Download Luận văn Chuẩn eisenman trên đa tạp phức
MỤC LỤC
Mở đầu .2
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Nhóm tự đẳng cấu của Bn .4
1.2. Metric vi phân Royden-Kobayashi . 8
Chương 2: Các khoảng cách bất biến và chuẩn Eisenman trên Bn
2.1. Các khoảng cách bất biến trên Bn . 20
2.2. Chuẩn Eisenman trên Bn . 32
Chương 3: Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức
3.1. Các định nghĩa .36
3.2. Một số tính chất của Ek .37
3.3. Dạng thể tích trên đa tạp .40
3.4. Độ đo Eisenman trên đa tạp . 41
3.5. Đa tạp hypebolic k- độ đo .42
3.6. Một số tính chất . . . 43
3.7. Trường hợp k = 1. .45
3.8. Công thức tích . 48
Kết luận . . 51
Tài liệu tham khảo . 52
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
,x y X
. Khi đó
1 .
0
,X X
γ
d x y inf F t dt
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
trong đó infimun được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc
: 0,1 X
nối x với y và
.
/
t
t t .
Chứng minh.
Đặt
1 .
'
0
,X X
γ
d x y inf F t dt
.
Trước hết ta chứng minh tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình
của
'
Xd
.
Thật vậy, giả sử
:f X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức. Ta
chứng minh
' ', ,Y Xd f x f y d x y
với mọi
,x y X
(1)
Giả sử
: 0,1 X
là đường cong
C
từng khúc nối x và y trong X.
Khi đó
: 0,1f Y
cũng đường cong
C
từng khúc nối f(x) và f(y)
trong Y. Từ đó ta nhận được (1).
Mặt khác, từ
2 2
DF ds
ta có
'
D DDd d
(2)
Từ đó theo định nghĩa của
Xd
ta suy ra
', ,X Xd x y d x y
với mọi
,x X
.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy
0
tuỳ ý. Khi đó có đường cong
C
từng khúc
: 0,1 X
từ x tới y sao cho
1 .
'
0
,X XF t dt d x y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
Theo tính chất “Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên TX.
Nếu X là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục” thì
.
XF t
nửa
liên tục tại t trong đó
.
t
là liên tục. Từ đó có hàm
: 0,1h
thoả mãn
với phép chia
0 10 ... 1lt t t
, (3)
Ta có
i)
.
( ) 0;Xh t F t
ii)
1,
,1
j jt t
h j l
là các hạn chế của các hàm liên tục xác định trên các
lân cận của
1,j jt t
;
iii)
1 1.
'
0 0
,X XF t dt h t dt d x y
.
Do tích phân
1
0
h t dt
là tích phân Rieman nên tồn tại
0
sao cho với mỗi
phép chia
0 10 ... 1ks s s
mà
ax j j-1m s - s ;1 j k
.
Và với mỗi
[0,1]jp
;
1 j k
mà
j jp s
thì ta có
'1
1
,
k
j j j X
j
h p s s d x y
. (4)
Lấy tuỳ ý điểm
1, ,1j jp t t j l
. Trước hết giả sử rằng
.
p
p O
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
Lấy
, , mU D
là hệ toạ độ địa phương chỉnh hình quanh
p
với
0p
, trong đó
m dimX
. Khi đó ta đặt
1 : .mF D U X
Tiếp theo giả sử rằng
.
p
p O
. Khi đó có ánh xạ chỉnh hình
: rf D X
sao cho
.
.
' 0 ' 0 ,
2 ' 0 ,
1 1
' 0 .
2
X X
X
f f p
F p F f
F f h p
r
Lấy r đủ nhỏ, ta có ánh xạ chỉnh hình
1: mrF D D X
là song chỉnh hình
địa phương quanh O thoả mãn
1 1
,
2
h p F O p
r
, (5)
.
1 1/ /O OF z F z p .
Trong bất kỳ trường hợp nào ta cũng có lân cận Ip của p và đường cong
C
từng khúc
1: mp rI D D
sao cho
p O
và
pI
F
.
Với
2,ps I s O s - p
hay
2,0,...,0s s p O s - p
.
Từ (2) ta có khoảng mở
'
pI
trong
pI
sao cho
'
pp I
độ dài của
'
pI
nhỏ hơn
và
1'
2
, ' 1 'm
rD D
d s s s s
r
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
với
', ' ps s I
. Theo định nghĩa d ta có
1 1
'
m m
r rD D D D
d d
Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình của
Xd
và (5)
ta nhận được
1 1
'
, ' , '
, ' , '
1 '
m m
r r
X X
D D D D
d s s d F s F s
d s s d s s
s s h p
(6)
Vì
1,j jt t
là compact với
1 j l
, có số dương
sao cho với bất kỳ
1, ' ,j js s t t
mà
's s
, ta có
1,j jp t t
với
', ' ps s I
.
Thực hiện phép chia đoạn [0,1] như sau:
0 10 ... 1ks s s
mà làm mịn
của (3) và
j j-1s - s
với mọi j. Lấy
0,1jp
sao cho
'
1, jj j ps s I
.
Khi đó từ (4) và (6) ta có
1
1
'
1
, 0 , 1 ,
1 1 , .
k
X X X j j
j
k
j j-1 j X
j
d x y d d s s
s - s h p d x y
Cho
0
, ta nhận được
', ,X Xd x y d x y
.
Ta có điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
Chương 2
CÁC KHOẢNG CÁCH BẤT BIẾN VÀ
CHUẨN EISENMAN TRÊN Bn
2.1. Các khoảng cách bất biến trên B
n
2.1.1. Định nghĩa
Cho
,, na b B
ta định nghĩa
n a t
1
1
2 22 2 2 22 2t
2 2
t t
b-a
ρ ,b = T b = Γ a
1- ab
1- a 1- b ab - a b + a-b
= 1- = .
1- ab 1- ab
Thường bỏ qua chỉ số dưới ta kí hiệu
n
.
2.1.2. Mệnh đề
ρ là khoảng cách trên Bn. Nó là bất biến đối với nhóm Aut(Bn) và giảm qua
các ánh xạ chỉnh hình từ Bn tới Bm. Tức là:
i) ρ( a, b) = ρ( b, a),
ii) ρ( a, b) = 0 khi và chỉ khi a = b,
iii) ρ( a, b) ≤ ρ( a, c) + ρ( c, b),
iv) ρ( T(a), T(b)) =ρ( a, b) với
nT Aut B
,
v)
, ,m nf a f b a b
với
: n mf B B
là chỉnh hình.
Chứng minh.
i) và ii) được suy ra từ Định nghĩa 2.2.1.
iv) Giả sử
1
aT a
S T T T
. Khi đó
0 0T aS T T a
.
Vì
nS Aut B
nên
0 .nS Aut B U n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
Khi đó ta có
aT aT T S T
và
aT a a
T T b S T b T b
.
Từ đó kéo theo
., ,T a T b a b
Do iv), ta có thể giả thiết c = 0. Vì vậy để chứng minh iii) ta phải chứng minh
.aT b a b
Trường hợp 1:
Giả sử
t1- ab 1
. Khi đó
2 22t2
a 2
t
1- ab - 1- a 1- b
T b =
1- ab
2 2 22 2
Do 2.1.12t tab ab a b a b
2
a b
(vì
22tab a b
).
Trường hợp 2:
Giả sử
t1- ab <1
. Ta có thể giả thiết rằng
aT b > a
, từ 2.1.1 ta có
22
2
2
t
1- a 1- b
1- a <
1- ab
, hay 2
2
t
1- b
<1.
1- ab
Khi đó
.
22
2
a 2
t
2
2
2
t
222
1- a 1- b
T b = -
1- ab
1- b
<1+ a -
1- ab
<1+ a -1+ b a + b
Vậy iii) được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
v) Giả sử
.
-1
af a
g z =T f T z
Khi đó
: n mg B B
và
,0 0g
do đó theo
bổ đề Schwars thì
a ag T b T b
.
Vế phải chính là
,,n a b
và ...
Download miễn phí Luận văn Chuẩn eisenman trên đa tạp phức
MỤC LỤC
Mở đầu .2
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
1.1. Nhóm tự đẳng cấu của Bn .4
1.2. Metric vi phân Royden-Kobayashi . 8
Chương 2: Các khoảng cách bất biến và chuẩn Eisenman trên Bn
2.1. Các khoảng cách bất biến trên Bn . 20
2.2. Chuẩn Eisenman trên Bn . 32
Chương 3: Chuẩn Eisenman trên đa tạp phức
3.1. Các định nghĩa .36
3.2. Một số tính chất của Ek .37
3.3. Dạng thể tích trên đa tạp .40
3.4. Độ đo Eisenman trên đa tạp . 41
3.5. Đa tạp hypebolic k- độ đo .42
3.6. Một số tính chất . . . 43
3.7. Trường hợp k = 1. .45
3.8. Công thức tích . 48
Kết luận . . 51
Tài liệu tham khảo . 52
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
ạp phức,,x y X
. Khi đó
1 .
0
,X X
γ
d x y inf F t dt
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
trong đó infimun được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc
: 0,1 X
nối x với y và
.
/
t
t t .
Chứng minh.
Đặt
1 .
'
0
,X X
γ
d x y inf F t dt
.
Trước hết ta chứng minh tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình
của
'
Xd
.
Thật vậy, giả sử
:f X Y
là ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức. Ta
chứng minh
' ', ,Y Xd f x f y d x y
với mọi
,x y X
(1)
Giả sử
: 0,1 X
là đường cong
C
từng khúc nối x và y trong X.
Khi đó
: 0,1f Y
cũng đường cong
C
từng khúc nối f(x) và f(y)
trong Y. Từ đó ta nhận được (1).
Mặt khác, từ
2 2
DF ds
ta có
'
D DDd d
(2)
Từ đó theo định nghĩa của
Xd
ta suy ra
', ,X Xd x y d x y
với mọi
,x X
.
Để chứng minh chiều ngược lại, ta lấy
0
tuỳ ý. Khi đó có đường cong
C
từng khúc
: 0,1 X
từ x tới y sao cho
1 .
'
0
,X XF t dt d x y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
Theo tính chất “Nếu X là đa tạp phức, thì FX là hàm nửa liên tục trên TX.
Nếu X là không gian phức hyperbolic đầy thì FX liên tục” thì
.
XF t
nửa
liên tục tại t trong đó
.
t
là liên tục. Từ đó có hàm
: 0,1h
thoả mãn
với phép chia
0 10 ... 1lt t t
, (3)
Ta có
i)
.
( ) 0;Xh t F t
ii)
1,
,1
j jt t
h j l
là các hạn chế của các hàm liên tục xác định trên các
lân cận của
1,j jt t
;
iii)
1 1.
'
0 0
,X XF t dt h t dt d x y
.
Do tích phân
1
0
h t dt
là tích phân Rieman nên tồn tại
0
sao cho với mỗi
phép chia
0 10 ... 1ks s s
mà
ax j j-1m s - s ;1 j k
.
Và với mỗi
[0,1]jp
;
1 j k
mà
j jp s
thì ta có
'1
1
,
k
j j j X
j
h p s s d x y
. (4)
Lấy tuỳ ý điểm
1, ,1j jp t t j l
. Trước hết giả sử rằng
.
p
p O
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
Lấy
, , mU D
là hệ toạ độ địa phương chỉnh hình quanh
p
với
0p
, trong đó
m dimX
. Khi đó ta đặt
1 : .mF D U X
Tiếp theo giả sử rằng
.
p
p O
. Khi đó có ánh xạ chỉnh hình
: rf D X
sao cho
.
.
' 0 ' 0 ,
2 ' 0 ,
1 1
' 0 .
2
X X
X
f f p
F p F f
F f h p
r
Lấy r đủ nhỏ, ta có ánh xạ chỉnh hình
1: mrF D D X
là song chỉnh hình
địa phương quanh O thoả mãn
1 1
,
2
h p F O p
r
, (5)
.
1 1/ /O OF z F z p .
Trong bất kỳ trường hợp nào ta cũng có lân cận Ip của p và đường cong
C
từng khúc
1: mp rI D D
sao cho
p O
và
pI
F
.
Với
2,ps I s O s - p
hay
2,0,...,0s s p O s - p
.
Từ (2) ta có khoảng mở
'
pI
trong
pI
sao cho
'
pp I
độ dài của
'
pI
nhỏ hơn
và
1'
2
, ' 1 'm
rD D
d s s s s
r
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
với
', ' ps s I
. Theo định nghĩa d ta có
1 1
'
m m
r rD D D D
d d
Từ đó, theo tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình của
Xd
và (5)
ta nhận được
1 1
'
, ' , '
, ' , '
1 '
m m
r r
X X
D D D D
d s s d F s F s
d s s d s s
s s h p
(6)
Vì
1,j jt t
là compact với
1 j l
, có số dương
sao cho với bất kỳ
1, ' ,j js s t t
mà
's s
, ta có
1,j jp t t
với
', ' ps s I
.
Thực hiện phép chia đoạn [0,1] như sau:
0 10 ... 1ks s s
mà làm mịn
của (3) và
j j-1s - s
với mọi j. Lấy
0,1jp
sao cho
'
1, jj j ps s I
.
Khi đó từ (4) và (6) ta có
1
1
'
1
, 0 , 1 ,
1 1 , .
k
X X X j j
j
k
j j-1 j X
j
d x y d d s s
s - s h p d x y
Cho
0
, ta nhận được
', ,X Xd x y d x y
.
Ta có điều phải chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
Chương 2
CÁC KHOẢNG CÁCH BẤT BIẾN VÀ
CHUẨN EISENMAN TRÊN Bn
2.1. Các khoảng cách bất biến trên B
n
2.1.1. Định nghĩa
Cho
,, na b B
ta định nghĩa
n a t
1
1
2 22 2 2 22 2t
2 2
t t
b-a
ρ ,b = T b = Γ a
1- ab
1- a 1- b ab - a b + a-b
= 1- = .
1- ab 1- ab
Thường bỏ qua chỉ số dưới ta kí hiệu
n
.
2.1.2. Mệnh đề
ρ là khoảng cách trên Bn. Nó là bất biến đối với nhóm Aut(Bn) và giảm qua
các ánh xạ chỉnh hình từ Bn tới Bm. Tức là:
i) ρ( a, b) = ρ( b, a),
ii) ρ( a, b) = 0 khi và chỉ khi a = b,
iii) ρ( a, b) ≤ ρ( a, c) + ρ( c, b),
iv) ρ( T(a), T(b)) =ρ( a, b) với
nT Aut B
,
v)
, ,m nf a f b a b
với
: n mf B B
là chỉnh hình.
Chứng minh.
i) và ii) được suy ra từ Định nghĩa 2.2.1.
iv) Giả sử
1
aT a
S T T T
. Khi đó
0 0T aS T T a
.
Vì
nS Aut B
nên
0 .nS Aut B U n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21
Khi đó ta có
aT aT T S T
và
aT a a
T T b S T b T b
.
Từ đó kéo theo
., ,T a T b a b
Do iv), ta có thể giả thiết c = 0. Vì vậy để chứng minh iii) ta phải chứng minh
.aT b a b
Trường hợp 1:
Giả sử
t1- ab 1
. Khi đó
2 22t2
a 2
t
1- ab - 1- a 1- b
T b =
1- ab
2 2 22 2
Do 2.1.12t tab ab a b a b
2
a b
(vì
22tab a b
).
Trường hợp 2:
Giả sử
t1- ab <1
. Ta có thể giả thiết rằng
aT b > a
, từ 2.1.1 ta có
22
2
2
t
1- a 1- b
1- a <
1- ab
, hay 2
2
t
1- b
<1.
1- ab
Khi đó
.
22
2
a 2
t
2
2
2
t
222
1- a 1- b
T b = -
1- ab
1- b
<1+ a -
1- ab
<1+ a -1+ b a + b
Vậy iii) được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22
v) Giả sử
.
-1
af a
g z =T f T z
Khi đó
: n mg B B
và
,0 0g
do đó theo
bổ đề Schwars thì
a ag T b T b
.
Vế phải chính là
,,n a b
và ...