miuxinh241
New Member
Download miễn phí Chuyên đề Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
MỤC LỤC
MỤC LỤC . 1
LỜI MỞ ĐẦU. 2
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT. . 3
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH . 28
IV. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ . 32
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP . 32
BÀI TậP ÁP DụNG . 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 47
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
:Với dãy số này nếu ta đặt = + .2nn nu x y thì khi thay vào công thức truy hồi của dãy
ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài toán này.
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: - - -- - - =1 1 2( 2 ) 2( 2 ) 3.2nn n n nu u u u
Đặt -= - 12n n nx u u , ta có: -- =12 3.2nn nx x . Áp dụng kết quả 2, ta có:
1(6 5).2nnx n -Þ = - 112 (6 5).2nn nu u n --Þ - = -
1
1 1 2 1 0 0( 2 ) 2( 2 ) ... 2 ( 2 ) 2 .n nn n n n nu u u u u u u u-- - -Þ = - + - + + - +
1 1
1 1
2 (6 5) 2 2 6 5 2
n n
n n n
i i
i i n- -
= =
é ù
= - + = - +ê ú
ê úë û
å å
1 2 1
( 1)6 5 2 2 (3 2 2)22
n nn n n n n- -é ù+= - + = - +ê ú
ë û
.
Lưu ý : Từ CTTQ của dãy ( )nu ta có thể giải bài toán trên theo cách khác như sau
Đặt 2.2nn nu x yn= + . Ta có: 1 24 4 2 .2 3.2n nn n nx x x y- -- + + = . Ta chọn
3
2y =
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 15 -
0 1
1 2
1; 0( ) : 4 4 0 2n n n n
x xx x x x n- -
ì = =ïÞ í - + = " ³ïî
. Áp dụng kết quả 4, ta được
1 1 2 1 2 1(2 2 )2 (2 2 ).2 3 .2 (3 2 2)2n n n nn nx n u n n n n- - - -= - Þ = - + = - + .
Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:
Dạng 8: Cho dãy số ( )nu xác định bởi:
0 1
1 2
;
. . . ; 2nn n n
u u
u b u c u d na- -
ìï
í
+ + = " ³ïî
. Để xác
định CTTQ của dãy ( )nu ta làm như sau:
· Nếu phương trình : 2 0 (1)X bX c+ + = có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt
2 .
n
n n
du x
a b c
a a
a a
= +
+ +
, ta có: 1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .
Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .
· Nếu x a= là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt:
2
.2
n
n n
du x nb c
a a= -
+
, ta có:
1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .
· Nếu x a= là nghiệm kép của (1) thì ta đặt:
2
2. .4
n
n n
du x nb c
a a
a
= +
+
, ta có:
1 1. . 0n n na x bx c x+ -+ + = .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được n nx uÞ .
Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau
Dạng 9: Cho dãy ( ) :nu 1 2 3
2 1 1
, ,
0 2n n n n
u x u y u z
au bu cu du n+ + -
ì = = =ï
í + + + = " ³ïî
.Để xác định CTTQ
của dãy ta xét phương trình: 3 2 0ax bx cx d+ + + = (1) ( (1)gọi là phương trình đặt
trưng của dãy).
· Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 1 2 3, , n n nnx x x u x x xa b gÞ = + + . Dựa vào
0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g .
· Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: 1 2 3 1 3( ) .n nnx x x u n x xa b g= ¹ Þ = + +
Dựa vào 0 1 2, ,u u u ta tìm được , ,a b g .
· Nếu (1) có nghiệm bội 3 21 2 3 1( ) nnx x x u n n xa b g= = Þ = + + . Dựa vào 0 1 2, ,u u u
ta tìm được , ,a b g .
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 16 -
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy ( ) :nu 1 2 3
1 2 3
0, 1, 3,
7 11. 5. , 4n n n n
u u u
u u u u n- - -
ì = = =ï
í = - + " ³ïî
Giải : Xét phương trình đặc trưng : 3 27 11 5 0x x x- + - =
Phương trình có 3 nghiệm thực: 1 2 31, 5x x x= = =
Vậy 5nna na b g= + +
Cho 1, 2, 3n n n= = = và giải hệ phương trình tạo thành, ta được
1 3 1, , 16 4 16a b g= - = =
Vậy ( ) 11 3 11 .5
16 4 16
-= - + - + nna n .
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số 0 1 1
0 1 1
2; 2( ),( ) : 11; 2
n n n
n n
n n n
u u u vu v nv v u v
- -
- -
ì = = +ï " ³í = = +ïî
.
Giải:
Ta có: 1 2 2 1 2 1 22 2 2 2( 2 )n n n n n n n nu u u v u u u u- - - - - - -= + + = + + -
1 24 3n n nu u u- -Þ = - và 1 5u =
Áp dụng kết quả 4, ta có:
1 1
1
1 3 1 322 2
n n
n n n nu v u u
+ +
+
+ - +
= Þ = - = .
Tương tự ta có kết quả sau:
Dạng 10: Cho dãy 1 1
1 1
( ),( ) :
n n n
n n
n n n
x px qy x ax y y ry sx y b
+
+
ì = + =ï
í = + =ïî
. Để xác định CTTQ của hai
dãy ( ),( )n nx y ta làm như sau:
Ta biến đổi được: 1 1( ) ( ) 0n n nx p s x ps qr x+ -- + + - = theo kết quả 4 ta xác định được
nx , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được ny .
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 17 -
Ta đưa vào các tham số phụ l , 'l
1 1
1 1
( )( )
'' ( ' )( )'
n n n n
n n n n
q rx y p s x ys p
q rx y p s x yp s
ll l
l
ll l
l
+ +
+ +
ì -
- = - -ïï -Þ í +ï + = + +
ï +î
Ta chọn l , 'l sao cho 1 1
1 1
( )( )
' ' ( ' )( ' )' '
n n n n
n n n n
q r
x y p s x ys p
q r x y p s x y
s p
ll l l ll
l l l ll
l
+ +
+ +
ì -
=ï ì - = - -ï ï- Þí í+ + = + +ïï î=
ï +î
1 1 1 1
1 1 1 1
( ) ( )
' ( ' ) ( ' )
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
l l l
l l l
+ +
+ +
ì - = - -ï
í
+ = + +ïî
giải hệ này ta tìm được ( ) ( ), n nx y .
Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy
1
1
1
1
( ) : 2 23 4
n n
n
n
u
u uu nu
-
-
ì =
ï
í = " ³ï +î
.
Giải: Ta có 1
1 1
3 41 3 122 2
n
n n n
u
u u u
-
- -
+
= = + . Đặt 1n
n
x u= , ta có:
1
1
1
32 2n n
x
x x -
ì =
ï
í
= +ïî
. Áp dụng kết quả 1, ta được:
1
1
5.2 3 2
2 5.2 3
n
n n nx u
-
-
-
= Þ =
-
Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số
1
1
1
2
( ) : 9 24 25 13
n n
n
n
u
u uu nu
-
-
ì =
ï - -í = " ³ï +î
.
Giải: Bài toán này không còn đơn giải như bài toán trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do,
do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng
cách đặt n nu x a= + . Thay vào công thức truy hồi, ta có:
2
1 1
1 1
9 9 24 ( 9 5 ) 5 22 24
5 5 13 5 5 13
n n
n n
n n
x a a x a ax a xx a x a
- -
- -
- - - - - - - -
+ = Þ =
+ + + +
Ta chọn 2 1: 5 22 24 0 2 4a a a a x+ + = Þ = - Þ =
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 18 -
1
1
1
1 1
1 3 1 11.3 10 455 3 4 11.3 10
n
n
n n n
n n n n
xx xx x x x
-
-
-
- -
-
Þ = Þ = + Þ = Þ =
+ -
1
1
22.3 242
11.3 10
n
n n nu x
-
-
- +
Þ = - =
-
.
Dạng 11: Cho dãy (xn): 11
1
; 2nn
n
pu qu u nru sa
-
-
+
= = " ³
+
. Để tìm CTTQ của dãy (xn)
ta làm như sau:
Đặt n nu x t= + , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
2
1 1
1 1
( ) ( )n n
n
n n
px pt q p rt x rt p s t qx tru rt s rx rt s
- -
- -
+ + - - + - +
= - =
+ + + +
(1).
Ta chọn 2: ( ) 0t rt s p t q+ - - = . Khi đó ta chuyển (1) về dạng:
1
1 1
n n
a bx x -
= +
Áp dụng kết quả 1, ta tìm được 1
nx
, từ đó suy ra n nx uÞ .
Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số 1
1
2( ),( ) : 1n n
uu v v
ì =ï
í =ïî
và
2 2
1 1
1 1
2 22
n n n
n n n
u u v nv u v
- -
- -
ì = +ï " ³í
=ïî
.
Giải:
Ta có:
2 2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 1
2 2 ( 2 )
2 2 2 2 ( 2 )
n n n n n n n
n n n n n n n
u u v u v u v
v u v u v u v
- - - -
- - - -
ìì = + + = +ï ïÞí í
= - = -ï ïî î
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 ( 2 ) (2 2)
2 ( 2 ) (2 2)
n n
n n
n n
n n
u v u v
u v u v
- -
- -
ì + = + = +ïÞ í
ï - = - = -î
1 1
1 1
2 2
2 2
1 (2 2) (2 2)2
1 (2 2) (2 2)
2 2
n n
n n
n
n
u
v
- -
- -
ì é ù= + + -ï ê úï ë ûÞ í é ùï = + - -ê úë ûïî
.
Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 19 -
Nhận xét: Từ
2
1
2 22 2
11 11 1
1 1 1 1 1
1
2
22
2 2 2
n
nn n nn n n
n n n n n n n
n
u
vu u vu u v
v u v v u v u
v
-
-- -- -
- - - - -
-
æ ö
+ç ÷ç ÷ì += +ï è øÞ = =í
= æ öïî ç ÷ç ÷
è ø
Do vậy nếu ta đặt nn
n
ux v= ta được dãy số
1
2
1
1
2
( ) : 2
2
n n
n
n
x
x xx x
-
-
ì =
ï
+í
=ï
î
. Ta có bài toán sau:
Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số
1
2
1
1
2
( ) : 2 22
n n
n
n
x
x xx nx
-
-
ì =
ï
+í
= " ³ï
î
.
Giải:
Xét hai dãy 1
1
2( ),( ) : 1n n
uu v v
ì =ï
í =ïî
và
2 2
1 1
1 1
2 22
n n n
n n n
u u v nv u v
- -
- -
ì = +ï " ³í
=ïî
.
Ta chứng minh nn
n
ux v= (*).
· 22
2
2 2 2un x nv= Þ = = Þ = (*) đúng.