little_chick
New Member
Download miễn phí Giáo trình môn Giải tích 1
Giải tích 1
Mục lục
Chương I. Số thực - Dãy số
1. Số thực . 1
2. Dãy số . 5
3. Các định lý cơ bản . 10
4. Các ví dụ . 11
Chương II. Giới hạn và tính liên tục
1. Hàm số. 17
2. Giớ hạn của hàm . 25
3. Hàm số liên tục. 31
Chương III. Phép tính vi phân
1. Đạo hàm - Vi phân . 37
2. Các định lý cơ bản . 39
3. Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor . 41
4. Một số ứng dụng . 43
Chương IV. Phép tính tích phân
1. Nguyên hàm - Tích phân bất định . 57
2. Tích phân xác định . 67
3. Một số ứng dụng . 75
4. Tích phân suy rộng . 79
Chương V. Chuỗi số
1. Chuỗi số. 85
2. Các dấu hiệu hội tụ . 89
Bài tập . 95
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
dx =x
2
√
x2 + a2 +
a2
2
lnx +
√
x2 + a2| + C
Bài tập: Tính:
∫
dx√
a2 − x2 ,
∫
dx√
x2 ± a2 .
Ví dụ. Dạng
∫
fα(x)f ′(x)dx, tính bằng đổi biến.
a)
∫
x2
√
x3 + 5 =
∫
(x3 + 5)
1
2
d(x3 + 5)
3
=
1
3
2
3
(x3 + 5)
3
2 + C.
b)
∫
sin4 x cos xdx =
∫
sin4 xd(sinx) =
sin5 x
5
+ C.
c)
∫
tanxdx =
∫ sinx
cos x
dx = −
∫
d(cosx)
cosx
= − ln | cos x| + C
Bài tập: Tính:
∫
(ax + b)αdx,
∫
cos3 x sinxdx,
∫
cotan xdx.
Ví dụ. Các dạng
∫
P (x) lnxdx,
∫
P (x)eaxdx,
∫
P (x) sin axdx,
∫
P (x) cos axdx,
trong đó P là đa thức, có thể dùng tích phân từng phần.
a) Tính In =
∫
xn lnxdx.
Khi n = −1, tích phân từng phần, đặt
u = lnx ⇒ du = dx
x
dv = xndx v =
xn+1
n + 1
Ta có In =
xn+1
n + 1
lnx− 1
n + 1
∫
xndx =
xn+1
n + 1
lnx− x
n+1
(n + 1)2
+ C
Khi n = −1, I−1 =
∫ lnx
x
dx =
∫
lnxd(lnx) =
ln2 x
2
+ C
b) Tính I =
∫
(x2 + x + 1) sinxdx. Tích phân từng phần với
u = x2 + x + 1 ⇒ du = (2x + 1)dx
dv = sinxdx v = − cos x
Ta có I = −(x2 + x + 1) cos x +
∫
(2x + 1) sinxdx.
Tích phân từng phần lần nữa, đặt
Chương IV. Phép tính tích phân 61
u = 2x + 1 ⇒ du = 2dx
dv = cos xdx v = sinx
Ta có
∫
(2x+1) sinxdx = (2x+1) sinx−2
∫
sinxdx = (2x+1) sinx+2 cos xdx+C.
Thay vào, ta có I = −(x2 + x + 3) cos x + (2x + 1) sinx + C.
c) Tính A =
∫
eax cos bxdx, B =
∫
eax sin bxdx.
Tích phân từng phần, với dv = eaxdx, ta có
A =
1
a
eax cos bx +
b
a
∫
eax sin bxdx =
1
a
eax cos bx +
b
a
B
B =
1
a
eax sin bx− b
a
∫
eax cos bxdx =
1
a
eax sin bx − b
a
A
Từ đó suy ra
A =
∫
eax cos bxdx =
b sin bx + a cos bx
a2 + b2
eax + C
B =
∫
eax sinxdx =
a sin bx − b cos bx
a2 + b2
eax + C
Nhận xét. Ta có
∫
P (x) sin axdx = A(x) sin ax + B(x) cos ax + C, với A, B là các
đa thức bậc < bậc P . Từ đó có thể đạo hàm 2 vế để xác định các hệ số của A, B.
Bài tập: Xác định dạng của các tích phân nêu ở đầu ví dụ. Dựa vào đó, dùøng
đạo hàm để tính lại các ví dụ trên.
Bài tập: Tích phân các hàm sơ cấp: lnx, arctanx, arcsinx.
Ví dụ. Công thức qui nạp cho In = In(a) =
∫
dx
(x2 + a2)n
(n ∈ N)
Ta có I1 =
∫
dx
x2 + a2
=
1
a
arctan
x
a
+ C.
Khi n > 1 có thể tích phân từng phần:
In =
1
a2
∫
x2 + a2
(x2 + a2)n
dx− 1
a2
∫
x.x
(x2 + a2)n
dx
=
1
a2
In−1 − 1
a2
(
− x
2(n− 1)(x2 + a2)n−1 +
1
2(n− 1)In−1
)
Từ đó ta có công thức qui nạp:
In =
1
2a2(n− 1)
x
(x2 + a2)n−1
− 2n− 3
2a2(n− 1)In−1
62
1.4 Kỹ thuật tính tích phân các lớp hàm đặc biệt.
1
• Tích phân hàm hữu tỉ .
Thuật toán Bernoulli tích phân hàm hữu tỉ
P (x)
Q(x)
.
Bước 1: Chia đa thức
P (x)
Q(x)
= M(x) +
P1(x)
Q(x)
,
trong đó M(x) là đa thức, bậc đa thức P1(x) < bậc đa thức Q(x).
Bước 2: Phân tích mẫu thành các thừa số bậc một hay bậc hai
Q(x) = A(x− a)m · · · (x2 + px + q)n · · ·
trong đó các a là các nghiệm của Q, và các p, q thỏa p2 − 4q < 0.
Bước 3: Phân tích thành các phân thức hữu tỉ dạng
P1(x)
Q(x)
=
A1
x− a + · · ·+
Am
(x− a)m + · · ·
+
B1x + C1
x2 + px + q
+ · · ·+ Bnx + Cn
(x2 + px + q)n
+ · · ·
trong đó các Ai, Bi, Ci có thể tìm được bằng phương pháp hệ số bất định
2
Bước 4: Tính các tích phân cơ bản dạng
I.
1
x− a II.
1
(x− a)m III.
Bx + C
x2 + px + q
IV.
Bx + C
(x2 + px + q)n
(p2 − 4q < 0)
Mệnh đề. Tích phân của hàm hữu tỉ là tổng các hàm: hữu tỉ, logarithm và arctang.
Chứng minh: Theo Bước 1, ta có
∫
P (x)
Q(x)
dx =
∫
M(x)dx +
∫
P1(x)
Q(x)
dx.
Tích phân
∫
M(x)dx là đa thức.
Các tích phân ở Bước 4 có phương pháp tính như sau:
Dạng I.
∫
dx
x − a = ln |x− a| + c.
Dạng II.
∫
dx
(x − a)m =
∫
d(x− a)
(x− a)m =
1
(1− m)(x− a)m−1 + c (m = 1)
Dạng III.
∫
Bx + C
x2 + px + q
dx =
B
2
∫
d(x2 + px + q)
x2 + px + q
+ (C − Bp
2
)
∫
dx
x2 + px + q
.
Biến đổi x2 + px + q = (x +
p
2
)2 +
4q − p2
4
. Đổi biến t = x +
p
2
, đặt a =
√
4q − p2
2
.
Từ công thức các tích phân cơ bản suy ra∫
Bx + C
x2 + px + q
dx =
B
2
ln |x2 + px + q|+ 2C − Bp√
4q − p2 arctan
2x + p√
4q − p2 + c
Dạng IV.
∫
Bx + C
(x2 + px + q)n
dx =
B
2
∫
d(x2 + px + q)
(x2 + px + q)n
+(C−Bp
2
)
∫
dx
(x2 + px + q)n
.
Để tính tích phân cuối, biến đổi như ở dạng III. Với t = x +
p
2
, a =
√
4q − p2
2
, ta có
1
Phần này sinh viên tự đọc
2
Cụ thể xem ví dụ
Chương IV. Phép tính tích phân 63
tích phân đã xét ví dụ ở phần trước, tính truy hồi
In =
1
2a2(n − 1)
x
(x2 + a2)n−1
− 2n− 3
2a2(n− 1)In−1
= · · ·
=
Đa thức bậc < n− 1
(x2 + px + q)n−1
+ A arctan
(
2x + p√
4q − p2
)
+ c
Từ Bước 3 và các tích phân cơ bản trên, suy ra mệnh đề.
Ví dụ.
a) Các bước tương ứng để tính
∫
x3 + x + 1
x3 + x
dx:
Bước 1:
x3 + x + 1
x3 + x
= 1 +
1
x3 + x
.
Bước 2: x3 + x = x(x2 + 1).
Bớc 3:
1
x3 + x
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 1
Để tính A, B, C, có thể tiến hành phương pháp hệ số bất định như sau:
Hoá đồng mẫu và đồng nhất tử 2 hàm hữu tỉ, ta có
1 ≡ A(x2 + 1) + (Bx + C)x
1 ≡ (A + B)x2 + Cx + A
Vì hai đa thức bằng nhau khi và chỉ các hệ số của các bậc 1, x, x2, · · · tương ứng bằng
nhau, suy ra
A = 1, C = 0, A + B = 0 ⇔ A = 1, B = −1, C = 0
Vậy
1
x3 + x
=
1
x
− x
x2 + 1
Bước 4: Dựa vào cách tính tích phân cơ bản, ta có∫
x3 + x + 1
x3 + x
dx =
∫
dx +
∫ 1
x
dx−
∫
xdx
x2 + 1
= x + ln |x| − 1
2
∫
d(x2 + 1)
x2 + 1
= x + ln |x| − 1
2
ln(x2 + 1) + C
b) Tính
∫
dx
x5 − x2 . Các bước tương ứng:
Bước 1: đã thỏa vì bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Bước 2: x5 − x2 = x2(x− 1)(x2 + x + 1).
Bước 3:
1
x5 − x2 =
A
x
+
B
x2
+
C
x− 1 +
Dx + E
x2 + x + 1
.
Dùng phương pháp hệ số bất định suy ra
1
x5 − x2 =
0
x
− 1
x2
+
1
3(x− 1) −
x− 1
3(x2 + x + 1)
Bước 4: Tính các tích phân dạng cơ bản, ta có∫
dx
x5 − x2 =
1
x
+
1
6
ln
(x− 1)2
x2 + x + 1
+
1√
3
arctan
2x + 1√
3
+ C
64
Bài tập: Dựa vào phương pháp nêu trên tính:
∫
dx
x4 − x2 − 2 ,
∫ (x + 1)dx
x4 − x2 − 2 ,
∫
x2dx
x6 − 1 ,∫
dx
x(x2 + 1)2
,
∫ (x− 1)dx
(x2 + x + 1)2
,
∫ (x5 + 1)dx
x4 − 8x2 + 16 .
Nhận xét. Phương pháp trên đòi hỏi phân tích đa thức thành nhân tử bất khả qui
(bước 2, tương đương với việc tìm nghiệm đa thức) rất tốn thời gian. Hiện nay các hệ
đại số máy tính thường dựa vào thuật toán Hermit-Ostrogradski mà ý tưởng cơ bản
dựa vào:
Mệnh đề. Ký hiệu
Q(x) = A(x− a)n · · · (x2 + px + q)m · · · ,
Q1(x) = A(x− a)n−1 · · · (x2 + px + q)m−1 · · · ,
D(x) = (x− a) · · · (x2 + px + q) · · ·
Khi đó nếu P (x) là đa thức sao cho deg P < deg Q, thì∫
P (x)
Q(x)
dx =
M(x)
Q1(x)
+
∫
N(x)
D(x)
dx
trong đó M(x), N(x) là các đa thức và deg M < deg Q1, deg N < deg D.
Bài tập: Tìm A, B, C, D, E sao cho∫
xdx
(x− 1)2(x + 1)3 =
Ax2 + Bx + C
(x− 1)(x + 1)2 +
∫
(
D
x− 1 +
E
x + 1
)dx
• Tích phân hàm căn thức.
(1) Dạng
∫
R(x,
(
ax + b
cx + d
)r1
, · · · ,
(
ax + b
cx + d
)rn
)dx, (R là hàm hữu tỉ, r1, · · · , rn ∈
Q).
Phương pháp: đổi biến tm =
ax + b
cx + d
với m là bội chung nhỏ nhất của mẫu các ri.
Bài tập: Chứng minh sau khi đổi biến tích phân đa về tích phân hàm hữu tỉ.
Ví dụ. Tính
∫
dx
4
√
x + 3− 1)√x + 3 : Đổi biến t
4 = x + 3. Khi đó dx = 4t3dt.
Thay vào tích phân ta có∫
t3dt
(t− 1)t2 =
∫
tdt
t− 1 = 4(t + ln |t− 1|) + C = 4(
4
√
x + 3 + ln | 4√x + 3− 1|) + C
Bài tập: Tính
∫
dx
x(1 + 2
√
x + 3
√
x)
,
∫ 1 −√x + 1
1 + 3
√
x + 1
dx ,
∫
x
√
x− 2
x + 1
dx
(2) Dạng
∫
R(x,
√
ax2 + bx + c)dx, (R là hàm hữu tỉ).
Phương pháp đổi biến Euler:
Chương IV. Phép tính t