bobotinhnghich
New Member
Download miễn phí Giáo trình Thống kê toán C1
§3. ỨNG DỤNG
I. Ứng dụng của Cấp sốcộng và cấp sốnhân
1. Tỉsuất
Đặt vấn đề:Trong toán tài chính hay trong ngân hàng, kinh tếngười ta thường nói với
nhau là cái này có giá trịtăng 10% so với giá cũhay lãi suất ngân hàng là 5% trong
thời hạn 1 năm hay nền kinh tếtăng trưởng là 12% trong năm nay v.v
Vậy thì phần trăm có ý nghĩa là gì và tại sao người ta hay dùng nó?.
Tỉsuất chỉ đơn giản là sựbiểu thịmột sốr theo dạng r/100 gọi là r% của một số.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
.
III. Hàm số liên tục
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho f là một hàm số liên tục trong khoảng (a, b ), x0 là một điểm thuộc
( a, b). Người ta nói rằng hàm số f liên tục tại x0 nếu:
( ) ( )
0
0lim
x x
f x f x
→
= . (1)
Nếu hàm số f không liên tục tại x0, ta nói rằng nó gián đoạn tại x0.
Nếu đặt: ( ) ( )0 0, x x x y f x f x= + ∆ ∆ = − , thì đẳng thức (1) có thể viết là:
( ) ( )
0
0lim 0
x x
f x f x
→
− = hay 0lim 0x y∆ → ∆ = .
Ví dụ 31. Chứng minh hàm số 2y x= liên tục tại mọi 0x ∈ .
Ta có: x∀ ∈ đặt ( ) ( )2 22 2 20 0 0 0 0 0 0 thì , 2x x x y x y x x x x x x x x= + ∆ = ∆ = − = + ∆ − = ∆ + ∆ ;
00 0 0 0
lim 2 . lim lim . lim 0
x x x x
y x x x x
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
∆ = ∆ + ∆ ∆ = (đpcm).
Ví dụ 32. Chứng minh hàm số siny x= liên tục tại mọi 0x ∈ .
Ta có: 0x ∈ , đặt ( )0 0 0 0 0 0 thì sin , sin sin sin sinx x x y x y x x x x x= + ∆ = ∆ = − = + ∆ − =
02sin cos 2 sin2 2 2
x x x
x
∆ ∆ ∆
= + ≤
.
Do đó
0
lim 0
x
y
∆ →
∆ = .
Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên
tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó.
Nhận xét: Để dễ dàng trong tính tóan người ta thường phát biểu định nghĩa 1 dưới
dạng sau:
i) f(x0) phải xác định
ii)
0x x
lim f (x)
→
phải tồn tại
iii)
0
0
x x
lim f (x) f (x )
→
=
Ví dụ 33. Xét sự liên tục của các hàm số sau
Simpo PDF Merge and Split Unregistered phiên bản -
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM
18
2
2
2
a) f (x) x 2x 3
x 9b)g(x)
x 5x 6
= − +
−
=
− +
Giải.
a) Ta có 2f (x) x 2x 3= − + là một hàm số sơ cấp nên xác định, có giới hạn fx D∀ ∈ .
Nên hàm số liên tục tại mọi x thuộc tập xác định Df
b) Ta có
2
2
x 9g(x)
x 5x 6
−
=
− +
là một phân thức hữu tỉ ( là một dạng của hàm số sơ cấp)
nên hàm số xác định, có giới hạn { }fx D \ 2,3∀ ∈ = . Nên hàm số cũng liên tục tại
mọi x thuộc Df. Riêng tại x=2, 3 ta nghi ngờ rằng hàm số có hay không liên tục nên ta
làm như sau:
* Khi x= 3 thì ta kiểm tra 3 điều kiện của hàm liên tục:
i)
2
2
x 9 0g(x) g(3)
x 5x 6 0
−
= ⇒ =
− +
không xác định nên ta có thể bỏ qua 2 điều kiện kia
và kết luận hàm số không liên tục tại x=3.
* Tương tự khi x=2.
Ví dụ 34. Xét tính liên tục của hàm số f (x) x= .
Định nghĩa 2. (Liên tục trái, phải)
* Liên tục trái
Một hàm số f được gọi là liên tục trái tại một điểm x =c thuộc Df nếu thỏa mãn 3 điều
kiện sau
- f(c) được định nghĩa ( xác định).
-
x c
lim f (x)
−→
phải tồn tại.
-
x c
lim f (x) f (c)
−→
= .
Ta phát biểu tương tự cho trường hợp liên tục phải.
Định nghĩa 2. Hàm số f được gọi là liên tục trong khoảng mở ( a, b) nếu nó liên tục tại
mọi điểm của khoảng đó; được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a, b] nếu nó liên tục
tại mọi điểm của khoảng mở (a, b), liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
Ví dụ 35. Tìm tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số f(x) không liên tục
Simpo PDF Merge and Split Unregistered phiên bản -
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM
19
2
2
2
x 1 x 1
a)f (x) x 3x 4 1 x 3
5 x x 3
xb)g(x)
x 1
x 3
c)k(x)
x 3x
+ <= − + ≤ ≤
− >
=
+
+
=
+
2. Các phép toán về hàm số liên tục
Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục
tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra:
Định lý 12. Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x0 thì:
a) f + g liên tục tại x0.
b) f.g liên tục tại x0.
c) f
g
liên tục tại x0 nếu ( ) 0g x ≠ .
Định lý 13.Nếu hàm số ( )u xϕ= liên tục tại x0, hàm số ( )y f u= liên tục tại
( )0 0u xϕ= thì hàm số hợp ( )( ) ( )y f g x f xϕ= = liên tục tại x0.
Ví dụ 36. Xét tính liên tục của các hàm số sau:
sinx
,khi x 0
xa)f (x)
1 ,khi x 0
1
sin ,khi x 0b)f (x) x
a ,khi x 0
≠=
=
≠=
=
( )
2
3x
1 cosx
,khi x
x-
c)f (x)
1
,khi x
2
ln(1 2x)
,khi x 0
1 ed)f (x)
2
,khi x 0
3
+ ≠ pi pi=
= pi
+ > − +=
≤
2.1 Tính chất của hàm số liên tục
Các định lý sau đây nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục.
Định lý 14. Nếu hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [a, b] thì nó bị chặn trong đoạn đó,
tức là tồn tại hai số m và M sao cho
( ) [ ] ,m f x M x a b≤ ≤ ∀ ∈ .
Định lý 15. Nếu hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [a, b] thì nó đạt giá trị nhỏ nhất m và
giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn đó, tức là tồn tại hai điểm [ ]1 2, ,x x a b∈ sao cho:
( ) ( ) [ ]1 , ;f x m f x x a b= ≤ ∀ ∈
( ) ( ) [ ]2 ,f x M f x x a b= ≥ ∀ ∈ .
Simpo PDF Merge and Split Unregistered phiên bản -
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM
20
Định lý 16. ( Định lý về giá trị trung gian) Nếu hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [a, b],
m và M là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của nó trên đoạn đó thì mọi số µ nằm giữa
m và M, luôn tồn tại điểm [ ],a bξ ∈ sao cho: ( )f ξ µ= .
Hệ quả. Nếu ( )f x liên tục trên [a, b], ( ) ( ). 0f a f b < thì trong khoảng (a, b) tồn tại
một điểm ξ sao cho ( ) 0f ξ = .
Chú ý: Dùng tính chất của hàm số liên tục, ta chứng minh được các công thức sau:
( )
0
ln 1
lim 1
α
α
α→
+
= ;
0
1lim 1e
α
α α→
−
= ;
0
1lim lna a
α
α α→
−
= . Từ đó ta có thể suy ra rằng nếu
( ) 0xα → khi x a→ thì khi x a→ :
( )( ) ( )ln 1 x xα α+ ∼ ;
( ) ( )1xe xα α− ∼ ;
( ) ( )1 lnxa x aα α− ∼ .
2.2 Các ví dụ
Ví dụ 37. Tính
22 3lim
4 2x
x
x→±∞
+
+
Khi x → ±∞ , các tử số và mẫu số đều là các VCL. Theo nguyên tắc ngắt bỏ các VCL
2 2 22 3 2lim lim lim .
4 2 4 4x x x
xx x
x x x→±∞ →±∞ →±∞
+
= =
+
Vậy
22 3 2lim
4 2 4x
x
x→+∞
+
=
+
,
22 3 2lim
4 2 4x
x
x→−∞
+
= −
+
Ví dụ 38. Tìm
2
3lim 5
x
x
x
+
→±∞
.
Ta có
2 2lim 23 3lim 5 5 5 25x
x x
x x
x
→±∞+ +
→±∞
= = =
Ví dụ 39. Tìm
31
2 2lim .
26 3x
x
x→
−
+ −
Ta phải khử dạng vô định 0
0
. Đặt 326 x z+ = , suy ra 3 26x z= − .
Khi 1x → thì 3 27z → hay 3z → . Ta có
( ) ( ) ( )( ) ( )
3 3 23
2
3
2 26 2 2 27 2 3 3 92 2 2 54 2 3 9
3 3 3 326 3
z z z z zx z
z z
z z z zx
− − − − + +
− −
= = = = = + +
− − − −+ −
khi 3.z ≠
Vậy ( )231 32 2lim lim 2 3 9 5426 3x z
x
z z
x→ →
−
= + + =
+ −
Ví dụ 40. Tìm
6
sin
6lim .
3 2cosx
x
xpi
pi
→
−
−
Simpo PDF Merge and Split Unregistered phiên bản -
Bộ môn Tóan- Thống kê Khoa Kinh Tế-Luật ĐHQG Tp.HCM
21
Đặt ( )
sin
6
,
3 2cos
x
f x
x
pi
−
=
−
có dạng 0
0
khi
6
x
pi
→ . Đặt .
6
x z
pi
− = Khi
6
x
pi
→ thì 0z → . Ta
có
( )
2
2sin cos
sin sin 2 2
3 3 cos sin 3.2sin 2sin cos3 2cos
2 2 26
z z
z zf x
z z zz zz
pi
= = = =
− + +
− +
cos
2
3 sin cos
2 2
z
z z
=
+
(khi 0z ≠ ).
Vậy ( )
0
6
cos
2lim lim 1
3 sin cos
2 2
z
x
z
f x
z zpi →→
= =
+
Ví dụ 41. Tìm 30
sinlim .
x
tgx x
x→
−
Đặt ( ) 3sin ,tgx xf x
x
−
= ta có dạng 0
0
khi 0x → . Ta có
( ) ( )
2
3 3 3
2sin .sinsin 1 cossin sin cos 2
.
cos cos cos
x
xx xx x xf x
x x x x x x
−
−
= = =
khi
2 2
20,sin ,sin
2 2 4
x x x
x x x
→ =
∼ ∼
Vậy ( )
2
2
3 30 0 0 0
2sin .sin 2 . 2 12 4lim lim lim lim .
cos cos 4cos 2x x x x
x x
x x
...