Download miễn phí Giáo trình Cơ sở tự động học - Trạng thái của hệ thống
Đồhình truyền tín hiệu mà ta đã nói ởchương 3 chỉáp dụng cho các phương trình đại
số. Ở đây, ta sẽ đưa vào các phương pháp đồhình trạng thái, nhưlà một sựmởrộng cho đồ
hình truyền tín hiệu đểmô tảcác phương trình trạng thái ,và các phương trình vi phân. Ý
nghĩa quan trọng của đồhình trạng thái là nó tạo được một sựliên hệkín giữa phương trình
trạng thái, sựmô phỏng trên máy tính và hàm chuyển.
Một đồhình trạng thái được xây dựng theo tất cảcác qui tắc của đồhình truyền tín
hiệu. Nhưng đồhình trạng thái có thể được dùng đểgiải các hệtuyến tính hay bằng giải tích
hay bằng máy tính
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Cơ Tự Động Học Phạm Văn TấnChương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.1
Chương IV: TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG
• ĐẠI CƯƠNG.
• PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH OUTPUT.
• SỰ BIỂU DIỄN BẰNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG
THÁI.
• VÀI VÍ DỤ.
• ĐỒ HÌNH TRẠNG THÁI.
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.2
I. ĐẠI CƯƠNG.
Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thông dụng để phân giải các hệ
tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã được dùng để chuyển các phương trình vi phân mô tả hệ
thống thành các phương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại số này ta có thể
tìm được hàm chuyển mô tả tương quan nhân quả giữa ngõ vào và ngõ ra.
Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biến phức, dù là kỹ thuật rất
thông dụng trong tự động học, nhưng có rất nhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đó là các điều
kiện đầu bị bỏ qua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyến tính, không
đổi theo thời gian. Và nó đặc biệt bị giới hạn khi dùng để phân giải các hệ đa biến.
Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiển thường được phân giải trong
miền thời gian. Và vì vậy, cần thiết phải có một phương pháp khác để đặc trưng hóa cho hệ
thống.
Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (state variable) để đặc trưng cho hệ
thống. Một hệ thống có thể được phân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình
vi phân cấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao. Vấn đề sẽ được
đơn giản hóa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùng máy tính để giải.
Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t)...xn(t) được chọn để mô tả trạng thái động của
hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳn t=t0 nào, các biến này mô tả hoàn toàn trạng thái quá
khứ ( past history ) của hệ cho đến thời điểm t0. Nghĩa là các biến x1(t0), x2(t0) . . . xn(t0), xác
định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khi có những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì
trạng thái tương lai của hệ thống sẽ hoàn toàn được xác định .
Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính có thể được định nghĩa như
là một tập hợp nhỏ nhất các biến x1(t),x2(t),... xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời
điểm t0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõ vào được áp dụng
theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tại bất kỳ thời điểm t >=t0 nào.
x1(t), x2(t),...
xn(t)
r1(t)
r2(t)
rp(t)
c1(t)
c2(t)
cq(t) M M
Hình 4_1
x1(t),x2(t) . . . xn(t)là các biến trạng thái .
r1(t),r2(t) . . . rp(t) là các tín hiệu vào.
c1(t),c2(t) . . . cq(t) là các tín hiệu ra.
Cái ngắt điện, có lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạng thái. Ngắt điện có thể ở vị
trí hay ON hay OFF, vậy trạng thái của nó có thể là một trong hai trị giá khả hữu đó. Nên,
nếu ta biết trạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu có một tín hiệu đặt ở ngõ vào,
ta sẽ có thể xác định được trị giá tương lai trạng thái của nó.
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.3
II. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG
TRÌNH OUTPUT.
Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến tính với p input và q output.
Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi tập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi
là những phương trình trạng thái.
( ) [ ](t)r,(t), ... r(t),(t), rx,(t), ... x(t),x nfix p121 2idt t d = (4.1)
(i=1,2, … ,n)
Trong đó : )t(
1
x , )t(
2
x , … , )t(
n
x là các biến trạng thái
)t(
1
r ., )t(
2
r , … , )t(pr là các input
: hàm tuyến tính thứ i. if
Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các input qua biểu thức sau.
( ) [ ](t)r,(t), ... r(t),r(t), x,(t), ... x(t),xtC nkk g p121 2 = (4.2)
(k =1,2, … ,q)
kg : hàm tuyến tính thứ k .
Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương trình trạng thái và
phương trình output gọi chung là các phương trình động của hệ.
Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output được mô tả bởi phương trình
vi phân :
)t()t(Cdt
)t(dc3
dt
)t(cd2
dt
)t(cd r22
2
3
3
=+++ (4.3)
: output ; )(tC )(tr : input.
• Hàm chuyển mô tả hệ thống dễ dàng có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ở hai vế,
với giả sử các điều kiện đầu bằng 0.
( )
( ) 1S3S2S
2
SR
SC
23 +++= (4.4)
• Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống còn có thể mô tả bởi một tập hợp các phương trình
động như sau :
Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái
( ) ( )tCtx1 = (4.5) phương trình output
( ) ( ) ( )tCtxtx 12 && == (4.6)
( ) ( ) ( )tCtt 23 xx && == (4.7 )
Phương trình trạng
thái
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.4
Trong đó
dt
dx
x 1
1
=& và
dt
dx
x 2
2
=& .
dt
dcC =&
Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao nhất ở vế trái:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )t2tt3t2tC rccc +−−−= &&&&&& (4.8)
Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định nghĩa của biến trạng thái vào
4.8 . Ta sẽ có những phương trình trạng thái:
(4.9a) ( ) ( )txtx
21
=&
(4.9b) ( ) ( )txtx
32
=&
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tr2tx2tx3txtx
3213
+−−−=& (4.9c)
Chỉ có phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban đầu (4.3). còn hai phương
trình kia chỉ là phương trình định nghĩa biến trạng thái.
Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như là biến trạng thái x1(t),
(không phải luôn luôn như vậy). Vậy phương trình (4.5) là phương trình output.
Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mô tả ở trên, thì phương trình vi phân
cấp n:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttc... radt
dca
dt
da
dt
d
n
t
1n1n
tc1n
1n
tn =++++ −−
−c (4.10)
Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau :
( 4.11)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trtxatxatxatxnatx
txtx
txtx
txtx
111n221n1n
n1n
32
21
+−−−−−=
=
=
=
−−
−
L&
&
MM
&
&
Và phương trình output giản dị là :
( ) ( )tx
1
tC = (4.12)
Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mô tả ở trên không thích hợp khi vế
phải của (4.10) có chứa những đạo hàm của r(t).
Cơ Tự Động Học Phạm Văn Tấn
Chương IV: Trạng thái của hệ thống Trang IV.5
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) trb
dt
tdrb
dt
trdb
dt
trdbtca
dt
tdca
dt
tcda
dt
tcd
n1n
1n
1n
1n
n
0n1n1n
1n
1n
n
++
++=++++
−
−
−
−−
−
L
LL
(4.13)
Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái cũng phải chứa r(t).
Các biến trạng thái được định nghĩa như sau:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) n),2,3,(k thtt
thtt
tbtct
rxx
rxx
rx
kk
12
01
1k
1
L
MM
&
&
=−=
−=
−=
−
(4.14)
Với các giá trị ở đó :
( ) ( )( )
( )
4.15
k11k222k11k0kkk
21120333
110222
0111
hahahahababh
hahababh
hababh
babh
−−−−−−=
−−−=
−−=
−=
−−− L
MM
Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào n phương trình trạng thái
sau đây dưới dạng bình thường :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trhtxatxatxatxatx
trhtxtx
trhtxtx
trhtxtx
nnnnnn
nnn
+−−−−−=
+=
+=
+=
−−
−−
112211
11
232
121
...