robottocnau
New Member
Download miễn phí Một số phương pháp giải hệ phương trình
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ phương trình loại này ta thường gặp ở hai dạng f( x)=0 (1) và
f( x) = f(y ) (2) với f là hàm đơn điệu trên D và x, y thuộc D. Nhiều khi cần
phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
1MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI
TƯƠNG ĐƯƠNG:
Đặc điểm chung của dạng hệ phương trình này là sử dụng các kỹ năng biến đổi
đồng nhất. Đặc biệt, là kỹ năng phân tích nhằm đưa một phương trình trong hệ
về dạng đơn giản ( có thể rút theo y hay ngược lại ) rồi thế vào phương trình
còn lại trong hệ.
Dạng 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hay ẩn y.
Khi đó, ta tìm cách rút y theo x hay ngược lại.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
2 2
2
( 1)( 1) 3 4 1 (1)
1 (2)
x y x y x x
xy x x
Giải: Dễ thấy x=0 không thỏa mãn phương trình (2) nên từ (2) ta có:
2 1
1
x
y
x
thay vào (1) ta được:
2 2
2 21 1. ( ) 3 4 1
x x
x x x x
x x
2 2( 1)(2 1) ( 1)(3 1)x x x x
3 2( 1)(2 2 1) ( 1)(3 1)x x x x x x 3 2( 1)(2 2 4 ) 0x x x x
1
0
2
x
x
x
(loại)
Dạng 2: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các
phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
2 22 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
Giải: Điều kiện: 1; 0x y .
2 2(1) 2 ( ) 0 x xy y x y ( )( 2 ) ( ) 0x y x y x y ( từ ĐK ta có x+y>0)
2 1 0x y 2 1x y thay vào phương trình (2) ta được:
2 2 2 2y x y y ( 1)( 2 2) 0y y ( do 0y ) 2 5y x .
Dạng 3: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai một
ẩn, ẩn còn lại là tham số.
[email protected] sent to
NGUYEN VAN RIN
2
MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:
2
2 2
(5 4)(4 ) (1)
5 4 16 8 16 0 (2)
y x x
y x xy x y
Giải: Biến đổi phương trình (2) về dạng 2 2(4 8) 5 16 16 0y x y x x
Coi phương trình trên là phương trình ẩn y tham số x ta có 2' 9x từ đó ta được
nghiệm
5 4 (3)
4 (4)
y x
y x
Thay (3) vào (1) ta được: 2(5 4) (5 4)(4 )x x x
4
0
5
0 4
x y
x y
Thay (4) vào (1) ta được: 2(4 ) (5 4)(4 )x x x
4 0
0 4
x y
x y
Vậy nghiệm của hệ là:
4
(0;4), (4;0), ( ;0)
5
.
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ
( ; ), ( ; )a f x y b g x y có ngay trong từng phương trình hay xuất hiện sau một
phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hay phép chia cho một biểu thức khác 0.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)
x y y x y
x y x y
Dễ thấy y=1 không thỏa mãn phương trình (1) nên HPT
2
2
1
4
1
( 2) 1
x
y x
y
x
y x
y
Đặt
2 1
; 2
x
a b y x
y
2
1
a b
ab
Giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ phương trình
2 1
3
x y
x y
Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình
2 2
2
3
4 4( ) 7
( )
1
2 3
xy x y
x y
x
x y
Giải: Điều kiện 0x y
3
MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI
2 2
2
3
3( ) ( ) 7
( )
1
3
x y x y
x y
HPT
x y x y
x y
Đặt
1
( 2);a x y a b x y
x y
ta được hệ phương trình:
2 23 13 (1)
3 (2)
a b
a b
Giải hệ ta được a=2; b=1 (do 2a ) từ đó ta có hệ:
1
2
1
x y
x y
x y
1
1
x y
x y
1
0
x
y
Vậy nghiệm của hệ là (1;0).
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Hệ phương trình loại này ta thường gặp ở hai dạng ( ) 0f x (1) và
( ) ( )f x f y (2) với f là hàm đơn điệu trên D và x, y thuộc D. Nhiều khi cần
phải đánh giá ẩn x, y để x, y thuộc tập mà hàm f đơn điệu.
Dạng 1: Một phương trình trong hệ có dạng ( ) ( )f x f y , phương trình
còn lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để trên đó hàm f đơn điệu.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình
3 3
8 4
5 5 (1)
1 (2)
x x y y
x y
Giải: Từ PT (2) ta có
8
4
11
11
xx
yy
Xét hàm số 3( ) 5 ; [ 1;1]f t t t t
Ta có 2'( ) 3 5 0; [ 1;1]f t t t do đó ( )f t nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Từ đó (1) x y thay vào PT (2) ta được PT 8 4 1 0x x
Đặt 4 0a x và giải phương trình ta được 4
1 5 1 5
2 2
a x y
Dạng 2: Là dạng hệ đối xứng loại hai mà thường khi giải thường dẫn đến
cả hai trường hợp (1) và (2).
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
Giải: Đặt 1; 1a x b y ta được hệ
2
2
1 3 (1)
1 3 (2)
b
a
a a
b b
(1)-(2) vế theo vế ta có 2 21 3 1 3a ba a b b (3)
4
MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI
Xét hàm số 2( ) 1 3tf t t t
2
2
1
'( ) 3 ln 3
1
tt tf t
t
Vì 2 2 21 0 '( ) 0,t t t t t f t t
Do đó, hàm số ( )f t đồng biến trên .
Nên PT (3) a b thay vào phương trình (1) ta được 2 1 3 (4)aa a .
Theo nhận xét trên thì 2 1>0 a a nên PT 2 (4) ln(a+ 1) ln3 0a a (lấy ln
hai vế).
Xét hàm số 2g(a)=ln(a+ 1) ln3a a
2
1
'( ) ln 3 1 ln3 0,
1
g a a
a
.
Do đó, g(a) nghịch biến trên và do PT(4) có nghiệm a=0 nên phương trình (4)
có nghiệm duy nhất a=0.
Vậy nghiệm của hệ phương trình ban đầu là ( ; ) (1;1)x y .
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp này cần lưu ý các biểu thức không âm và nắm vững các bất đẳng
thức cơ bản.
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình
2
3 2
2
23
2
(1)
2 9
2
(2)
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y
Giải: Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được
2 2
3 2 23
2 2
(3)
2 9 2 9
xy xy
x y
x x y y
Ta có 3 2 232 9 ( 1) 8 2x x x
3 32 2
2 22
22 9 2 9
xy xyxy
xy
x x x x
Tương tự
23
2
2 9
xy
xy
y y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 2 2;x y ta có 2 2 2x y xy .
Nên (3) (3)VT VP .
Do đó, dấu “=” xảy ra khi
1
0
x y
x y
.
Thử lại, ta được nghiệm của hệ phương trình là (0;0), (1;1) .
5
MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LUYỆN THI
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình
3
3
3 4
2 6 2
y x x
x y y
Giải:
3
3
2 ( 3 2)
2 2( 3 2)
y x x
HPT
x y y
2
2
2 ( 1) ( 2) (1)
2 2( 1) ( 2) (2)
y x x
x y y
Nếu x>2 thì từ (1) suy ra y-2<0 điều này mâu thuẫn với PT(2) có x-2 ...