comeon_babi
New Member
Link tải miễn phí luận văn
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Phép biến đổi Mellin 5
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace . . . . 6
1.3 Công thức ngược Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tầm quan trọng của dải chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Một số hàm số đặc biệt thường xuất hiện trong các biến đổi Mellin . . 16
1.6.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3 Hàm Psi (Đạo hàm logarit của hàm Gamma) . . . . . . . . . . 18
1.6.4 Hàm Riemann’s Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường 20
2.1 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Bảng biến đổi Mellin của các hàm số quen thuộc . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier . . . . . 26
2.3.1 Nhắc lại về phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier . 26
2.3.3 Biến đổi Mellin của
2.3.4 Phương trình tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ngược lại với các phép biến đổi Fourier và Laplace mà chúng ta đã biết, được ra
đời nhằm giải quyết các bài toán vật lí, thì phép biến đổi Mellin lại nảy sinh trong bối
cảnh toán học. Trên thực tế, sự xuất hiện lần đầu tiên của phép biến đổi này được tìm
thấy trong một ghi chép của Riemann khi ông sử dụng nó để nghiên cứu hàm Zeta.
Tuy vậy, một nhà toán học Phần Lan, R.H.Mellin (1854 - 1933) mới thực sự là người
đầu tiên đưa ra một cách hệ thống phép biển đổi này cũng như công thức ngược của
nó. Khi nghiên cứu lí thuyết của các hàm đặc biệt, ông đã ứng dụng phép biến đổi này
để giải các phương trình vi phân siêu hình và tính đạo hàm của một số hàm đặc biệt.
Những đóng góp của Mellin thực sự đã gây chú ý và rất có ý nghĩa trong lý thuyết giải
tích hàm, những công trình này của ông chủ yếu dựa trên định lý Cauchy và phương
pháp tính thặng dư.
Theo cách tiếp cận trong khóa luận này, thì biến đổi Mellin được xem như là
một phép biến đổi Fourier trên một nhóm nhân các số thực dương (ví dụ, nhóm co
giãn) và sự phát triển của nó song song với sự phát triển của phép biểu diễn theo lý
thuyết nhóm của biểu diễn Fourier thông thường. Một trong những ưu điểm của phép
biểu diễn thay thế này là để nhấn mạnh một thực tế rằng phép biến đổi Mellin tương
ứng với một phép đẳng cự giữa các không gian Hilbert của các hàm. Bên cạnh các ứng
dụng của nó trong toán học, phép biến đổi Mellin còn được sử dụng trong rất nhiều
lĩnh vực khác nhau của vật lý và kỹ thuật.
Một lĩnh vực khác mà phép biến đổi Mellin được ứng dụng rất nhiều là việc giải
các phương trình vi phân tuyến tính chứa x(d/dx) thường gặp trong quá trình nghiên
cứu các thiết bị điện kĩ thuật bằng phương pháp tương tự như trong biến đổi Laplace.
Gần đây, những ứng dụng truyền thống đã được mở rộng và một số ứng dụng mới đã
được tìm ra. Một phương pháp mới để tính toán một số loại tích phân nhất định đã
được đưa ra bởi O.I.Marichev, người đã mở rộng phương pháp Mellin và tìm ra một
phương pháp có tính hệ thống để làm nó có tính ứng dụng cao hơn.
Như chúng ta đã biết, phép biến đổi Mellin và Fourier có mối quan hệ rất mật
thiết với nhau. Rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới đề
cập đến vấn đề này và đây vẫn luôn là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy,
tui nhận thấy rằng việc xây dựng một cách có hệ thống phép biến đổi Melin cũng như
mối quan hệ giữa biến đổi Mellin và Fourier là rất cần thiết, thông qua đó, chúng ta sẽ
có một cái nhìn tổng quan, sâu sắc hơn về phép biến đổi Mellin, làm cơ sở cho những
nghiên cứu thực tiễn và sâu sắc hơn sau này. Từ đó, tui quyết định chọn đề tài khóa
3
luận: “ Phép biến đổi Mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi
Fourier”.
Trong khóa luận, tui chú trọng tập trung vào việc phân tích kĩ dải chỉnh hình
trong phép biến đổi Mellin thông qua các ví dụ là những hàm số quen thuộc, từ đó
xem xét dải chỉnh hình dưới góc độ trực quan. Sau đó, tui tập trung nghiên cứu về mối
quan hệ giữa phép biến đổi Mellin và Fourier, biến đổi Mellin của dãy hàm x
n
e
−x
2/2
(n ∈ N) cũng như phân tích kĩ dải chỉnh hình của hàm ảnh, đây thực sự là những minh
họa có ý nghĩa về phép biến đổi này.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Phép biến đổi Mellin 5
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Mối quan hệ của phép biến đổi Mellin với phép biến đổi Laplace . . . . 6
1.3 Công thức ngược Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Tầm quan trọng của dải chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Một số hàm số đặc biệt thường xuất hiện trong các biến đổi Mellin . . 16
1.6.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3 Hàm Psi (Đạo hàm logarit của hàm Gamma) . . . . . . . . . . 18
1.6.4 Hàm Riemann’s Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường 20
2.1 Biến đổi Mellin của một số hàm thông thường . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Bảng biến đổi Mellin của các hàm số quen thuộc . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier . . . . . 26
2.3.1 Nhắc lại về phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Mối liên hệ giữa phép biến đổi Mellin và phép biến đổi Fourier . 26
2.3.3 Biến đổi Mellin của
2.3.4 Phương trình tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ngược lại với các phép biến đổi Fourier và Laplace mà chúng ta đã biết, được ra
đời nhằm giải quyết các bài toán vật lí, thì phép biến đổi Mellin lại nảy sinh trong bối
cảnh toán học. Trên thực tế, sự xuất hiện lần đầu tiên của phép biến đổi này được tìm
thấy trong một ghi chép của Riemann khi ông sử dụng nó để nghiên cứu hàm Zeta.
Tuy vậy, một nhà toán học Phần Lan, R.H.Mellin (1854 - 1933) mới thực sự là người
đầu tiên đưa ra một cách hệ thống phép biển đổi này cũng như công thức ngược của
nó. Khi nghiên cứu lí thuyết của các hàm đặc biệt, ông đã ứng dụng phép biến đổi này
để giải các phương trình vi phân siêu hình và tính đạo hàm của một số hàm đặc biệt.
Những đóng góp của Mellin thực sự đã gây chú ý và rất có ý nghĩa trong lý thuyết giải
tích hàm, những công trình này của ông chủ yếu dựa trên định lý Cauchy và phương
pháp tính thặng dư.
Theo cách tiếp cận trong khóa luận này, thì biến đổi Mellin được xem như là
một phép biến đổi Fourier trên một nhóm nhân các số thực dương (ví dụ, nhóm co
giãn) và sự phát triển của nó song song với sự phát triển của phép biểu diễn theo lý
thuyết nhóm của biểu diễn Fourier thông thường. Một trong những ưu điểm của phép
biểu diễn thay thế này là để nhấn mạnh một thực tế rằng phép biến đổi Mellin tương
ứng với một phép đẳng cự giữa các không gian Hilbert của các hàm. Bên cạnh các ứng
dụng của nó trong toán học, phép biến đổi Mellin còn được sử dụng trong rất nhiều
lĩnh vực khác nhau của vật lý và kỹ thuật.
Một lĩnh vực khác mà phép biến đổi Mellin được ứng dụng rất nhiều là việc giải
các phương trình vi phân tuyến tính chứa x(d/dx) thường gặp trong quá trình nghiên
cứu các thiết bị điện kĩ thuật bằng phương pháp tương tự như trong biến đổi Laplace.
Gần đây, những ứng dụng truyền thống đã được mở rộng và một số ứng dụng mới đã
được tìm ra. Một phương pháp mới để tính toán một số loại tích phân nhất định đã
được đưa ra bởi O.I.Marichev, người đã mở rộng phương pháp Mellin và tìm ra một
phương pháp có tính hệ thống để làm nó có tính ứng dụng cao hơn.
Như chúng ta đã biết, phép biến đổi Mellin và Fourier có mối quan hệ rất mật
thiết với nhau. Rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học trên thế giới đề
cập đến vấn đề này và đây vẫn luôn là một vấn đề được quan tâm nghiên cứu. Vì vậy,
tui nhận thấy rằng việc xây dựng một cách có hệ thống phép biến đổi Melin cũng như
mối quan hệ giữa biến đổi Mellin và Fourier là rất cần thiết, thông qua đó, chúng ta sẽ
có một cái nhìn tổng quan, sâu sắc hơn về phép biến đổi Mellin, làm cơ sở cho những
nghiên cứu thực tiễn và sâu sắc hơn sau này. Từ đó, tui quyết định chọn đề tài khóa
3
luận: “ Phép biến đổi Mellin của một số hàm đặc biệt và mối liên hệ với phép biến đổi
Fourier”.
Trong khóa luận, tui chú trọng tập trung vào việc phân tích kĩ dải chỉnh hình
trong phép biến đổi Mellin thông qua các ví dụ là những hàm số quen thuộc, từ đó
xem xét dải chỉnh hình dưới góc độ trực quan. Sau đó, tui tập trung nghiên cứu về mối
quan hệ giữa phép biến đổi Mellin và Fourier, biến đổi Mellin của dãy hàm x
n
e
−x
2/2
(n ∈ N) cũng như phân tích kĩ dải chỉnh hình của hàm ảnh, đây thực sự là những minh
họa có ý nghĩa về phép biến đổi này.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
