tracgiahan96
New Member
Download miễn phí Luận văn Sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng để chứng minh bất đẳng thức
MỤCLỤC
Trang
Mụclục 1
LờiThank 2
Lời nói đầu 3
Chương 1 – Phương phápsửdụngbất đẳng thức Côsi 4
1.1 –Bất đẳng thức Côsi 4
1.2 –Sửdụngbất đẳng thức Côsicơbản 5
1.3 –Sửdụng trực tiếpbất đẳng thức Côsi 14
1.4 – Thêmbớthằngsố khisửdụngbất đẳng thức Côsi 23
1.5 – Thêmbớt biếnsố khisửdụngbất đẳng thức Côsi 27
1.6 – Nhóm cácsốhạng khisửdụngbất đẳng thức Côsi 33
Chương 2 – Phương phápsửdụngbất đẳng thức Bunhiacopski 42
2.1 –Bất đẳng thức Bunhiacopski 42
2.2 –Bất đẳng thức Bunhiacopskimởrộng 55
Chương 3 – Phương phápsửdụngbất đẳng thứcvới các dãy đơn điệu 59
3.1 –Bất đẳng thứcvới các dãy đơn điệu 59
3.2 –Mộtsố vídụ minh hoạ 60
Chương 4 – Phương phápsửdụngbất đẳng thức Trêbưsép 67
4.1 –Bất đẳng thức Trêbưsép 67
4.2 –Mộtsố vídụ minh hoạ 68
Chương 5 – Phương phápsửdụngbất đẳng thức Jensen 81
5.1 – Định nghĩa hàmlồi 81
5.2 – Điều kiện đủvề tínhlồicủa hàmsố 82
5.3 –Bất đẳng thức Jensen 82
5.4 –Mộtsố vídụ minh hoạ 84
Tài liệu tham khảo 98
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
12 1 1 1
M
xy y yz z zx x
æ ö÷ç£ + + ÷ç ÷ç ÷+ + + + + +è ø
(4)
Theo giả thiết: 1xyz = , nên: 2
1
1 1
xy xy
yz z xy yxy z xyz xy
= =
+ + + ++ +
, (5)
và 1
1 1
y y
zx x xyz xy y xy y
= =
+ + + + + +
. (6)
Thay (5),(6) vào (4) 1 1 1
2 1 2
xy yM
xy y
+ +
Þ £ × = Þ
+ +
đpcm.
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2),(3) xảy ra 1x yÛ = = .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
42
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPSKI (B.C.S).
2.1.1 Định lý.
Cho 2n số tuỳ ý: 1 2, ,..., na a a ; 1 2, ,..., nb b b . Khi đó ta luôn có:
( )21 1 2 2 ... n na b a b a b+ + + £ ( )( )2 2 2 2 2 21 2 1 2... ...n na a a b b b+ + + + + + . (1)
Đẳng thức xảy ra 1 2
1 2
... n
n
aa a
b b b
Û = = = . (Qui ước nếu 0, 1,ib i n= = , thì 0ia = ).
Chứng minh
Đặt 2 2 21 2 ... nA a a a= + + + ;
2 2 2
1 2 ... nB b b b= + + + .
· Nếu 0A= hay 0B= Þ (1) hiển nhiên đúng.
· Xét 0A¹ và 0B¹ . Đặt ii
a
A
a = ; ii
b
B
b = , " 1,i n= .
Thế thì 2 2
1 1
1
n n
i i
i i
a b
= =
= =å å , " 1,i n= .
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có:
2 2
2
i i
i i
a b
a b
+
£ , " 1,i n= .
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 2 2
... ...... 1
2 2
n n
n n
a a a b b b
a b a b a b
+ + + + + +
Þ + + + £ + =
1 1 2 2 ... n na b a b a b ABÛ + + + £ =
2 2 2
1 2 ... na a a+ + + .
2 2 2
1 2 ... nb b b+ + + .
Þ (1) đúng.
Kết hợp hai điều trên Þ (1) được chứng minh.
2.1.2 Nhận xét.
Cùng với bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Bunhiacopski (B.C.S) cũng là một
trong những bất đẳng thức thường xuyên được sử dụng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
43
Giống như khi dùng bất đẳng thức Côsi, để có thể áp dụng thành công được bất
đẳng thức B.C.S là ứng với mỗi bất đẳng thức cần chứng minh phải lựa chọn ra
được hai dãy số: 1 2, ,..., na a a và 1 2, ,..., nb b b thích hợp (không đòi hỏi điều kiện 0³
như trong bất đẳng thức Côsi). Việc lựa chọn sẽ được minh hoạ cụ thể trong các thí
dụ sau:
2.1.3 Một số thí dụ minh hoạ.
Thí dụ 2.1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng khối B – 2003).
Cho 2 2x- £ £ . Chứng minh: 22 4 2 2x x- £ + - £ .
Bài giải
Hiển nhiên ta có: 24 2x x+ - ³- (do 2x³- và 24 0x- ³ ). (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra 2xÛ =- .
Xét hai dãy số: x ; 24 x- và 1 ; 1.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số trên, ta có:
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 24 1 1 4x x x xé ù+ - + ³ + -ê úë û 8Û ³ ( )
2
24x x+ -
2 24 2 2 4 2 2x x x xÛ + - £ Þ + - £ . (2)
Đẳng thức trong (2) xảy ra
24 2
0
x x x
x
ìï = -ïÛ Û =íï ³ïî
.
Từ (1),(2) Þđpcm.
Thí dụ 2.2 Cho , ,x y z Ρ thoả mãn: 4xy yz zx+ + = .
Chứng minh: 4 4 4 16
3
x y z+ + ³ .
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số: 2 2 2; ;x y z và 1 ; 1 ; 1, ta có:
( )( ) ( )24 4 4 2 2 2 2 2 21 1 1x y z x y z+ + + + ³ + + . (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra 2 2 2x y zÛ = = .
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số: x , y , z và y , z , x.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
44
ta được: ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2x y z y z x xy yz zx+ + + + ³ + + ( )22 2 2 16x y zÛ + + ³ . (2)
Từ (1),(2) suy ra: 4 4 4 16
3
x y z+ + ³ Þđpcm.
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2) xảy ra
2 2 2 2 3
3
2 3
4 3
x y z
x y zx y z
y z x
x y zxy yz zx
ì éï = =ï êï = = =ï êï êÛ = = Ûí êïï êï = = =-ï ê+ + =ï ëïî
.
Thí dụ 2.3 Cho , , 0x y z> . Chứng minh: 1
2 2 2
x y z
y z z x x y
+ + ³
+ + +
.
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số:
, ,
2 2 2
x y z
y z z x x y+ + +
và ( ) ( ) ( )2 , 2 , 2x y z y z x z x y+ + +
ta có:
2 2 2
x y z
y z z x x y
æ ö÷ç + + ÷ç ÷ç ÷+ + +è ø
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2x y z y z x z x y x y zé ù+ + + + + ³ + +ë û
Þ
( )
( )
2
2 2 2 3
x y zx y z
y z z x x y xy yz zx
+ +
+ + ³
+ + + + +
. (1)
Đẳng thức trong (1) xảy ra x y zÛ = = .
Dễ thấy ( ) ( )2 3x y z xy yz zx+ + ³ + + . (2)
Đẳng thức trong (2) xảy ra x y zÛ = = .
Từ (1),(2) Þ 1
2 2 2
x y z
y z z x x y
+ + ³
+ + +
Þđpcm.
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (1),(2) xảy ra x y zÛ = = .
Nhận xét: Bằng cách giải trên ta chứng minh các bất đẳng thức sau:
Thí dụ 2.3.1 (Bất đẳng thức Nesbit 3 biến).
Cho , , 0a b c> . Chứng minh: 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ³
+ + +
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
45
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số:
, ,a b c
b c c a a b+ + +
và ( ) ( ) ( ), ,a b c b c a c a b+ + + ta được:
a b c
b c c a a b
æ ö÷ç + + ÷ç ÷çè ø+ + +
( ) ( ) ( ) ( )2a b c b c a c a b a b cé ù+ + + + + ³ + +ë û
Þ
( )
( )
2
2
a b ca b c
b c c a a b ab bc ca
+ +
+ + ³
+ + + + +
. (3)
Theo (2)Þ (3) Û 3
2
a b c
b c c a a b
+ + ³
+ + +
Þđpcm.
Đẳng thức xảy ra Û a b c= = .
Thí dụ 2.3.2 (Bất đẳng thức Nesbit 4 biến).
Cho , , , 0a b c d > . Chứng minh: 2a b c d
b c c d d a a b
+ + + ³
+ + + +
.
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số:
, , ,a b c d
b c c d d a a b+ + + +
và ( ) ( ) ( ) ( ), , ,a b c b c d c d a d a b+ + + +
ta đi đến: ( )
2a b c da b c d
b c c d d a a b ab bc ac bd cd ca da db
+ + +
+ + + ³
+ + + + + + + + + + +
. (4)
Đẳng thức trong (4) xảy ra Û a b c d= = = .
Ta chứng minh: VP(4) 2³ . (5)
Thật vậy (5) ( )2 2 4 2 4 2 2a b c d ab ac bc bd cd daÛ + + + ³ + + + + +
2 2 2 2 2 2a b c d ac bcÛ + + + ³ + ( ) ( )2 2 0a c b dÛ - + - ³ . (6)
Do (6) đúng nên (5) đúng và đẳng thức xảy ra
a c
b d
ì =ïïÛ íï =ïî
.
Từ (4),(5) Þ 2a b c d
b c c d d a a b
+ + + ³
+ + + +
Þđpcm.
Đẳng thức xảy ra Û đồng thời đẳng thức trong (4),(5) xảy ra Û a b c d= = = .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
46
Thí dụ 2.3.3 Cho , , , , 0a b c p q³ . Chứng minh:
3a b cM
pb qc pc qa pa qb p q
= + + ³
+ + + +
.
Bài giải
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số:
, ,a b c
pb qc pc qa pa qb+ + +
và ( ) ( ) ( ), ,a pb qc b pc qa c pa qb+ + +
ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2.M a pb qc b pc qa c pa qb a b cé ù+ + + + + ³ + +ë û
( )( ) ( )2.M p q ab bc ca a b cÛ + + + ³ + + . (7)
Từ (2),(7) 3M
p q
Þ ³
+
Þđpcm.
Đẳng thức xảy ra Û a b c= = .
Đặc biệt: Nếu 1p q= = thì từ thí dụ 2.3.3 ta thu được thí dụ 2.3.1.
Thí dụ 2.4 Cho , , 0x y z> và 1xyz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1M
x y z y z x z x y
= + +
+ + +
.
Bài giải
Đặt 1 1 1, ,a b c
x y z
= = = .
Theo giả thiết , , 0x y z> và 1xyz = , , 0a b cÞ > và 1abc= .
Khi đó:
3 3 3a bc b ca c abM
b c c a a b
= + +
+ + +
2 2 2a b c
b c c a a b
= + +
+ + +
.
Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho hai dãy số:
, ,a b c
b c c a a b+ + +
và , ,b c c a a b+ + + ta có:
( ) ( )2.M b c c a a b a b c+ + + + + ³ + +
( ) ( )22M a b c a b cÞ + + ³ + +
2
a b cM + +Þ ³ . (1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
www.VNMATH.com
47
Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: 33 3a b c abc+ + ³ = (do 1abc= ). (2)
Từ (1),(2) 3
2
MÞ ³ Þđpcm.
Đẳng thức xảy raÛ đồng thời đẳng thức trong (1),(2) xảy ra
1a b cÛ = = = 1x y zÛ = = = .
Vậy Min 3
2
M = khi 1x y z= = = .
Thí dụ 2.5 Cho , ,x y z Ρ thoả mãn:
x y z a
xy yz zx b
ì + + =ïïíï + + =ïî
. (*)
Chứng minh: { } { }ax , , , ,M x y z Min x y z- 24 3
3
a b£ - .
Bài giải
Do vai trò bình đẳng giữa , ,x y z nên ta có thể giả sử x y z£ £ .
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh có dạng: 24 3
3
z x a b- £ -
( ) ( ) ( )2 216 3
9
z x x y z xy yz zxé ùÛ - £ + + - + +ê úë û
( ) ( )2 2 2 29 16z x x y z xy yz zxÛ - £ + + - - -
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 29 8z x x y y z z xé ùÛ - £ - + - + -ê úë û ( ) ( ) ( )
2 2 28...