Cải tiến phương pháp dạy học với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phá

thử thách học sinh với nhiều bài toán
dễ mắc sai lầm.
Cho học sinh tiếp cận nhiều với những dạng toán tổng quát.
Phép tương tự được sử dụng trong cả 3 giai đoạn, sự khác biệt của chúng là ở mục
đích cùa hành động: phát hiện vấn đề, giải quyết vấn đề và vận dụng, sau đó là cách
thực hiện.
Để phát hiện hai đối tượng nhận thức là tương tự nhau thì chúng phải phù hợp với
nhau trong các quan hệ rõ ràng và các bộ phận tương ứng rõ ràng
Cách giải quyết vấn đề mới có thể tương tự với cách giải quyết đã biết hướng đi ở
cách suy nghĩ. Các biện pháp tương tự ở bước 3 có tính thu hẹp phạm vi tìm kiếm lời
giải của bài toán ban đầu.
VI. ÁP DỤNG VÀO DẠY HỌC HÀM SỐ LIÊN TỤC
THIẾT KẾ BÀI HỌC THEO QUI TRÌNH
DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Bước 1: Tri giác vấn đề
™ Tạo tình huống gợi vấn đề:
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 23
Kiểm tra bài cũ:
Cho các hàm số sau:
2( )f x x= và
2
2
2
( ) 2
2
x
g x
x
⎧− +⎪= ⎨⎪− +⎩
có đồ thị như hình vẽ
1. Hãy tính các giới hạn sau (nếu có):
a.
1
lim ( ) ?
x
f x→ =
nếu 1x ≤ −
nếu 1 1x− < <
nếu 1− ≥x
Đồ thị
hàm số
2y x=
x O
y
1
1
2y x=
O
1
1 1
2
y
x
Đồ thị
hàm số
y = g(x)
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 24
b.
1
lim ( ) ?
x
g x→ =
2. Nếu tồn tại giới hạn hãy so sánh các giá trị
1
lim ( )
x
f x→ và (1)f ; 1lim ( )x g x→ và (1)g
GV khẳng định: Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục tại 1x = . Hàm số ( )y g x=
không liên tục tại 1x =
Đặt vấn đề:
Như vậy để biết hàm số đã cho liên tục tại một điểm hay không ta cần làm gì? Để
làm được như vậy có cần điều kiện gì hay không ?
™ Giải thích và chính xác hóa vấn đề :
Như vậy đề bài yêu cầu ta xét hàm số ( )y f x= có liên tục tại một điểm 0x nào đó
hay không ?
™ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết:
Chúng ta cần tìm cách giải tổng quát và điều kiện để thực hiện việc xét hàm số
( )y f x= đã cho có liên tục tại một điểm 0x nào đó
Bước 2: Giải quyết vấn đề
™ Phân tích vấn đề, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm:
Xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= tại điểm 0x
Câu hỏi đặt ra: Với hàm số đã cho ta có thể xác định được miền xác định của nó hay
không? Và xét xem điểm 0x có thuộc miền xác định của hàm số hay không? Với
những điều kiện này, ta có thể tính được giới hạn
0
lim ( )
x x
f x→ và 0( )f x hay không?
Sau đó ta so sánh hai giá trị trên ta được điều gì?
Trả lời: Sẽ xảy ra nhiều trường hợp giữa hai giá trị này
™ Đề xuất hướng giải quyết:
Từ trường hợp trên, ta có thể đi đến phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm
số ( )y f x= tại một điểm 0x như thế nào?
Trả lời:
Trước hết ta tìm miền xác định của hàm số rồi xét xem điềm 0x có thuộc miền xác
định hay không? Nếu 0x không thuộc miền xác định thì kết thúc bài toán.
Khi 0x thuộc miền xác định ta tính các giá trị:
0
lim ( )
x x
f x→ và 0( )f x
Trường hợp hàm số
( )
( )
( )
k x
f x
l x
⎧= ⎨⎩
Thì thay vì ta tính
0
lim ( )
x x
f x→ thì ta tính 0
lim ( )
x x
f x+→ và 0
lim ( )
x x
f x−→
nếu 0x x≥
nếu 0x x<
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 25
So sánh hai giá trị
0
lim ( )
x x
f x→ và 0( )f x : nếu chúng bằng nhau thì ta kết luận hàm số
đã cho liên tục tại điểm 0x .
Trường hợp
( )
( )
( )
k x
f x
l x
⎧= ⎨⎩
thì ta kiểm tra xem
0
lim ( )
x x
f x+→ ; 0
lim ( )
x x
f x−→ ; và 0( )f x có
bằng nhau không? Nếu chúng bằng nhau thì chúng ta vẫn kết luận hàm số liên tục tại
điểm 0x .
Nếu chúng không bằng nhau thì hàm số không liên tục tại điểm 0x . Ta gọi là hàm số
gián đoạn tại điểm 0x
Nếu không tồn tại các giới hạn thì hàm số cũng gián đoạn tại điểm này.
™ Thực hiện giải quyết vấn đề:
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm ( )y f x= tại điểm 0x
9 Bước 1:
Miền xác định: D
Điểm 0x D∉ . Kết luận: Hàm số không liên tục tại điểm 0x
Điểm 0x D∈ .Sang bước 2
9 Bước 2:
Tính
0
lim ( )
x x
f x→ và 0( )f x ( hay 0
lim ( )
x x
f x+→ ; 0
lim ( )
x x
f x−→ ; và 0( )f x )
9 Bước 3:
Nếu không tồn tại bất cứ một trong các giá trị trên thì bài toán kết thúc và kết luận
hàm số gián đoạn tại 0x .
Nếu các giá trị trên tồn tại thì so sánh chúng. Nếu có một giá trị khác các giá trị còn
lại thì kết luận hàm số gián đoạn tại 0x . Chúng bằng nhau thì kết luận hàm số liên tục
tại 0x .
Bước 3:Kiểm tra - vận dụng:
™ Kiểm tra lại quá trình giải quyết
™ Khẳng định lại vấn đề
™ Kiến thức mới cần lĩnh hội:
ƒ Các bước xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
ƒ Chú ý kiểm tra điểm 0x có thuộc miền xác định hay không?
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 26
Vận dụng trực tiếp
A. Xét tính liên tục của hàm số:
1) 2
2 1
( ) 2 3 1
2
x
f x x x
+⎧⎪= + +⎨⎪⎩
tại điểm 0
1
2
= −x
2)
3 sin
( )
2
x x
g x ⎧= ⎨⎩ tại điểm 0 0=x
3) 2
2 2
( ) 4 3
1
x
h x x x
−⎧⎪= − +⎨⎪⎩
tại điểm 0 1x =
B. Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x 0 2=
3 8
( ) 2
2 1
x
k x x
a
⎧ −⎪= −⎨⎪ +⎩
Giải:
A.
1) Miền xác định: D =
0
1
2
= − ∈x D
Ta có:
21 1 1
2 2 2
1
2
12( )2 1 2lim ( ) lim lim 12 3 1 2( 1)( )
2
1lim 2
1
→− →− →−
→−
++= =+ + + +
= =+
x x x
x
xxf x
x x x x
x
1( ) 2
2
− =f
1
2
1lim ( ) ( )
2→−
⇒ =
x
f x f
Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm 0
1
2
= −x .
nếu 1
2
≠ −x
nếu 1
2
= −x
nếu 0x ≤
nếu 0x >
nếu 1x ≠
nếu 1x =
nếu 2x ≠
nếu 2x =
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 27
2) Miền xác định: D =
0 0x D= ∈
Ta có:
0 0
lim ( ) lim(3 sin ) 0
x x
g x x x− −→ →= =
0
lim ( ) 2
x
g x+→ =
(0) 0g =
0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
x x
g x g x g+ −→ →⇒ ≠ =
Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại điểm 0 0x =
3) Miền xác định: D =
0 1x D= ∈
Ta có:
21 1 1 1
2 2 2( 1) 2lim ( ) lim lim lim 1
4 3 ( 1)( 3) 3x x x x
x xh x
x x x x x→ → → →
− − − −= = = =− + − − −
(1) 1h =
1
lim ( ) (1) 1
x
h x h→⇒ = =
Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm 0 1x =
B. Miền xác định: D =
0 2x D= ∈
Ta có:
3 2
2 2 2
2
2
8 ( 2)( 2 4)lim ( ) lim lim
2 2
lim( 2 4) 12
→ → →
→
− − + += =− −
= + + =
x x x
x
x x x xk x
x x
x x
(2) 2 1k a= +
Hàm số liên tục k tại điểm x 0 2= khi và chỉ khi :
2
lim ( ) (2)
x
k x k→ =
11
2
⇔ =a
Vậy giá trị cần tìm là 11
2
=a .
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 28
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG, ĐOẠN
Bước 1:Tri giác vấn đề
™ Tạo tình huống gợi vấn đề:
Kiểm tra bài cũ:
Cho hàm số
3 8
( ) 2
12
x
f x x
⎧ −⎪= −⎨⎪⎩
a)Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 0 2x = ; 0 3x = ; 0 5x =
b)Tính
2 5
lim ( ); lim ( )
x x
f x f x+ −→ → ; (2); (5)f f
Giáo viên nhận xét:
Rõ ràng hàm số đã cho liên tục tại các điểm 0 2x = ; 0 3x = ; 0 5x =
Và ta cũng chứng minh được rằng hàm số ( )f x đã cho cũng liên tục tại tất cả các
điểm trong khoảng (2;5) .
Ta cũng chứng minh được
2
lim ( ) (2)
x
f x f+→ = và 5lim ( ) (5)x f x f−→ = vì hàm số liên tục
tại 2 và 5
Khi đó ta nói hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 2;5⎡ ⎤⎣ ⎦
Đặt vấn đề:
Như vậy để biết hàm số đã cho liên tục trên một khoảng (một đoạn) hay không ta cần
làm gì? Để làm được như vậy có cần điều kiện gì hay không?
™ Giải thích và chính xác hóa vấn đề :
Như vậy đề bài yêu cầu ta xét hàm số ( )y f x= có liên tục tại trên một khoảng ( );a b
(đoạn [ ];a b ) nào đó hay không?
™ Phát biểu và đặt mục đích giải quyết:
Chúng ta cần tìm cách giải tổng quát và điều kiện để thực hiện việc xét hàm số
( )y f x= đã cho có liên tục tại trên một khoảng ( );a b (một đoạn [ ];a b ) nào đó
Bước 2: Giải quyết vấn đề
™ Phân tích vấn đề, làm rõ mối quan hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm:
Xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( );a b
Câu hỏi đặt ra : Để chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng ( );a b nào đó ta cần
làm gì?
Trả lời : Ta cần chứng minh hàm số liên tục tại tất cả các điểm trên khoảng ( );a b
nếu 2x ≠
nếu 2x =
Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh
Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 29
Vấn đề nảy sinh: Khi hàm số liên tục trên khoảng ( );a b thì ta cần thêm điều kiện gì
để hàm số liên tục trên đoạn [ ];a b ?
Trả lời:
Dựa vào ví dụ ta chỉ cần chứng minh thêm :
lim ( ) ( )
x a
f x f a+→ = và lim ( ) ( )x b f x f b−→ =
™ Đề xuất hướng giải quyết và thực hiện giải quyết vấn đề:
Từ trường hợp trên, ta có thể đi đến phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm
số ( )y f x= trên khoảng ( );a b như thế nào?
Ta chứng minh với mọi 0x thuộc khoảng ( );a b thì hàm số đã cho đều liên tục tại 0x
Phương pháp chung để xét tính liên tục của hàm số ( )y f x= trên đoạn [ ];a b như thế
nào?
Ta chứng minh hàm số liên tục trên khoảng ( );a b rồi chứng minh thêm :
lim ( ) ( )
x a
f x f...