữu tỷ và
nhận giá trị 0 tại các điểm còn lại thì f là hàm không khả tích trên bất kỳ hộp nào
(chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm 1 biến).
Thí dụ 3. Cho hộp đóng B xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n . Nếu
α ∈[ , ] a b 1 1 và f ( , ,..., ) x x x 1 2 n nhận giá trị 0 tại mọi điểm nằm ngoài mặt phẳng
x1 = α (tức là có tọa độ thứ nhất khác α), và f ( , ,..., ) α x x 2 n là một hàm bị chặn
(theo tất cả các biến còn lại) bởi số dương M nào đó, thì f là một hàm khả tích
trên hộp B và tích phân của nó là 0. Thật vậy, lấy một phân hoạch bất kỳ P có bề138 Giải tích các hàm nhiều biến
rộng là δ thì với mọi phép chọn C ta thấy rằng ( ) f ck chỉ có thể khác 0 khi tọa
độ thứ nhất của nó là α và khi ấy giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá M.
Tổng thể tích của tất cả các hộp con có thể giao với mặt phẳng x1 = α không vượt
quá số 2 ( )...( ) δ b a b a 2 2 − − n n . Cho nên
2 2
1
| ( , , ) | | ( ) ( ) | 2. . .( )...( ).
K
k k n n
k
S f P C f c V B M b a b a δ
=
= ∑ ≤ − −
Vì số δ có thể lấy nhỏ bao nhiêu tuỳ ý cho nên ta suy ra 0
B
∫ f = .
Rõ ràng khẳng định trên là đúng cho mọi hàm f chỉ khác không trên mặt
phẳng xi = α nào đó (với i là tọa độ bất kỳ, mà không nhất thiết là tọa độ thứ
nhất).
Thí dụ 4. Cho hộp đóng B xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n , và một
hộp con I (nằm trong hộp B) xác định bởi các số α1 2 , ,..., α αn , β1 2 , ,..., β βn với
a b i i i i ≤α β < ≤ , i n =1,2,..., . Nếu f là hàm số nhận giá trị 1 trên hộp con I và
nhận giá trị 0 tại những điểm thuộc B I \ thì nó là hàm khả tích trên hộp B và tích
phân của nó đúng bằng thể tích của hộp I.
Thật vậy, lấy một phân hoạch P của hộp B với bề rộng là δ và một phép
chọn C bất kỳ. Lưu ý rằng ( ) f ck chỉ có thể khác 0 khi hộp con Bk có giao khác
rỗng với hộp I, và tổng thể tích các hộp này không vượt quá thể tích của hộp sinh
bởi các cạnh [ , ] α δ β δ i i − + , tức là số ( 2 )...( 2 ) β1 1 −α δ β α δ + n n − + . Mặt khác,
f ( ) ck không thể khác 1 khi hộp con Bk nằm gọn trong hộp I, và tổng thể tích các
hộp con này không nhỏ hơn thể tích của hộp sinh bởi các cạnh [ , ] αi i +δ β δ − , tức
là số ( 2 )...( 2 ) β α δ β α δ 1 1 − − − − n n . Tổng hợp lại ta suy ra
( 2 )...( 2 ) ( , , ) ( 2 )...( 2 ) β α δ β α δ β α δ β α δ 1 1 1 1 − − − − ≤ ≤ − n n n n S f P C + − + .
Vì hàm số g( ) ( 2 )...( 2 ) t t t = β α β α 1 1 − + n n − + là liên tục cho nên với mỗi số
ε> 0 ta tìm được số δ> 0 sao cho với | | t ≤δ thì
| ( ) ( )...( ) | g t − − − β1 1 α β α ε n n < .
Do ( ) ( , , ) ( ) g − ≤ ≤ δ δ S f P C g cho nên ta cũng có
| ( , , ) ( )...( ) | S f P C − − − β1 1 α β α ε n n < .
Từ định nghĩa ta suy ra f là hàm khả tích trên hộp B và có
( )...( ) 1 1 n n
B
∫ f = β − − α β α .
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 13
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Tích phân bội
4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn................................................................ 133
4.1.1. Khái niệm...................................................................................................................... 133
4.1.2. Các thí dụ ...................................................................................................................... 137
4.1.3. Các tính chất ban đầu .................................................................................................... 139
4.2. Sự tồn tại tích phân. Tích phân trên tập bất kỳ .............................................................. 140
4.2.1. Hàm bậc thang và sự tồn tại của tích phân.................................................................... 140
4.2.2. Tích phân trên tập bất kỳ............................................................................................... 142
4.2.3. Tính khả tích của hàm liên tục ...................................................................................... 148
4.2.4. ý nghĩa của tích phân bội .............................................................................................. 150
4.3. Tích phân lặp ................................................................................................................ 152
4.3.1. Định lý Fubini ............................................................................................................... 152
4.3.2. Các hệ quả quan trọng................................................................................................... 156
4.4. Phép đổi biến trong tích phân bội............................................................................... 159
4.4.1. Phân hoạch đơn vị và bổ đề cơ bản............................................................................... 159
4.4.2. Phép đổi biến trong tích phân bội ................................................................................. 162
4.4.3. Một vài thí dụ................................................................................................................ 168
4.1.Tích phân Riemann trên hộp đóng trong Rn
4.1.1. Khái niệm
Hộp đóng trong không gian Rn là tập hợp có dạng sau đây
B := { ( , ,... ) x1 2 x xn ∈ Rn : , 1,2,..., a x b i n i i i ≤ ≤ = },
trong đó a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,... n n là những số cố định với a b i n i i ≤ , 1,..., = . Khi ấy
ta có thể nói hộp đóng B được xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n , và cũng
có thể nói các số này xác định hộp đóng B. Nếu có chỉ số i sao cho a b i i = thì ta
nói hộp đóng B là suy biến; trong trường hợp trái lại, hộp đóng B không suy
biến.134 Giải tích các hàm nhiều biến
Các đoạn [ , ], 1,2,..., a b i n i i = được gọi là các cạnh sinh hộp đóng B, và đôi khi
ta viết
B a b a b a b = × × × [ , ] [ , ] ... [ , ] 1 1 2 2 n n .
Số ( ).( )...( ) b a b a b a 1 1 2 2 − − − n n được gọi là thể tích của hộp đóng và thường được
ký hiệu là V B ( ) hay vol(B). Như vậy, nếu hộp đóng suy biến thì thể tích bằng 0, và
hộp đóng không suy biến thì thể tích khác 0.
Khái niệm hộp mở được định nghĩa tương tự như hộp đóng bằng các thay các
dấu ≤ bởi các dấu <.
Trong phần này, để thuận tiện trong việc sử dụng các ký hiệu hình thức, ta quy
ước khoảng với 2 đầu mút trùng nhau là một điểm hay là khoảng có độ dài 0 (chứ
không phải là tập rỗng). Hộp mở được coi là không suy biến khi tất cả các cạnh của
nó là những khoảng thực sự trong R (tức là có 2 đầu mút phân biệt), và khi ấy
người ta thường gọi nó là phần trong (hay miền trong) của hộp đóng tương ứng.
Trong trường hợp ngược lại, tức là có chỉ số i sao cho a b i i = , thì ta nói hộp mở
là suy biến. Nếu hộp có đúng s cạnh không suy biến (tức là chỉ có n-s cạnh suy
biến thành điểm) thì ta gọi nó là hộp mở tương đối s chiều. Như vậy, hộp mở
không suy biến là hộp mở tương đối n chiều (hay đơn giản là hộp mở n chiều),
còn điểm là một hộp mở tương đối 0 chiều.
Trong không gian 1 chiều thì hộp đóng chính là đoạn, còn hộp mở là khoảng.
Thể tích của hộp [ , ] B a b = ⊂ R là độ dài của đoạn và bằng ( ) b a − .
Hộp trong không gian 2 chiều chính là hình chữ nhật. Thể tích của hộp
B a b a b = × [ , ] [ , ] 1 1 2 2 là diện tích hình chữ nhật và bằng ( )( ) b a b a 1 1 2 2 − − . Phần
trong của hình chữ nhật là tập B a b a b ′ = × ( , ) ( , ) 1 1 2 2 và là hộp mở 2 chiều. Các
cạnh hình chữ nhật không kể đỉnh (tức các tập { } a a b 1 2 2 ×( , ) ,{ } b a b 1 2 2 ×( , ) ,
( , ) a b a 1 1 2 ×{ } , ( , ) a b b 1 1 2 ×{ } ) là các hộp mở tương đối 1 chiều, còn các đỉnh của
hình chữ nhật là các hộp mở tương đối 0 chiều. Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói
trên là không giao nhau, và hợp của chúng đúng bằng hình chữ nhật (đóng) ban
đầu. Như vậy, người ta có được một cách “phân rã” hình chữ nhật đóng thành các
hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 2). Cách phân rã này được gọi là phân
rã chuẩn tắc.
Hộp trong không gian 3 chiều thì đúng là hộp theo ngôn ngữ thông thường và
thể tích của nó cũng chính là khái niệm đã được biết trong chương trình phổ thông.
Miền trong của hộp là một hộp mở 3 chiều, các mặt bao quanh hộp (không kể
cạnh) là các hộp mở tương đối 2 chiều, các cạnh của hộp (không kể đỉnh) là các
hộp mở tương đối 1 chiều, và các đỉnh của hộp là các hộp mở tương đối 0 chiều.
Rõ ràng, các hộp mở tương đối nói trên cũng là không giao nhau, và hợp của chúng
đúng bằng hộp đóng ban đầu. Như vậy, ta cũng có cách “phân rã chuẩn tắc” một
hình hộp đóng 3 chiều thành các hộp mở tương đối (với các số chiều từ 0 đến 3).
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 135
Tương tự như trên, với hộp n chiều B a b a b a b = × × × [ , ] [ , ] ... [ , ] 1 1 2 2 n n , người ta
có thể “phân rã chuẩn tắc” nó thành các hộp mở tương đối (với các số chiều khác
nhau, từ 0 đến n). Cụ thể, mỗi thành phần của phân rã này là một tập trong Rn có
dạng như sau:
{ } ( , ,..., ): , 1,2,..., x1 2 x x x Q i n n i i ∈ = ,
trong đó mỗi Qi chỉ có thể nhận 1 trong 3 khả năng: khoảng ( , ) a b i i , điểm{ } ai ,
hay điểm{ } bi . Số lượng các chỉ số i mà Qi không phải là điểm (mà là khoảng
thực sự) cũng chính là số chiều của thành phần này.
Định nghĩa. Phân hoạch P của một hộp đóng B xác định bởi a a a 1 2 , ,..., n ,
b b b 1 2 , ,..., n là một bộ gồm n phân hoạch của các đoạn [ , ],[ , ],...,[ , ] a b a b a b 1 1 2 2 n n
trong R (theo nghĩa thông thường). Nghĩa là, nó gồm một họ n dãy số hữu hạn
1 1 1 1
a x x x x b 1 0 1 2 (1) 1 = < < < = ... k ;
2 2 2 2
a x x x x b 2 0 1 2 (2) 2 = < < < = ... k ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 1 2 ( ) ...
n n n n
a x x x x b n k n n = < < < = .
Bề rộng (hay đường kính) của phân hoạch này là một số, ký hiệu là d(P), xác định
như sau:
d P x x j k i i n ( ) : max{ : 1,2,..., ( ), 1,2,..., } = i i j j − −1 = = .
Như vậy một phân hoạch P của một hộp đóng B sẽ xác định một họ các hộp đóng
con ( ) P B gồm có (1). (2).... ( ) K = k k k n phần tử. Mỗi phần tử được xác định bởi n
cạnh sinh có dạng [ , ] , x x i i j j−1 với chỉ số i nằm giữa 1 và n, còn chỉ số j nằm
giữa 1 và k(i). Rõ ràng hợp của các hộp thuộc họ P( ) B sẽ đúng bằng B. Hai hộp
bất kỳ trong họ P( ) B không giao nhau ở miền trong của chúng.
Nếu ta tiến hành phân rã từng hộp con trong họ thành các hộp mở tương đối
(theo phương pháp phân rã chuẩn tắc) thì ta có được một họ các hộp mở tương đối
(với các số chiều khác nhau, từ 0 đến n), ký hiệu là PN ( ) B , và được gọi là họ các
hộp mở tương đối sinh bởi phân hoạch P. Có thể chỉ ra rằng mỗi tập trong họ
PN ( ) B có dạng
{ } ( , ,..., ): , 1,2,..., x1 2 x x x Q i n n i i ∈ = ,
trong đó Qi có thể là một trong các khoảng ( , ), 1,..., ( ) xi i j j −1 x j k i = , hay là một
trong các điểm { }, 0,1,..., ( ) xij j k i = .136 Giải tích các hàm nhiều biến
Thí dụ. Trong trường hợp n =1 thì hộp chính là một đoạn và phân hoạch của nó
là khái niệm mà ta đã quen biết trong trường hợp hàm 1 biến. Họ các hộp mở
tương đối sinh bởi phân hoạch là tập hợp bao gồm tất cả các khoảng và tất cả các
điểm (đâù mút các khoảng) có trong phân hoạch.
Trong trường hợp 2 n = thì một hộp 2 chiều chính là một hình chữ nhật, và
phân hoạch P của một hình chữ nhật J xác định bởi a a b b 1 2 1 2 , , , là một bộ gồm
2 phân hoạch của 2 cạnh sinh hộp [ , ] a b 1 1 và [ , ] a b 2 2 (theo nghĩa thông thường
trong R). Nghĩa là, nó gồm 2 dãy số hữu hạn
1 1 1 1
a x x x x b 1 0 1 2 (1) 1 = < < < = ... k ,
2 2 2 2
a x x x x b 2 0 1 2 (2) 2 = < < < = ... k ,
chia hình chữ nhật J thành các hình chữ nhật con, kiểu ABCD như trong hình vẽ
sau:
Họ các tập mở tương đối sinh bởi phân hoạch PN ( ) B là tập hợp bao gồm tất cả
các hình chữ nhật con mở (kiểu phần trong của ABCD), các “cạnh con hở” (kiểu
các cạnh AB, BC, CD, DA không kể đỉnh), và các đỉnh (kiểu A, B, C, D,...) .
Phân hoạch của một hộp trong không gian 3 chiều là một bộ gồm 3 phân
hoạch (của 3 cạnh sinh hộp), và chúng chia hộp này thành các hình hộp con (theo
cách tương tự như trên).
Nếu như trong mỗi hộp con B P B k ∈ ( ) ta chọn ra một điểm nào đó
ck n k = ( , ,..., ) c c c B 1 2 k k k ∈
thì ta nói rằng ta có một phép chọn C đối với phân hoạch P.
B A
C D
1
1
(1)
1
1
1 1
1
10
a1 = x x "" xi xi+ "" xk = b
1
x
2
b2 = xk (2)
2
x
20
a2 = x
2j
x
2
x j+1
Hình 4.1
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 137
Nếu f là một hàm xác định trên hộp B thì với một phép chọn C ta định nghĩa
tổng Riemann của f trên phân hoạch P là
1
( , , ) : ( ) ( )
K
k k
k
S f P C f V B
=
=∑ c ,
trong đó V B ( ) k là thể tích của hộp Bk và K là số lượng các hộp Bk trong phân
hoạch. Khi ta không quan tâm tới một phép chọn nào cụ thể (nghĩa là phép chọn
nào cũng được) thì ta ký hiệu tổng Riemann là ( , ) S f P .
Định nghĩa Hàm f là khả tích trên hộp B nếu như tồn tại một số A sao cho,
với mỗi số ε> 0 cho trước, ta luôn tìm được số δ> 0 sao cho tổng Riemann
của f trên mọi phân hoạch có bề rộng nhỏ hơn δ chỉ sai khác với A một đại
lượng không vượt quá ε.
Khi ấy ta gọi số A là tích phân Riemann của hàm f trên hộp B và ký hiệu là
B
∫ f . Đôi khi người ta cũng ký hiệu nó là ∫B f ( , ,..., ) ... x x x dx dx dx 1 2 1 2 n n hay gọn
hơn là ( )
B
∫ f x dx ; đặc biệt, trong trường hợp 2, hay 3 chiều người ta thường thay
ký hiệu
∫B một cách “tường minh” hơn là ∫∫B hay∫∫∫B , hoặc
B
∫∫ hay
B
∫∫∫ .
Như vậy, định nghĩa tích phân (Riemann) của hàm nhiều biến cũng tương tự
như tích phân của hàm một biến, và khi 1 n = thì chúng hoàn toàn trùng nhau.
Cũng như trong trường hợp hàm 1 biến, ta sẽ luôn nói gọn tích phân Riemann là
tích phân nếu như không có sự nhầm lẫn nào có thể nảy sinh.
Dễ dàng thấy rằng, tương tự như trong trường hợp hàm 1 biến, tích phân của
hàm nhiều biến trên một hộp là duy nhất, nếu nó tồn tại.
4.1.2. Các thí dụ
Thí dụ 1. Nếu hàm f là một hằng số c trên hộp B thì nó khả tích và tích phân
của nó trên hộp đó đúng bằng tích của c với thể tích của hộp (chứng minh suy trực
tiếp từ định nghĩa, như đối với trường hợp hàm 1 biến).
Thí dụ 2. Nếu f là hàm nhận giá trị 1 tại những điểm có các tọa độ là số hữu tỷ và
nhận giá trị 0 tại các điểm còn lại thì f là hàm không khả tích trên bất kỳ hộp nào
(chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp hàm 1 biến).
Thí dụ 3. Cho hộp đóng B xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n . Nếu
α ∈[ , ] a b 1 1 và f ( , ,..., ) x x x 1 2 n nhận giá trị 0 tại mọi điểm nằm ngoài mặt phẳng
x1 = α (tức là có tọa độ thứ nhất khác α), và f ( , ,..., ) α x x 2 n là một hàm bị chặn
(theo tất cả các biến còn lại) bởi số dương M nào đó, thì f là một hàm khả tích
trên hộp B và tích phân của nó là 0. Thật vậy, lấy một phân hoạch bất kỳ P có bề138 Giải tích các hàm nhiều biến
rộng là δ thì với mọi phép chọn C ta thấy rằng ( ) f ck chỉ có thể khác 0 khi tọa
độ thứ nhất của nó là α và khi ấy giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá M.
Tổng thể tích của tất cả các hộp con có thể giao với mặt phẳng x1 = α không vượt
quá số 2 ( )...( ) δ b a b a 2 2 − − n n . Cho nên
2 2
1
| ( , , ) | | ( ) ( ) | 2. . .( )...( ).
K
k k n n
k
S f P C f c V B M b a b a δ
=
= ∑ ≤ − −
Vì số δ có thể lấy nhỏ bao nhiêu tuỳ ý cho nên ta suy ra 0
B
∫ f = .
Rõ ràng khẳng định trên là đúng cho mọi hàm f chỉ khác không trên mặt
phẳng xi = α nào đó (với i là tọa độ bất kỳ, mà không nhất thiết là tọa độ thứ
nhất).
Thí dụ 4. Cho hộp đóng B xác định bởi các số a a a b b b 1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n , và một
hộp con I (nằm trong hộp B) xác định bởi các số α1 2 , ,..., α αn , β1 2 , ,..., β βn với
a b i i i i ≤α β < ≤ , i n =1,2,..., . Nếu f là hàm số nhận giá trị 1 trên hộp con I và
nhận giá trị 0 tại những điểm thuộc B I \ thì nó là hàm khả tích trên hộp B và tích
phân của nó đúng bằng thể tích của hộp I.
Thật vậy, lấy một phân hoạch P của hộp B với bề rộng là δ và một phép
chọn C bất kỳ. Lưu ý rằng ( ) f ck chỉ có thể khác 0 khi hộp con Bk có giao khác
rỗng với hộp I, và tổng thể tích các hộp này không vượt quá thể tích của hộp sinh
bởi các cạnh [ , ] α δ β δ i i − + , tức là số ( 2 )...( 2 ) β1 1 −α δ β α δ + n n − + . Mặt khác,
f ( ) ck không thể khác 1 khi hộp con Bk nằm gọn trong hộp I, và tổng thể tích các
hộp con này không nhỏ hơn thể tích của hộp sinh bởi các cạnh [ , ] αi i +δ β δ − , tức
là số ( 2 )...( 2 ) β α δ β α δ 1 1 − − − − n n . Tổng hợp lại ta suy ra
( 2 )...( 2 ) ( , , ) ( 2 )...( 2 ) β α δ β α δ β α δ β α δ 1 1 1 1 − − − − ≤ ≤ − n n n n S f P C + − + .
Vì hàm số g( ) ( 2 )...( 2 ) t t t = β α β α 1 1 − + n n − + là liên tục cho nên với mỗi số
ε> 0 ta tìm được số δ> 0 sao cho với | | t ≤δ thì
| ( ) ( )...( ) | g t − − − β1 1 α β α ε n n < .
Do ( ) ( , , ) ( ) g − ≤ ≤ δ δ S f P C g cho nên ta cũng có
| ( , , ) ( )...( ) | S f P C − − − β1 1 α β α ε n n < .
Từ định nghĩa ta suy ra f là hàm khả tích trên hộp B và có
( )...( ) 1 1 n n
B
∫ f = β − − α β α .
Ket-noi.com kho tai lieu mien phi Ket-noi.com kho tai lieu mien phiChương 4. Tích phân bội 13
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: