Giáo trình Thuyết tương đối rộng

LỜI NÓI ĐẦU
Ngày nay các nhà khoa học mô tả vũ trụ dựa trên hai lý thuyết cơ sở có tính riêng phần, đó là thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử. Hai lý thuyết đó là những thành tựu trí tuệ vĩ đại của nửa đầu thế kỷ này. Lý thuyết tương đối rộng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc cực vĩ của vũ trụ. Trái lại cơ học lượng tử lại mô tả những hiện tượng ở phạm vi cực kỳ nhỏ, cỡ một phần triệu của một centimét.
Cơ lượng tử nói riêng và vật lý lượng tử nói chung đã được giảng dạy thường xuyên cho sinh viên khoa toán và khoa lý ở cấp đại học. Trái lại thuyết tương đối rộng lại chưa được quan tâm thích đáng như vậy.
Tuy nhiên cùng với thời gian, thuyết tương đối rộng sẽ được dạy thường xuyên cho sinh viên chưa tốt nghiệp đại học và điều này là không thể tránh khỏi. Đây là lý thuyết khó – nhưng giống như những kỷ lục điền kinh năm mươi năm về trước những người bình thường hầu như không thể đạt được thì ngày nay các sinh viên đại học được luyện tập tốt có thể đạt được. Hoàn toàn giống như vậy đối với lý thuyết của Einstein được xác lập cách đây tám mươi lăm năm. Sau một thời gian dài thai nghén nó đã tìm con đường của mình vào thế giới vật lý của các trường đại học và dù ít dù nhiều nó cũng chiếm được vị trí thường xuyên trong thời khóa biểu dành cho sinh viên khoa vật lý và toán ứng dụng chưa tốt nghiệp đại học.
Ngày nay lý thuyết này được đánh giá là rất có giá trị và có thể tiếp thu được. Nó là đối tượng nghiên cứu nghiêm túc của sinh viên khoa vật lý và toán cũng như ai có sự quan tâm trên trung bình đối với lý thuyết này, kể cả những người sau này không có dự định trở thành nhà nghiên cứu.
Việc nhiều người học thuyết tương đối rộng có thể được xem như một thành công khác trong sự thành công toàn diện của lý thuyết này.
Tuy vậy việc dạy thuyết tương đối rộng cho sinh viên chưa tốt nghiệp đặt ra một số vấn đề đặc biệt như sau.
1. Nội dung của lý thuyết phải được hạn chế một cách rất hợp lý. Có nghĩa nêu đủ những nét cơ bản nhất, kể cả một số tiến bộ gần đây nhất nhưng lại không quá khó đối với sinh viên.
2. Giáo trình dành cho sinh viên đại học phải có tính kiểm tra được. Ngoài những bài tập thiên về kỹ thuật tính toán phải có thêm những bài tập đòi hỏi phải suy nghĩ để tìm ra lời giải mặc dù bài tập loại này là rất khó.
3. Có sự liên hệ chặt chẽ với những kiến thức của bộ môn vật lý khác để giúp cho sinh viên hiểu sâu hơn những điều đã học, giúp sinh viên vận dụng tốt những kiến thức đã học khi ra dạy tại các trường phổ thông
4. Cung cấp một nền tảng nhất định để giúp sinh viên nghiên cứu sâu hơn
khi có nguyện vọng
Dựa trên tinh thần như vậy tác giả xây dựng giáo trình thuyết tương đối rộng
dành cho sinh viên khoa Vật Lý Đại học Sư phạm. Trong quá trình biên soạn tác giả đã tham khảo các giáo trình của các trường đại học sau:
1. Trường đại học Princeton
Misner – Thorne – Wheeler: Gravitation. Freeman and company – Repinted 1999.
2.Trường đại học Cradiff.
Schutz: First course in general relativity
6
Cambridge University Press – Reprinted 1999.
3.Trường đại học Southompton.
D’inverno: Introducing Einstein’s relativity Oxford University Press – Reprinted 1996.
4.Trường tổng hợp Oxford
Hughston – Tod: Introduction to general relativity Cambridge University Press – Reprinted 2000.
5.Trường công nghệ Massachusetts.
Weinberg : Gravitation and Cosmology Wiley & Sons Inc – Reprinted 2000.
Trong quá trình biên soạn tác giả được sự giúp đỡ rất nhiệt tình của các đồng nghiệp. Cho phép tác giả được Thank thầy Phạm Văn Đổng, thầy Lý Vĩnh Bê, thầy Thái Khắc Định, cô Trần Quốc Hà đã giúp đỡ rất nhiều từ lúc thai nghén cho tới lúc giáo trình được in. Tác giả xin Thank giáo sư Nguyễn Ngọc Giao – người thầy kính mến của tác giả - đã có nhiều góp ý rất bổ ích về nội dung của giáo trình.
Tác giả Thank sự nhiệt tình của sinh viên Nguyễn Thị Nhị Hà và Nguyễn Thị Hằng trong việc đánh máy bản thảo đồng thời gửi lời Thank tới anh Tom Nguyễn – việt kiều Mỹ – đã giúp đỡ rất nhiều trong việc tìm tài liệu tham khảo.
Do lần đầu biên soạn nên sai sót là điều khó tránh khỏi. Tác giả biết ơn các bạn đọc góp ý để giáo trình ngày một tốt hơn
Cuối cùng cho phép tác giả viết lại lời của Stephan Hawking – nhà vật lý lý thuyết xuất sắc nhất hiện nay:
Tám mươi năm về trước nếu tin lời Eddington thì chỉ có hai người hiểu được thuyết tương đối rộng. Ngày nay hàng vạn sinh viên đại học hiểu được lý thuyết đó và hàng triệu người ít nhất đã làm quen với thuyết tương đối rộng.
Khi một lý thuyết được phát minh thì chỉ còn là vấn đề thời gian để cho lý thuyết đó được thấu triệt rồi đơn giản hóa và giảng dạy trong nhà trường ít nhất là những nét cơ bản. Và mọi người chúng ta sẽ đủ khả năng có được một kiến thức nhất định về những định luật trị vì vũ trụ và điều hành cuộc sống của chúng ta.
NỘI DUNG CỦA GIÁO TRÌNH BAO GỒM
Chương I : Phép tính tenxơ trong không gian Riemann.
Mục đích của chương này là cung cấp cho sinh viên những kiến thức cần thiết về công cụ toán học chính của thuyết tương đối rộng. Sinh viên được trang bị về các phép tính như : Đạo hàm hiệp biến, đạo hàm lie, đạo hàm tuyệt đối một tenxơ... trong không gian cong, 4 – chiều
Chương II : Phương trình Einstein
Trong chương này sinh viên sẽ được học theo đúng cách mà Einstein đã làm cách đây tám mươi lăm năm là xây dựng phương trình từ nguyên lý tác dụng tối thiểu. Ta sẽ nhận được phương trình vi phân bậc hai phi tuyến mang tên Einstein.
Chương III : Nghiệm Schwarzchild.
Sinh viên sẽ được học cách giải phương trình Einstein để tìm ra nghiệm Schwarzchild. Trong quá trình giải mọi tính toán quá phức tạp sẽ được bỏ bớt nhằm
7
Lê Nam

giúp cho sinh viên tiếp thu dễ dàng hơn. Sau đó sinh viên sẽ được làm quen với ba hệ quả quan trọng:
- Giải thích tận tốc quỹ đạo kỳ lạ của sao thuỷ mà cơ học Newton không giải quyết được.
- Sự truyền của tia sáng trong không – thời gian cong quanh mặt trời. - Thời gian dường như trôi chậm tại nơi có trường hấp dẫn lớn hơn.
Chương IV : Lỗ đen
Một trong những vật thể kỳ lạ nhất trong tự nhiên chính là lỗ đen. Chương này sẽ giới thiệu cho sinh viên về vùng không - thời gian quanh lỗ đen không quay và lỗ đen quay. Đó là lỗ đen Schwarzchild và lỗ đen Kerr.
Chương V : Sóng hấp dẫn.
Khi ta giải gần đúng phương trình Einstein cho chân không ta sẽ được nghiệm mô tả quá trình sóng. Đó là sóng hấp dẫn. Tuy nhiên cho đến ngày hôm nay các nhà vật lý thực nghiệm vẫn chưa đo được sóng hấp dẫn.
Chương VI : Vũ trụ học tương đối tính.
Chương này giới thiệu phương trình Friedman và từ đây ta tính được ba mô hình vũ trụ hiện nay. Đó là mô hình vũ trụ Mở, vũ trụ Phẳng, và vũ trụ Đóng.
Chương trình trên tương ứng với 45 tiết lên lớp dành cho sinh viên khoa vật lý năm thứ tư.
Chương VII : Phụ lục và bài tập
8

CHƯƠNG I
PHÉP TÍNH TENXƠ Người ta hay dùng các chữ sau để ký hiệu chỉ số:
i,j,k,l,n,m,...
α,β,γ,μ,ν,...
a,b,c,d,e,...
Trong biểu thức nếu chỉ số chỉ lặp lại có 1 lần thì chỉ số gọi là chỉ số tự do. - free index
Ya.Xca b
Tathấybvàc làchỉsốtựdovìnóchỉlặplạimộtlầnchỉsốĠđượclặplại hai lần. Điều này có nghĩa ta phải lấy tổng theo chỉ số đó.
Ví dụ:
Υ a.Χca =Υ 0.Χc0 +Υ 1.Χc1 +Υ 2.Χc2 +Υ 3.Χc3 bbbbb
với Ġ
(chỉ số lấy tổng gọi là chỉ số câm - dummy index.)
§2. MA TRẬN CHUYỂN TỌA ĐỘ
Xét không gian n chiều. Ta có hai hệ tọa độ cũ và mới được ký hiệu như sau:
Hệ tọa độ cũ : Ġ Hệtọađộmới :Ġ
Ta có phương trình liên hệ giữa tọa độ mới và cũ:
xa→xa : xa=fa(x1,x2,...,xn)≡xa(x) (1)
Như đã biết trong phần giải tích định thức Jacobi sẽ bằng không nếu các tọa độ mới phụ thuộc tuyến tính với nhau.
Nếu cácĠ độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero.
§1. QUY TẮC CHỈ SỐ
⎛∂x1 ∂x1 ∂x1 ⎜ ∂x1 ∂x2 .....∂xn
⎞ ⎟
⎟
⎟ ⎛∂xa ⎞
∂xn ⎟=⎜∂xb ⎟ (2)
⎜∂x2 ∂x2 ∂x2
⎜
⎜∂x1 ∂x2
.....
⎜ .....................
⎟ ⎝ ⎠
⎜∂xn ∂xn ∂xn
⎟
.....
Định thức của ma trận chuyển tọa độ gọi là Jacobi và ký hiệu là:
J=∂xa ≠0 avaøb=1,2,...,n (3) ∂xb
⎜
⎝∂x1 ∂x2
⎟ ∂xn ⎠
9

Hoàn toàn tương tự ta có phép biến đổi ngược từ mới về cũ:
xa→xa: xa=xa(x) J=∂xa ≠0 (4)
∂xb
Ta nhận thấy khi nhân hai ma trận trên với nhau sẽ cho ma trận đơn vị
∂xa ∂xb a
. = (phaànt)öcû= δac
∂xb ∂xc
Trongđó δca =δac =δac = 10 a=c (6)
Ký hiệu Kronecker a ≠ c
§3. TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN
1. Để đơn giản ta xét không gian hai chiều phẳng với tọa độĠ và hai véctơ cơ sởĠ như hình vẽ.
Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả
vectơĠ
A2 Ar erA2
2 θ2 θ1
er1 A1 A1
1. Chiếu vuông góc véctơ Ġ lên hai trục ta được
A = Acosθ = A.e 11r1
A =Acosθ =A.e 222
rr
Chiếu véctơĠsong song theo từng trục ta được Ġkhi đó:
r
1r 2r A = A .e + A e
12
r
Như vậy nếu biếtĠ và Ġ ta đều xác định được véctơĠ r A ,A goïi laø thaønh phaàn hieäp bieán cuûa veùctô A
12
r
12
A ,A goïi laø thaønh phaàn phaûn bieán cuûa veùctô A
Ta viếtĠ hay Ġ
Về thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biếnĠ nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới thành phần hiệp biến của nó. Tương tự cho véctơ phản biến.
Nói chungĠ. Tuy nhiên trong không gian phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc nhau thì thành phần hiệp biến và phản biến bằng nhau. Không gian Euclide với hệ tọa độ Descartes.
2.Xét không gian n chiều.
Điểm P có các tọa độ làĠ Còn Q có tọa độ làĠ

Click to expand...

Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:

Click to expand...

Trích dẫn từ toanduong794:

Xin link download bạn

Click to expand...