Bất đẳng thức Jensen

Download Chuyên đề Bất đẳng thức Jensen

Download Chuyên đề Bất đẳng thức Jensen miễn phí

- Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh
c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m.
+ m=1 bất đẳng thức đúng
+ m=2 bất đẳng thức đúng theo (b)
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1.
- Thậy vậy, ta có:
 



++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!

Tóm tắt nội dung:

Phần II:Bất đẳng thức Jensen
2.1. Nội dung bất đẳng thức:
Định lí 1 (Jensen):
Nếu y = f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b) thì với mọi
x1,…xn (a,b) và mọi số thực ta có bất đẳng thức:
Chứng minh:
+) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp theo n.
- Với n=2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa.
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 2. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cho n+1.
- Xét x1,…,xn, xn+1 Î (a,b) và các số thực
- Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức:
- Vì f(x) là hàm lồi nên:
Vậy (đpcm)
Kết quả 1: Với n=2, f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b), "x,y Î(a,b)
ta có:
Kết quả 2: Giả sử f(x) là hàm lồi trong khoảng (0: +¥). Khi đó:
Chứng minh:
Vì f(x) là hàm lồi trong khoảng (0.¥) khi đó áp dụng bất đẳng thức
Jensen ta có:
(đpcm)
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1:
Với mọi x1,…., xn, y1,…yn,
Ta có các bất đẳng thức sau:
a)
b)
c) cho mọi xij ≥ 0 và
d) (Cauchy)
Chứng minh:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -lnx, x > 0
- Vì nên f(x) là hàm lồi
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta được:
(đpcm)
b) Bất đẳng thức:
- Theo (a) ta có:
- Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh
c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m.
+ m=1 bất đẳng thức đúng
+ m=2 bất đẳng thức đúng theo (b)
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1.
- Thậy vậy, ta có:
= (đpcm)
d) Được suy ra từ câu (a) qua việc chọn
Hệ quả 2: Nếu xi, yi ≥ 0 và , thì
Chứng minh:
- Qua việc thay thế qua xi và qua yi, theo bài tập trên ta có:
- Cộng tất cả các bất đẳng thức này ta được:
Hệ quả 3: (Cauchy - Holder):
Nếu a, b > 0, a+b = 1 và các ai, bi ≥ 0, i=1,…,n thì:
Chứng minh:
- Nếu thay các và
- Từ hệ quả trên ta có:
(đpcm)
- Nếu a = b = thì ta có bất đẳng thức Bunhiakowski
Hệ quả 4 (Minkowski):
Nếu 0 0, i = 1,…,n thì:
Chứng minh:
- Với a+b=1 áp dụng hệ quả (3) ta có:
=
=>
Vậy:
Định lí 2:
Cho . Khi đó bất đẳng thức:
f(x1)+…+f(xn) ≥ nf() (I)
đúng với mọi n ≥ 2 khi và chỉ khi (I) đúng với n = 2
Chứng minh:
* Điều kiện cần: hiển nhiên.
* Điều kiện đủ:
- Giả sử (I) đúng với n = 2. Khi đó (I) đúng với n = 2k, k = 1, 2,…
- Giả sử bất đẳng thức (I) đúng với (n+1) số bất kì x1,… xn, xn+1 tức:
f(x1)+…+f(xn)+f(xn+1) ≥ nf ()
- Lấy xn+1 = x = suy ra:
f(x1)+…+f(xn) ≥ nf ()
2.3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Với a1, a2,…, an Î (0,p), a = . Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a)
b)
Giải:
a) Xét hàm y =f(x)=lnsinx, x Î (0,p)
là hàm lõm.
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có:
b) Xét hàm
là hàm lõm.
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có:
Ví dụ 2: Cho a, b, p, q > 0, . Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1: Áp dụng hệ quả 1 với: x = ap, y = bq,
Ta có:
\
Cách 2:
+) Xét hàm y=f(x)=ax là một hàm lồi.
- Chọn :
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
(1)
+) Xét hàm y = f(x) = bx là một hàm lồi.
- Chọn
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
(2)
- Từ (1), (2) ta có:
- Vì vai trò của p, q là như nhau nên:
Ví dụ 3: Cho a > 1, x1,…xn Î (0, 1) với x1+…+ xn = 1. Chứng minh rằng:
Giải:
- Xét hàm
Ta có:
là hàm lồi.
- Chọn
Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
=
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi dãy số thực x1,x2,…xn ta có:
Giải:
- Theo định lí 6 bất đẳng thức trên đúng nếu ta chứng minh được với trường hợp 2 số:
với mọi a, b ≥ 1
Tuy nhiên:
(hiển nhiên đúng)
Ví dụ 5: Giả sử các số thực dương có : .
Chứng minh rằng:
Giải:
- Xem hàm:
Ta có:
là hàm lồi trên (0,1)
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có:
=
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu thì:
Giải:
* Bổ đề:
Nếu
thì:
Thật vậy:
- Xét hàm f(x) = xa trên (0,+¥), a > 1
đồng biến trên (0,+¥)
là hàm lồi
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có:
* Trở lại bài toán:
- Ta sử dụng bổ đề hai lần:
+)
+)
(đpcm)
Ví dụ 7 (Bất dẳng thức Sac-vơ): Cho 2n số thực a1,…an,b1,…bn
trong đó: bi>0, " i = 1,2,…, n ta có bất đẳng thức:
(đpcm)
Bài tập đề nghị:
Chứng minh các bất đẳng thức tam giác sau:
a) sinA + sinB + sinC
b) cosA + cosB + cosC
c)
d)
e)
f)
g)
h) (tanA+tanB+tanC)(cotA+cotB+cotC)
≥
(DABC là tam giác nhọn)
HD: a) Xét hàm f(x)=sinx, x Î (0, p)
b) Xét hàm f(x)=cosx, x Î (0, p)
c) Xét hàm f(x)=
d) Xét hàm f(x)=
e) Xét hàm f(x) =
f) Xét hàm f(x)=
g) Xét hàm f(x) =
h) Xét hàm f(x)=tanx, g(x)=cotx, x Î(0, )
...