copedangyeu_tt
New Member
Download miễn phí Các chuyên đề về Hình học giải tích
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)
a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC.
b) Tìm phương trình đường cao AH.
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 3ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần
phải biết:
( )Δ
1) ( qua điểm M0(x0, y0) và có vectơ chỉ phương a)Δ G = (a1, a2) sẽ có:
. Phương trình tham số : (t 0
0 2
x x ta
y y ta
= +⎧⎨ = +⎩
1 ∈ R)
. Phương trình chính tắc : 0
1
x x
a
− = 0
2
y y
a
− (a1, a2 ≠ 0)
Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :
Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
2) ( qua điểm M0(x0, y0) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x –
x0) + b(y – y0) = 0
)Δ
3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng
Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0 (1)
ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng
x = x0 hay y = kx + m (2).
Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương.
+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m.
+ Nếu B = 0 ⇒ = − Cx
A
, có dạng x = x0 với x0 =− CA . Nếu B≠ 0 ⇒ = − −
A Cy x
B B
, có
dạng y = kx + m.
3) ( qua hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB) có phương trình : )Δ
A
B A
x x
x x
−
− =
A
B A
y y
y y
−
− nếu 0− − ≠B A B A( x x ) ( y y )
1
Nếu ( qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) )Δ ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( )Δ có đoạn chắn a, b
với phương trình:
x
a
+ y
b
= 1
* Ghi chú:
Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên
viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý :
( )Δ : Ax + By + C = 0 thì ( )Δ có :
. một pháp vectơ = (A, B) nG
G
. một vectơ chỉ phương a = (–B, A)
. hệ số góc k = tg( , ) = Ox
JJJG Δ A
B
−
. ( ) (′Δ // ( )Δ ⇒ )′Δ : Ax + By + C0 = 0
. ( ) (′Δ ⊥ ( )Δ ⇒ )′Δ : Bx – Ay + C0 = 0
Ta tìm được C0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( )′Δ .
Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( )Δ theo hệ số góc k, bài toán có
thể bị thiếu nghiệm do trường hợp ( )Δ ⊥ x′x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét
thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng ( )Δ ( )Δ này có thỏa mãn điều
kiện của đầu bài không.
Ghi chú - Nếu n = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng G ( )Δ thì
k.n = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của G ( )Δ với mọi số thực k ≠ 0.
- Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng 1 2=a (a ,a )
JG ( )Δ thì
k. cũng là véc tơ chỉ phương của1 2=a (ka ,ka )
JG ( )Δ với mọi số thực k khác 0.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ
Cho (d1) : A1x + B1y + C1 = 0
và (d2) : A2x + B2y + C2 = 0
Đặt :
2
D = 1 1
2 2
A B
A B
; Dx = 1 1
2 2
B C
B C
; Dy = 1
2 2
C A
C A
1 thì :
D ≠ 0 ⇔ (d1) cắt (d2) tại I
1
x
I
y
Dx
D
D
y
D
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
D = 0 và Dx 0 hay Dy ≠ ≠ 0 ⇔ (d1) // (d2)
D = Dx = Dy = 0 ⇔ (d1) ≡ (d2)
hay với A2, B2, C2 0 ta có : ≠
1
2
A
A
≠ 1
2
B
B
⇔ (d1) cắt (d2)
1
2
A
A
= 1
2
B
B
≠ 1
2
C
C
⇔ (d1) // (d2)
1
2
A
A
= 1
2
B
B
= 1
2
C
C
⇔ (d1) ≡ (d2)
Ghi chú 1 1
2 2
B C
B C
= 1 1
2 2
− C B
C B
; 1 1
2 2
C A
C A
= 1 1
2 2
− A C
A C
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng
(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 (d2) : A2x + B2y + C2 = 0
thì cosα = 1 2 1 2
2 2 2
1 1 2 2
2
A A B B
A B . A B
+
+ +
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm khoảng cách từ điểm M(xM, yM) đến đường thẳng
( )Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức :
3
d(M,Δ ) =
2 2
M MAx By C
A B
+ +
+
Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( )Δ đến điểm M(xM, yM) là :
t =
2 2
M MAx By
A B
+ +
+
C
G
Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( )Δ thì :
. t > 0 nếu điểm M và n nằm cùng một bên đối với G ( )Δ
. t < 0 nếu điểm M và n nằm khác bên đối với G ( )Δ
Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng
(d1) : A1x + B1y + C1 = 0 và
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0 là :
1 1
2 2
1 1
1A x B y C
A B
+ +
+ = ±
2 2 2
2 2
2 2
A x B y C
A B
+ +
+
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)
a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC.
b) Tìm phương trình đường cao AH.
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC.
Giải
a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC
JJJG
= (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và
qua B(4, 3) nên có phương trình tham số :
(t
4
3 3
= +⎧⎨ = +⎩
x t
y t
∈ R)
⇔ 4
1
−x = 3
3
−y (phương trình chính tắc)
⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC.
b) ΔABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0
⇒ pt AH : x + 3y + C1 = 0
4
A(–2, 1) ∈ AH –2 + 3(1) + C1 = 0 ⇔ ⇔ C1 = –1
Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0
c) Đường thẳng Au // BC ⇒pt Au : 3x – y + C2 = 0
A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C2 = 0 ⇔ C2 = 7
Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
Giải
a) K là trung điểm của AC ⇔
2
2
2
2
A C
K
A C
K
x xx
y yy
+⎧ = =⎪⎪⎨ +⎪ = =⎪⎩
hay K(2, 2)
Phương trình cạnh BK : 2
2 2
x −
− − =
2
1 2
y −
− ⇔ x – 4y + 6 = 0
AH ⊥ BK pt AH : 4x + y + C0 = 0 ⇒
A(1, - 1) ∈ AH 4(1) + (–1) + C0 = 0 ⇔
⇔ C0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0
b) Diện tích tam giác ABK là S = 1
2
AH.BK với
AH = A (BK)d =
1 4 6
17
+ +
S = ⇒ 1
2
. 11
17
. 2 24 1+ = 11
2
( đvdt ).
Ví dụ 3: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác
ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 4 1( ; )
3 3
, phương trình đường thẳng BC là và
phương trình đường thẳng BG là
2 4x y− − = 0
07 4 8x y− − = .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
5
Bài giải
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt ( )− − =⎧ ⇒ −⎨ − − =⎩
x 2y 4 0
B 0, 2
7x 4y 8 0
Vì cân tại A nên AG là đường cao của ABCΔ ABCΔ
Vì ⇒ pt GA: GA BC⊥ − + − = ⇔ + − =4 12(x ) 1(y ) 0 2x y 3 0
3 3
2x y 3 0⇔ + − =
⇒ = H GA BC∩ ( )+ − =⎧ ⇒ −⎨ − − =⎩
2x y 3 0
H 2, 1
x 2y 4 0
Ta có H là trung điểm BC ⇒ + = = − = − =⎧ ⎧⇒⎨ ⎨+ = = − = − − − =⎩ ⎩
B C H C H B
B C H C H B
x x 2x x 2x x 2(2) 0 4
y y 2y y 2y y 2( 1) ( 2) 0
) ⇒ . Ta có : (C 4,0 + + + += =A B C A B CG Gx x x y y yx và y3 3 ⇒ ( )A 0,3
Vậy ( ) ( ) (A 0,3 ,C 4,0 ,B 0, 2− )
Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho
hình chữ nhật ABCD có tâm I 1 ;0
2
⎞⎟⎝ ⎠
⎛⎜ ,phương trình đường thẳng AB là
x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD .Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm .
BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0
⇒ A (2a – 2, a) (a < 1)
I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a)
BC qua C và BC ⊥ AB
⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0
AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a)
Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a)2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loại)
Vậy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2)
Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh
A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m.
Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
BÀI GIẢI: G m1;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ;
mGA ( 2; )
3
= − −JJJG ; mGB (3; )
3
= −JJJG
Tam giác GAB vuông tại G ⇔ GA.GB 0=JJJG JJJG
⇔
2m6
9
− + = 0 ⇔ m = 3 6± .
Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm
A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thu...