Download Hệ thống kiên thức môn vật lý thông kê miễn phí
Định lí : Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ.
Chứng minh : Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
PHẦN I. THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN1. Định lí Liouville và phương trình Liouville cân bằng thống kê
Định lí : Hàm phân bố thống kê của hệ không đổi dọc theo quỹ đạo pha của hệ.
Chứng minh : Do các hạt của hệ chuyển động không ngừng nên các điểm pha mô tả trạng thái của hệ cũng chuyển động không ngừng trong không gian pha. Do tổng số các điểm pha không đổi nên chuyển động của các điểm pha giống như sự chảy dừng của một chất lỏng không nén được. Vì vậy ta có thể áp dụng phương trình liên tục cho quá trình này. Phương trình liên tục có dạng :
(1)
trong đó là hàm phân bố thống kê và vớilà vận tốc của điểm pha trong không gian pha 2s chiều.
Do đó ta có :
(2)
Mặt khác, khi di chuyển dọc theo quỹ đạo pha của hệ thì các và thỏa mãn phương trình chính tắc Hamilton : với là hàm Hamilton của hệ.
Suy ra : (3)
(4)
Thay (3) và (4) vào (2), rồi thay vào (1) ta được :
(5)
trong đó gọi là ngoặc Poisson giữa và
Mặt khác, ta lại có : nếu thì (6)
Từ (5) và (6) ta có : hay (7)
Vậy dọc theo quỹ đạo pha thì hàm phân bố của hệ là không đổi theo thời gian.
Phương trình (5) được viết lại là :
hay (8)
(8) là phương trình định lí Liouville
Trong trạng thái cân bằng thống kê thì giá trị các đại lượng nhiệt động sẽ không phụ thuộc thời gian. Do đó hàm phân bố thống kê sẽ không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Khi đó ta có : . Kết hợp với (8) suy ra : . Theo cơ học lí thuyết, một đại lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian và ngoặc Poisson giữa hàm Hamilton với đại lượng đó là bằng 0 thì đại lượng đó được gọi là tích phân chuyển động. Mặt khác ta lại biết rằng đối với một hệ cơ thì chỉ có 7 tích phân chuyển động độc lập, đó là : năng lượng E của hệ; 3 thành phần px, py và pz của xung lượng ; 3 thành Lx, Ly và Lz của mômen động lượng . Đối với các hệ nhiệt động, ta thường không xét chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ. Do đó ta chỉ cần chú ý đến năng lượng E của hệ. Mặt khác, ta lại biết rằng hàm Hamilton không phụ thuộc vào thời gian H(q,p) chính là năng lượng của hệ H(q,p)=E. Vậy đối với hệ cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố thống kê của hệ chỉ phụ thuộc vào năng lượng của hệ :
2. Phân bố chính tắc Gibbs
Xét hệ đẳng nhiệt tức là hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt. Chia hệ thành hai hệ con C1 và C2 sao cho C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô. Khi đó năng lượng của hệ bằng tổng năng lượng thành phần của mỗi hệ với năng lượng tương tác giữa hai hệ :
Vì C1 và C2 vẫn là hệ vĩ mô nên năng lượng tương tác giữa hai hệ là rất bé so với năng lượng của từng hệ là và . Do đó năng lượng của hệ là :
Điều này có nghĩa là hai hệ con C1 và C2 là hai hệ độc lập với nhau nên áp dụng định lí nhân xác suất ta có :
Suy ra
Lấy lôgarit Nêpe hai vế ta được :
Lấy vi phân hai vế phương trình trên ta được :
Hay
Cho và tiến đến 0 một cách độc lập ta được :
Khi thì hay
Khi thì hay
Suy ra với
Vậy hàm phân bố thỏa phương trình :
hay
Lấy tích phân hai vế phương trình trên ta được :
hay
Đây chính là phân bố chính tắc Gibbs, đại lượng gọi là môđun của phân bố.
Hệ số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa :
hay
Đặt thì và khi đó ta có : .
Bằng cách so sánh với kết quả của nhiệt động lực học ta có :
và
trong đó là hằng số Boltzmann, là nhiệt độ tuyệt đối,
là năng lượng tự do và là tích phân trạng thái
Khi đó biểu thức của phân bố chính tắc Gibbs được viết lại là :
Đối với hệ gồm N hạt đồng nhất thì việc hoán vị các hạt không làm thay đổi trạng thái của hệ mặc dù chúng được biểu diễn bằng các điểm pha khác nhau trong không gian pha. Do đó, đối với hệ N hạt đồng nhất ta phải loại bỏ các điểm không gian pha ứng với phép hoán vị khác nhau của các hạt. Với hệ N hạt đồng nhất ta có N! hoán vị khác nhau nên khi đó phân bố chính tắc được viết lại là :
3. Phân bố chính tắc lớn Gibbs
Khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố của hệ à :
(1)
Đối với hệ có số hạt thay đổi, thay cho năng lượng tự do (với ) người ta dùng thế nhiệt động được xác định bởi công thức :
(2)
trong đó là thế hóa học của hạt
Từ (2) ta viết lại (1) là : (3)
Biểu thức (3) là hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs.
Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố chính tắc lớn Gibbs là :
hay
Đại lượng được gọi là tổng thống kê của hệ.
Khi đó ta có :
Đối với hệ có số hạt thay đổi, trị trung bình của một đại lượng bất kì được xác định theo công thức :
4. Các hàm nhiệt động và các đại lượng nhiệt động trong phân bố chính tắc
Tích phân trạng thái : tính theo tất cả các trạng thái khả dĩ của không gian pha. Nếu là hệ hạt đồng nhất thì :
Năng lượng tự do :
Entropi :
Áp suất :
Nội năng :
Nhiệt dung:
Thế Gibbs :
Entanpi :
5. Khí lí tưởng
Xét hệ N hạt khí lí tưởng đồng nhất ở trong bình có thể tích V và ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton của hệ là :
Tích phân trạng thái của hệ có dạng :
trong đó là tích phân trạng thái của một hạt. Ta có và , . Dùng tích phân Poisson , ta có : . Suy ra .
Vậy ta tìm được tích phân trạng thái của hệ là :
trong đó và m là khối lượng của một hạt khí lí tưởng.
Năng lượng tự do của hệ :
Áp suất của hệ : , suy ra phương trình trạng thái của hệ là .
Entropi của hệ :
Nội năng của hệ :
Nhiệt dung đẳng tích của hệ :
6. Phân bố Maxwell – Boltzmann
Xét hệ N hạt đồng nhất không tương tác với nhau và nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động ở nhiệt độ T. Khi đó hàm Hamilton H (X,a) của hệ trùng với năng lượng E(X) và có dạng , với là năng lượng của hạt thứ i. Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái có năng lượng E(X) và ở trong yếu tố thể tích dX của không gian pha là :
Hay (1)
trong đó (2)
Biểu thức (2) chính là xác suất để hạt thứ i có năng lượng bằng , có tọa độ nằm trong khoảng từ đến và có xung lượng nằm trong khoảng từ đến .
Xét phân bố (2) trong không gian pha 6 chiều của một hạt (không gian µ) . Năng lượng của một hạt riêng lẻ biểu thị qua động năng và thế năng phụ thuộc vào xung lượng và tọa độ của hạt là . Do đó, phân bố (2) được viết lại là :
(3)
Đây chính là phân bố Maxwell – Boltzmann.
Biểu thức (3) được viết lại dưới dạng :
(4)
Trong đó : (5)
là phân bố Maxwell theo xung lượng
(6)
là phân bố Boltzmann trong trường lực
Xét phân bố Maxwell theo xung lượng, sử dụng tích phân Poisson để chuẩn hóa hàm phân bố (5) :
hay
Mà nên và . Vậy phân bố Maxwell theo xung lượng ở (5) được viết thành phân bố Maxwell theo vận tốc :
Trong hệ tọa độ cầu thì , lấy tích phân theo hai biến và , khi đó phân bố theo vận tốc trở thành :
với là hàm phân bố vận tốc.
Xét phân bố Boltzmann trong trường lực ở (5) cho khí lí tưởng ở trong trường trọng lực. Thế năng của hạt trong trường trọng lực là nên phân bố Boltzmann ở (6) trở thành :
Với N là tổng số hạt của hệ thì số hạt ở độ cao từ đến là :
Gọi n(z) và n0 lần l...