hoangunited
New Member
Download Luận án Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng
MỤC LỤC
DANH SÁCH KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT
CHIỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Sự hội tụ bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính . . . . . . 30
1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.2 Tính chính quy của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.3 Tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . 42
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
RIÊNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h ! 0+ . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số K, l và h . . . . . . . . 71
2.4 Tính chất tắt dần theo hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
CHƯƠNG 3. NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU
ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI . . . . . . . . . . 86
3.1 Một số ký hiệu và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Sự tồn tại nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Tính compắc của tập nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Không gian Sobolev một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B Không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
C Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert . . . . 105
D Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
E Một số kết quả kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và áp
dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, ..., và đã
được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Quá trình tìm kiếm
lời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kết
quả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết nửa nhóm, ...) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn,
phương pháp Wavelet,...).
Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất
hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn
[2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăng
trên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J. L. Lions [53, 54], H.
Brezis [17, 19], F. E. Browder [20, 21], .... Số lượng các tạp chí có công bố các kết
quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chí
chuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhà
xuất bản Hindawi. Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi
phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được
sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương
trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau
như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơn
điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới,.... Tuy nhiên, nói chung, chúng
ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phi
tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp
để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng. Chính vì vậy, vấn đề
3
Giới thiệu 4
khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và
có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này trình bày những kết quả của chúng tui trong việc nghiên cứu
một số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phương
trình vi tích phân. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có
trong luận án.
Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóngmột
chiều. Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 -
1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của
một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định. Mô hình toán học cho bài toán này, do
D’Alembert đề nghị, có dạng
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
, (1)
trong đó u(x, t) là độ lệch theo phương thẳng đứng của dây, so với vị trí cân bằng,
tại điểm x và thời gian t. Một mô hình khác cho bài toán vật lý tương tự đã được
thiết lập bởi Kirchhoff [52] và Carrier [22]. Giả sử h là thiết diện và L là chiều dài
sợi dây ở trạng thái cân bằng; E là môđun Young và P0 là lực căng ban đầu. Khi
đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai
đầu cố định được xác định bởi phương trình
∂2u
∂t2
=
(
P0 +
Eh
2L
∫ L
0
(
∂u
∂x
)2
dx
)
∂2u
∂x2
. (2)
Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được quan tâm rộng rãi
bởi nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng đã được công bố
liên quan đến các phương trình sóng một chiều cũng như nhiều chiều kết hợp
với các điều kiện biên khác nhau [4, 5, 9, 13, 14, 15, 29, 30, 34, 36, 46, 50, 51, 81],....
Trong chương 1 của luận án này, chúng tui khảo sát hai bài toán biên cho các
phương trình thuộc dạng (1) hay (2) với một số điểm khác biệt so với các kết quả
trước đó.
Bài toán 1. Chúng tui khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình
Giới thiệu 5
Kirchhoff phi tuyến
utt − µ
(
t, ‖u‖22, ‖ux‖22
)
uxx = f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω× (0, T), (3)
kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
ux(0, t)− h0u(0, t) = ux(1, t) + h1u(1, t) = 0, (4)
và các điều kiện đầu
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (5)
Phương trình dạng (3) kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Cousin [30], Frota [38], Miranda
[50, 51], Medeiros [74], Yang [102], .... Các bài báo này chú ý đến những khía
cạnh khác nhau như sự tồn tại và duy nhất của nghiệm địa phương, nghiệm toàn
cục; sự ổn định của nghiệm cũng như các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... Trong
[75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quan
đến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3).
Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63,
64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh
sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hay bậc hai về nghiệm địa phương
của các mô hình tương ứng, trước hết chúng tui xây dựng một dãy lặp phi tuyến
{um}m∈Z+ xác định bởi u0 = 0 và với mọi m ∈ N, um là nghiệm của phương
trình
∂2um
∂t2
− µ
(
t, ‖um‖22, ‖umx‖22
)
umxx = f (x, t, um−1)
+
N−1
∑
i=1
1
i!
∂i f
∂ui
(x, t, um−1) (um − um−1)i , (6)
thỏa các điều kiện (4)− (5). Sự tồn tại của dãy {um}m∈Z+ như thế được chứng
minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm
và lý luận compắc. Khi đó, nếu µ ∈ C1 (R3+) và f ∈ CN ([0, 1]×R+ ×R), chúng
Giới thiệu 6
tui chứng minh dãy {um} hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán (3)− (5) với
tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa như sau
‖um − u‖L∞(0,T;H1) + ‖
·
um − ·u‖L∞(0,T;L2)
≤ C
(
‖um−1 − u‖L∞(0,T;H1) + ‖
·
um−1 − ·u‖L∞(0,T;L2)
)N
, (7)
với mọi m ≥ 1, trong đó C là một hằng số không phụ thuộc m.
Kết quả trên đây đã được công bố trong [T5]. Ngoài ra, sử dụng phương pháp
này, chúng tui cũng thu được những kết quả tương tự cho một số mô hình khác,
đã được công bố trong [T7, T8, T9].
Bài toán 2. Một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại
hai điểm được quan tâm nghiên cứu. Cụ thể chúng tui xét bài toán sau
utt − uxx + Ku+ λut = f (x, t), (x, t) ∈ Ω× (0,∞), (8)
ux(0, t) = h0u(0, t) + λ0ut(0, t) + h˜1u(1, t) + λ˜1ut(1, t) + g0(t), (9)
−ux(1, t) = h1u(1, t) + λ1ut(1, t) + h˜0u(0, t) + λ˜0ut(0, t) + g1(t), (10)
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), (11)
trong đó h0, h1, λ0, λ1, h˜0, h˜1, λ˜0, λ˜1, K, λ là các hằng số và u0, u1, f , g0, g1 là các
hàm số cho trước. Mặc dù phương trình (8) là rất cổ điển và đã được nghiên cứu
nhiều [18, 67], ..., nhưng điểm khác biệt chính của bài toán (8)− (11) so với các
kết quả trước đó là cấu trúc hai điểm của điều kiện biên. Cấu trúc này có thể xem
như là sự mở rộng các bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân thường
sang các phương trình đạo hàm riêng mà, theo hiểu biết của chúng tôi, vẫn chưa
được nghiên cứu nhiều.
Để giải quyết những khó khăn xuất phát từ điều kiện biên chúng tui sử dụng
một bất đẳng thức liên quan đến dạng toàn phương ( xem Phụ lục D.5). Nhờ đó,
sự tồn tại duy nhất và tính...
Download miễn phí Luận án Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng
MỤC LỤC
DANH SÁCH KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT
CHIỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Sự hội tụ bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính . . . . . . 30
1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.2 Tính chính quy của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.3 Tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . 42
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
RIÊNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi h ! 0+ . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số K, l và h . . . . . . . . 71
2.4 Tính chất tắt dần theo hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
CHƯƠNG 3. NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU
ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI . . . . . . . . . . 86
3.1 Một số ký hiệu và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Sự tồn tại nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Tính compắc của tập nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Không gian Sobolev một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B Không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
C Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert . . . . 105
D Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
E Một số kết quả kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
GIỚI THIỆULý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và áp
dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, ..., và đã
được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Quá trình tìm kiếm
lời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kết
quả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết nửa nhóm, ...) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn,
phương pháp Wavelet,...).
Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất
hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn
[2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăng
trên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J. L. Lions [53, 54], H.
Brezis [17, 19], F. E. Browder [20, 21], .... Số lượng các tạp chí có công bố các kết
quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chí
chuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhà
xuất bản Hindawi. Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi
phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được
sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương
trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau
như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơn
điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới,.... Tuy nhiên, nói chung, chúng
ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phi
tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp
để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng. Chính vì vậy, vấn đề
3
Giới thiệu 4
khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và
có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này trình bày những kết quả của chúng tui trong việc nghiên cứu
một số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phương
trình vi tích phân. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có
trong luận án.
Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóngmột
chiều. Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 -
1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của
một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định. Mô hình toán học cho bài toán này, do
D’Alembert đề nghị, có dạng
∂2u
∂t2
= c2
∂2u
∂x2
, (1)
trong đó u(x, t) là độ lệch theo phương thẳng đứng của dây, so với vị trí cân bằng,
tại điểm x và thời gian t. Một mô hình khác cho bài toán vật lý tương tự đã được
thiết lập bởi Kirchhoff [52] và Carrier [22]. Giả sử h là thiết diện và L là chiều dài
sợi dây ở trạng thái cân bằng; E là môđun Young và P0 là lực căng ban đầu. Khi
đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai
đầu cố định được xác định bởi phương trình
∂2u
∂t2
=
(
P0 +
Eh
2L
∫ L
0
(
∂u
∂x
)2
dx
)
∂2u
∂x2
. (2)
Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được quan tâm rộng rãi
bởi nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng đã được công bố
liên quan đến các phương trình sóng một chiều cũng như nhiều chiều kết hợp
với các điều kiện biên khác nhau [4, 5, 9, 13, 14, 15, 29, 30, 34, 36, 46, 50, 51, 81],....
Trong chương 1 của luận án này, chúng tui khảo sát hai bài toán biên cho các
phương trình thuộc dạng (1) hay (2) với một số điểm khác biệt so với các kết quả
trước đó.
Bài toán 1. Chúng tui khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình
Giới thiệu 5
Kirchhoff phi tuyến
utt − µ
(
t, ‖u‖22, ‖ux‖22
)
uxx = f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω× (0, T), (3)
kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
ux(0, t)− h0u(0, t) = ux(1, t) + h1u(1, t) = 0, (4)
và các điều kiện đầu
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x). (5)
Phương trình dạng (3) kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Cousin [30], Frota [38], Miranda
[50, 51], Medeiros [74], Yang [102], .... Các bài báo này chú ý đến những khía
cạnh khác nhau như sự tồn tại và duy nhất của nghiệm địa phương, nghiệm toàn
cục; sự ổn định của nghiệm cũng như các phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... Trong
[75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quan
đến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3).
Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63,
64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh
sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hay bậc hai về nghiệm địa phương
của các mô hình tương ứng, trước hết chúng tui xây dựng một dãy lặp phi tuyến
{um}m∈Z+ xác định bởi u0 = 0 và với mọi m ∈ N, um là nghiệm của phương
trình
∂2um
∂t2
− µ
(
t, ‖um‖22, ‖umx‖22
)
umxx = f (x, t, um−1)
+
N−1
∑
i=1
1
i!
∂i f
∂ui
(x, t, um−1) (um − um−1)i , (6)
thỏa các điều kiện (4)− (5). Sự tồn tại của dãy {um}m∈Z+ như thế được chứng
minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm
và lý luận compắc. Khi đó, nếu µ ∈ C1 (R3+) và f ∈ CN ([0, 1]×R+ ×R), chúng
Giới thiệu 6
tui chứng minh dãy {um} hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán (3)− (5) với
tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa như sau
‖um − u‖L∞(0,T;H1) + ‖
·
um − ·u‖L∞(0,T;L2)
≤ C
(
‖um−1 − u‖L∞(0,T;H1) + ‖
·
um−1 − ·u‖L∞(0,T;L2)
)N
, (7)
với mọi m ≥ 1, trong đó C là một hằng số không phụ thuộc m.
Kết quả trên đây đã được công bố trong [T5]. Ngoài ra, sử dụng phương pháp
này, chúng tui cũng thu được những kết quả tương tự cho một số mô hình khác,
đã được công bố trong [T7, T8, T9].
Bài toán 2. Một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại
hai điểm được quan tâm nghiên cứu. Cụ thể chúng tui xét bài toán sau
utt − uxx + Ku+ λut = f (x, t), (x, t) ∈ Ω× (0,∞), (8)
ux(0, t) = h0u(0, t) + λ0ut(0, t) + h˜1u(1, t) + λ˜1ut(1, t) + g0(t), (9)
−ux(1, t) = h1u(1, t) + λ1ut(1, t) + h˜0u(0, t) + λ˜0ut(0, t) + g1(t), (10)
u(x, 0) = u0(x), ut(x, 0) = u1(x), (11)
trong đó h0, h1, λ0, λ1, h˜0, h˜1, λ˜0, λ˜1, K, λ là các hằng số và u0, u1, f , g0, g1 là các
hàm số cho trước. Mặc dù phương trình (8) là rất cổ điển và đã được nghiên cứu
nhiều [18, 67], ..., nhưng điểm khác biệt chính của bài toán (8)− (11) so với các
kết quả trước đó là cấu trúc hai điểm của điều kiện biên. Cấu trúc này có thể xem
như là sự mở rộng các bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân thường
sang các phương trình đạo hàm riêng mà, theo hiểu biết của chúng tôi, vẫn chưa
được nghiên cứu nhiều.
Để giải quyết những khó khăn xuất phát từ điều kiện biên chúng tui sử dụng
một bất đẳng thức liên quan đến dạng toàn phương ( xem Phụ lục D.5). Nhờ đó,
sự tồn tại duy nhất và tính...