Download miễn phí Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán 12
Phải thực sự thừa nhận rằng tồn tại mối liên hệ ẩn tàng giữa hình thức Đại số vàbản chất hình học,
PP hình học hoá các bài toán Đại số làđặc biệt hữu hiệu. Chúng ta có thể kể ra đây ngoài PP toạ độ
rất nhiều PP khác nữa để tiếp cận ý tưởng này, chẳng hạn một trong chúng làLý thuyết đồ thị,Và
đương nhiên không thể kể hết các ứng dụng, các bài toán, điều quan trọng làvai trò người thày trong
việc dẫn dắt các em tiếp cận PP nhưthế nào, nhằm khơi dậy trong chúng khả năng tưduy sáng tạo
niềm say mê tìm tòi khám phá vẻ đẹp trong toán học. Do khả năng vàkinh nghiệm còn hạn chế bài
viết không tránh khỏi sai sót tôi chỉ dám hy vọng bài viết này làmột chia sẻ nhỏ với các đồng
nghiệp.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
mặt khỏc ta cú p 1ε = do đú :p 1 p 1
k j p q j 2 j rj n
n,k
k 0,n p j 0 j 0
1 1 1f y F( , y) (1 y ) (1 y)(1 y) (1 y) (1 y)
p p p
− −
≥ = =
⇒ = ε = + +ε +ε … +ε + +∑ ∑ ∑
#
Đồng nhất hệ số của py ta cú :
p
m m
p
kp,p n,p
k 0 n p
m(p 1) C
(p 1)q C p
P f f
p p≥
⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥− + ⎣ ⎦= = = =∑ ∑
#
Khi n = 2p ta được kết quả là bài toỏn 5
j j 2 j mj
2 p q j 2 j rj
p q j 2 j rj
F( , y) (1 y)(1 y)...(1 y)
[(1 y)(1 y) (1 y)] (1 y)(1 y) (1 y) ; j 1
(1 y ) (1 y)(1 y) (1 y)
ε = +ε +ε +ε
= +ε +ε +ε +ε +ε +ε ∀ ≥
= + +ε +ε … +ε
… …
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 44 of 108
45
Bài 6: Cho tập hợp A = {1, 2, . . . , 2009}
Tỡm số cỏc tập con của A mà tổng cỏc phần tử trong mỗi tập con đú chia hết cho 7
Lời giải.
Tương tự như nhận xột trờn chỳng ta xột hàm sinh:
2 2009F(x) (1 x)(1 x )...(1 x )= + + +
Khai triển F(x) thành dạng kk
k
F(x) f x=∑ ta cần tớnh :
6
7k
k 0
1P f F(1) F( ) F( )
7≥
⎡ ⎤= = + ε + + ε⎢ ⎥⎣ ⎦∑ "
Vỡ 7 là số nguyờn tố, với phương phỏp tương tự bài tập 3 ta cú:
2009F(1) 2=
287j j 2 j 2009 j 2 7 287 287F( ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 1) 2⎡ ⎤ε = +ε +ε +ε = +ε +ε +ε = + =⎢ ⎥⎣ ⎦… …
Vậy:
2009 2872 6.2P
7
+=
Bài 7: Cho số nguyờn dương n. Chứng minh rằng số cỏc cỏch phõn tớch n thành tổng của cỏc số
nguyờn dương lẻ bằng số cỏch phõn tớch n thành tổng của cỏc số nguyờn dương khỏc nhau.
Lời giải.
Xột hàm sinh:
2 3 6 5 10F(x) (1 x x )(1 x x )(1 x x )= + + + + + + + + +" " ""
Số mũ của số hạng trong phõn tớch thành tổng của F(x) cú dạng: 1 2 3i 3i 5i+ + +"cú nghĩa là
tổng của cỏc số lẻ, mỗi số lẻ cú thể lặp lại. Vậy số cỏch phõn tớch n thành tổng cỏc số nguyờn
dương lẻ chớnh là hệ số của nx trong khai triển của F(x)
Tương tự ta xột hàm sinh:
2 3G(x) (1 x)(1 x )(1 x )= + + + "
Số mũ của cỏc số hạng trong khai triển thành tổng của G(x) cú dạng 1 2 3i i i+ + +"với
1 2 3i , i , i ,… là cỏc số nguyờn dương đụi một phõn biệt. Như vậy hệ số của nx chớnh là số cỏch
phõn tớch n thành tổng của cỏc số nguyờn dương phõn biệt.
Vậy ta chỉ cần chứng minh : F(x) = G(x).
Thật vậy:
3 5 2k 1
k 0
2k
k
k 2k 1
k 1 k 1 k 0
1 1 1 1F(x)
1 x 1 x 1 x 1 x
1 x 1G(x) (1 x )
1 x 1 x
+
≥
+
≥ ≥ ≥
= ⋅ ⋅ =− − − −
−= + = =− −
∏
∏ ∏ ∏
"
Vậy F(x) = G(x) (đpcm)
Bài 8: Giả sử với mỗi số tự nhiờn n cú hai dóy số dương 1 2 na ,a , , a… và 1 2 nb , b , , b… sao cho
dóy tổng 1 2 1 3 n 1 na a ,a a , ,a a−+ + +… là một hoỏn vị của dóy cỏc tổng
1 2 1 3 n 1 nb b , b b , , b b−+ + +…
Chứng minh rằng n là lũy thừa của 2
Lời giải:
Xột cỏc hàm sinh
i i
i i
a b
a A b B
F(x) x , G(x) x
∈ ∈
= =∑ ∑
Ta cú:
i j i ji
i i j i j
i j i ji
i i j i j
a a a a2a2 2
a A a ,a A a ,a A
b b b b2b2 2
b B b ,b B b ,b B
2 2 2 2
[F(x)] x x F(x ) x
[G(x)] x x G(x ) x
[F(x)] [G(x)] F(x ) G(x )
+ +
∈ ∈ ∈
+ +
∈ ∈ ∈
= + = +
= + = +
⇒ − = −
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 45 of 108
46
Vỡ F(1) = G(1) = n do đú 1 là nghiệm của F(x) – G(x) suy ra
k *
2 2 2 2 2 k 2 2
k
k
F(x) G(x) (x 1) H(x), k
F (x) G (x) F(x ) G(x ) (x 1) H(x ) H(x )F(x) G(x) (x 1)
F(x) G(x) F(x) G(x) (x 1) H(x) H(x)
− = − ∈
− − −⇒ + = = = = +− − −
`
Chọn x = 1 ta nhận được :
2
k k
k 1
H(1 ) 2n F(1) G(1) (1 1) 2
H(1)
n 2 −
= + = + =
⇒ =
Bài 9: Tỡm số cỏc hoỏn vị khụng cú điểm cố định của tập hợp {1, 2, . . . , n}
Lời giải.
Gọi số cỏc hoỏn vị với đỳng k điểm cố định cho trước là n kD − suy ra tổng số cỏc hoỏn vị với
đỳng k điểm cố định là kn n kC D − . Vỡ tổng số hoỏn vị là n! nờn ta cú:
k n k n k n k
n n k n k
k k k
D H Dn! C D 1 1; H
k!(n k)! k! (n k)!
− − −
− −= ⇔ = ⇔ = =− −∑ ∑ ∑
Áp dụng tớnh chất nhõn hai hàm sinh ta cú
Vậy ta cú :
kn
nn
n
k 0
D ( 1) 1 1 1 1D n! ( 1)
n! k! 2! 3! 4! n!=
⎡ ⎤− ⎢ ⎥= ⇒ = − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ "
Số hoỏn vị cần tỡm là nn
1 1 1 1D n! ( 1)
2! 3! 4! n!
⎡ ⎤⎢ ⎥= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
"
Bài 10: (Chọn dự tuyển Việt Nam 2008)
Cho M là tập hợp của 2008 số nguyờn dương đầu tiờn , mỗi số đú được tụ bởi một trong 3 màu :
xanh , đỏ và vàng , và mỗi màu thỡ được tụ ớt nhất một số , xột 2 tập :
1S = { (x, y, z) thuộc 3M mà x, y, z tụ cựng màu , x y z 0(mod 2008)+ + ≡ }
2S = { (x, y, z) thuộc 3M mà x, y, z tụ cựng màu , x y z 0(mod 2008)+ + ≡ }
Chứng minh rẳng : 1 22 | S | | S |>
Lời giải:
Gọi A, B, C là 3 tập hợp tương ứng gồm cỏc số màu xanh, đỏ, vàng
Xột cỏc hàm sinh:
3 3 31 2 1 2 1 2
i i i
a b c
a A b B c C
a b ca a b b c c3 3 3 n
n
a A b B c C n
F(x) x ,G(x) x , H(x) x
I(x) F (x) G (x) H (x) x x x f x
∈ ∈ ∈
+ + + + + +
∈ ∈ ∈
= = =
= + + = + + =
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
Trong đú nf chớnh là số bộ (x, y, z) cú cựng một màu và cú tổng là n
Gọi ε là nghiệm của phương trỡnh 2008x 1 0− = .
Theo định lý RUF ta cú
k
0 2008 2.2008 3.2008 1
k
1 I( ) f f f f S
2008
ε = + + + =∑
Vậy k 3 k 3 k 3 k1
k k
1 1S I( ) F ( ) G ( ) H ( )
2008 2008
⎡ ⎤= ε = ε + ε + ε⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑
Lý luận tương tự ta cú :
k k k k k k
2
k k
6 2S F( )G( )H( ) 3.F( )G( )H( )
2008 2008
= ε ε ε = ε ε ε∑ ∑
Với k 0≠ ta cú k k kF( ) G( ) H( ) 0ε + ε + ε =
do đú : 3 k 3 k 3 k k k kF ( ) G ( ) H ( ) 3F( )G( )H( )ε + ε + ε = ε ε ε
vậy ta chỉ cần chứng minh 3 3 3F (1) G (1) H (1) 3F(1)G(1)H(1)+ + >
x m
x k m
k m
1 e ( 1)e H(x) H(x) x x
1 x 1 x m!
− −= ⇔ = =− − ∑ ∑
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 46 of 108
47
Thật vậy ta luụn cú 3 3 3F (1) G (1) H (1) 3F(1)G(1)H(1)+ + ≥ (BĐT Cauchy), dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi F(1) = G(1) = H(1), suy ra 3F(1) = 2008 điều này vụ lý vỡ 2008 khụng chia hết cho 3.
(Đpcm).
C. Bài tập tương tự:
Bài 1: Tớnh tổng sau: 2p 2k 1 k2n 1 p k
k 0
C C+ ++ +
≥
∑
Bài 2: Chứng minh rằng: k t k tn m m n
k
C C C− +=∑
Từ đú tớnh tổng k 2n
k
(C )∑
Bài 3: Chứng minh rằng: 2k m k 2n2n 1 2n 2m 1
k
C C C++ +=∑
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi n > 0 ta cú:
n k 2n 1 2n 12
2k
n k
k
x 1 x 1 x 1x C
4 2 2
− + +
+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ = +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑
Bài 5: Tớnh tổng sau:
k n k2k 2n 2k
k
1 1C C
k 1 n k 1
−
−+ − +∑
Bài 6:
Cho T là tập cỏc số nguyờn khụng õm.
a. Kớ hiệu f(n, k, T) là số cỏc tập con sắp thứ tự của T gồm k phần tử mà cú tổng là n( cỏc phần tử
cú thể trựng nhau).
Xỏc định n
n
f (n, k,T)x∑
b. Kớ hiệu g(n, k, T) là số cỏc tập con sắp thứ tự của T gồm k phần tử phõn biệt mà cú tổng là n.
Xỏc định n
n
g(n,k,T)x∑
Bài 7: Chứng minh rằng cú duy nhất cỏch phõn chia tập số tự nhiờn thành hai tập hợp A và B
sao cho : với mỗi số nguyờn khụng õm n thỡ số cỏch phõn tớch n thành dạng
1 2 1 2 1 2a a ,a a 1,a A,a A+ ≠ ≥ ∈ ∈ bằng số cỏch phõn tớch n thành tổng
1 2 1 2 1 2b b ,b b ,b B,b B+ ≠ ∈ ∈
Bài 8: Xỏc định dóy { }nf thỏa món điều kiện:
1
2n n
2n 1 n n 1
f 1
f f
f f f+ +
⎧ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ = +⎪⎩
Bài 9: Cho p là một số nguyờn tố lẻ và số nguyờn dương n nguyờn tố cựng nhau với p. Tỡm số
cỏc bộ ( )1 2 p 1x , x , , x −… gồm p – 1 số tự nhiờn sao cho tổng 1 2 p 1x 2x (p 1)x −+ + −… chia hết
cho p, trong đú cỏc số 1 2 p 1x , x , , x −… đều khụng lớn hơn n – 1
Bài 10: Cho hai số nguyờn dương m và n, trong đú n + 2 chia hết cho m. Tỡm số cỏc bộ ba số
nguyờn dương (x, y, z) thỏa món điều kiện x + y + z chia hết cho m trong đú x, y , z đều bộ hơn
hay bằng n
TÀI...