changmu_chungthuy91
New Member
Download miễn phí Luận văn Nguyên lí ánh xạ KKM và bài toán cân bằng vectơ trong không gian vectơ tôpô
MỤC LỤC
Mở đầu . .1
Chương 1. NGUYÊN LÍ ÁNH XẠ KKM
1.1. Bổ đề KKM .3
1.2. Nguyên lí ánh xạ KKM 7
1.3. Bất đẳng thức Ky Fan 10
Chương 2. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐƠN TRỊ
2.1. Nón và quan hệ thứ tự theo nón 13
2.2. Bài toán cân bằng vô hướng 16
2.3. Bài toán cân bằng vectơ không có giả thiết đơn điệu . 23
2.4. Bài toán cân bằng vectơ giả đơn điệu 28
2.5. Bài toán cân bằng vectơ tựa đơn điệu 34
2.6. Một số mở rộng 39
Chương 3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ CHO HÀM ĐA TRỊ
3.1.Bài toán cân bằng vectơ đa trị không có giả thiết đơn điệu 51
3.2. Bài toán cân bằng vectơ đa trị đơn điệu 56
Kết luận 63
Tài liệu tham khảo . 64
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
,
điều này mâu thuẫn với giả thiết
( , ) 0g y y
. Vậy
1
1
,..., ( )
n
n i
i
co y y F y
.
Theo Bổ đề Ky Fan ta có
( )
y C
F y
và do đó theo Bổ đề 2.1,
( )
y C
G y
.
Định lí được chứng minh.
Về sự duy nhất nghiệm của Bài toán (2.2) ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề
Nếu
C
là tập lồi và
g
là hàm đơn điệu chặt thì nghiệm của Bài toán cân
bằng (2.2) là duy nhất.
Chứng minh
Giả sử
1 2,x x
là nghiệm phân biệt của Bài toán (2.2), nghĩa là
,ix C
1, 2i
và
( , ) 0ig x y y C
.
Thay
1 2
2
x x
y
vào hai bất đẳng thức ở trên, do tính chất lõm của
hàm
( ,.)g x
nên khi cộng hai bất đẳng thức đó với nhau ta được
1 1 1 2 2 1 2 2
1
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
2
g x x g x x g x x g x x
.
Vì
1 1 2 2( , ) ( , ) 0g x x g x x
nên:
1 2 2 1
1
( , ) ( , ) 0
2
g x x g x x
,
do đó
1 2 2 1( , ) ( , ) 0g x x g x x
,
điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của
g
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
Mệnh đề được chứng minh.
Sau hai kết quả trên của Mosco [13] có nhiều kết quả khác là mở rộng,
hợp nhất các kết quả này như Blum- Oettli [3](1993), Chadli-Chbani-Riahi
[6](2000)…Ở đây chúng tui không đi sâu vào các mở rộng này mà chỉ nêu
ra cách tiếp cận dùng Nguyên lí ánh xạ KKM trong bài toán vô hướng để
dễ thấy sự mở rộng của cách tiếp cận này trong bài toán vectơ được xét ở
các phần sau.
2.3. BÀI TOÁN CÂN BẰNG VECTƠ KHÔNG CÓ GIẢ THIẾT ĐƠN ĐIỆU
Một hướng cơ bản trong các nghiên cứu về tồn tại nghiệm của bài toán
cân bằng vectơ, cũng như đối với bài toán cân bằng vô hướng được xét ở
trên, là hướng nghiên cứu không dùng giả thiết đơn điệu. Chúng tui chọn
trình bày một kết quả gần đây của Ansari- Konnov- Yao [1](2001) ở
hướng nghiên cứu này.
Cho
,X Y
là các không gian vectơ tôpô,
C
là một nón nhọn, lồi, đóng
trong
Y
với
intC
. Một quan hệ thứ tự từng phần trong
Y
được xác
định bởi nón
C
. Cho
K
là một tập lồi khác rỗng trong
X
và
:f K K Y
là một hàm (đơn trị).
Xét bài toán cân bằng vectơ sau
Tìm
x K
sao cho
( , ) 0,f x y y K
.
Bài toán trên có thể viết ở dạng:
Tìm
x K
sao cho
( , ) int ,f x y C y K
.
Một ánh xạ
:q K Y
gọi là tựa lồi nếu với mọi
Y
tập
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
:U x K q x
là lồi.
Người ta có thể chỉ ra rằng nếu
q
là tựa lồi thì tập
:x K q x
cũng là tập lồi. Dễ thấy nếu
; 0;Y R C
thì ta có khái niệm tựa lồi
quen biết của hàm vô hướng.
Một ánh xạ
:q K Y
gọi là nửa liên tục trên trên
K
nếu với mọi
Y
tập
( ) : ( )L x K q x
là đóng trong
K
.
Dễ thấy, nếu
, 0;Y R C
thì ta có khái niệm nửa liên tục trên
quen biết đối với hàm vô hướng.
Với mỗi tập
A X
, ta ký hiệu
Xcl A
là bao đóng của
A
trong
X
và
X
là họ các tập con hữu hạn không rỗng trong
X
.
Đối với bài toán cân bằng vectơ trên ta có định lí tồn tại nghiệm dưới
đây được chứng minh nhờ dùng Nguyên lí ánh xạ KKM.
Định lí 2.3 (Ansari- Konnov- Yao[1], 2001)
Cho
,X Y
là các không gian vectơ tôpô, tập
K X
lồi khác rỗng, nón
thứ tự
C Y
nhọn, lồi, đóng với
intC
và hàm (đơn trị)
:f K K Y
sao cho với mỗi
, ( , ) 0x K f x x
và với mỗi
y K
hàm
(., )f y
là nửa liên tục trên trên mỗi tập khác rỗng compắc của
K
. Giả sử
rằng tồn tại một hàm
K K Y sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1)Với mỗi
, , ( , ) 0x y K f x y
kéo theo
( , ) 0;p x y
2) Với mỗi
( )A X
và với mỗi
x coA
, hàm
( ,.)p x
là tựa lồi;
3) Với mỗi
, ( , ) 0;x K p x x
4) Điều kiện bức: tồn tại một tập lồi, compắc
D K
và
0y D
sao
cho
0( , ) 0p x y
với mọi
\x K D
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
Khi ấy tồn tại
x K
thỏa mãn
( , ) 0f x y
với mọi
y K
.
Chứng minh
Với mỗi
y K
ta đặt
( ) : ( , ) 0G y x D f x y
. Ta có
( )G y
là tập
đóng trong tập compắc
D
. Do đó để chỉ ra họ tập
( ) :G y y K
có giao
khác rỗng ta chỉ cần chỉ ra họ này có tính chất giao hữu hạn và khi ấy ta có
điều phải chứng minh (vì mỗi điểm trong giao của họ tập này là nghiệm
của bài toán cân bằng được xét trong định lí trên).
Lấy
1 2, ,..., mB y y y
là một tập con hữu hạn của
K
. Ta đặt
( )A co B D
.
Ta có
A
là một tập lồi compắc của
K
. Xét ánh xạ
: 2AF A xác định
bởi:
( ) : ( , ) 0 ,F y x A p x y y A
.
Ta chứng minh họ
( ( )) :Acl F y y A
có giao khác rỗng. Thật vậy, ta
có
( )F y
với mỗi
y A
(do giả thiết 3)).
Mặt khác
F
là ánh xạ KKM. Thật vậy, giả sử
F
không phải là ánh xạ
KKM, khi ấy tồn tại một tập hữu hạn
1 2, ,..., nv v v A
và với mọi
1,...,i n
các số
1
0, 1
n
i i
i
sao cho
1 1
( )
nn
i i i
i i
v F v
,
nghĩa là ta có
1
, 0, 1,..., .
n
i i i
i
p v v i n
Do giả thiết 2) ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
1 1
, 0
n n
i i i i
i i
p v v
,
điều này mâu thuẫn với giả thiết 3). Vậy
F
là ánh xạ KKM.
Theo Nguyên lí ánh xạ KKM thì họ tập
( ( )) :Acl F y y A
có giao
khác rỗng, lấy
( ( ))A
y A
x cl F y
và lưu ý là
0 0,y D A F y D
(do
giả thiết 4)), do đó :
0 0 0( ( )) ( ( )) ( ( )) .A K Dx cl F y cl F y cl F y D
Mặt khác ta có
1
( ( ))
m
A j
j
x cl F y
;
( ( )) : ( , ) 0A j A jcl F y cl x A p x y
: ( , ) 0 : ( , ) 0A j jcl x A f x y x A f x y
(theo giả thiết 1) và do
(., )f y
nửa liên tục trên). Do đó
1 1
: ( , ) 0 ( )
m m
j j
j j
x D x A f x y G y
.
Vậy họ
( ) :G y y K
có tính chất giao hữu hạn, do đó
( ) .
y K
G y
Định lí được chứng minh.
Cần lưu ý là trong [1] các tác giả dùng giả thiết chung là
( , ) 0,f x x
x K
. Thực ra trong chứng minh không sử dụng đến giả thiết này.
Trong Định lý 2.3, lấy
p f
ta nhận được kết quả sau.
Hệ quả 2.1
Cho các không gian
,X Y
, tập
K X
, nón thứ tự
C Y
như trong
Định lí 2.3 và hàm
:f K K Y
sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
1)
( , ) 0f x x
với mỗi
x K
;
2) Với mỗi
y K
, hàm
(., )f y
là nửa liên tục trên trên
K
;
3) Với mỗi
x K
, hàm
( ,.)f x
là tựa lồi;
4) Điều kiện bức: tồn tại một tập compắc
D K
và
0y D
sao cho
0( , ) 0, \f x y x K D
.
Khi ấy tồn tại
x K
sao cho
( , ) 0, .f x y y K
Rõ ràng...