Download miễn phí Luận văn Tích phân Riemann – Graves và tích phân Riemann – Pettis
Mặt khác Graves đã lưu ý rằng tiêu chuẩn của Lebesgue trang bị cho hàm vectơ chỉ là điều kiện đủ để khả tích (R-G).
Tức là mọi hàm vectơ không liên tục trên tập có độ đo không thì khả tích (R-G).
Tuy nhiên có những hàm vectơ không liên tục khắp nơi vẫn khả tích (R-G).
Ví dụ 1: Xem là không gian M các hàm thực xác định và bị chặn trên
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Lời mở đầu.Trong chương trình toán của khoa Toán trường đại học sư phạm đã cung
cấp một khối lượng khá hoàn chỉnh về kiến thức cơ sở. Phép tích phân cũng được trang bị khá tốt về tích phân Riemann và tích phân Lebesgue của hàm nhận giá trị thực.
Vào năm 1951, A.Alexiexicz và W.Orlicz cho công bố bài báo:
”Remarks on Riemann integration of vector valued functions”-StudiaMath
12-1951. Bài báo này đề cập một số nhận xét quan trọng về tích phân Riemann của hàm nhận giá trị véc tơ .
Vào năm 1994, cuốn sách: “Phép tính vi phân và tích phân “-của GS.TS Nguyễn Văn Khuê, TS Cấn Văn Tuất và TS Đậu Thế Cấp xuất bản trong đó có xây dựng tích phân Riemann của hàm giá trị véc tơ và các tính chất của nó .
Trên cơ sở hai tài liệu nói trên, bản luận văn tốt nghiệp này có nhiệm vụ tìm hiểu và giải thích chi tiết các vấn đề có liên quan đến tích phân Riemann của hàm giá trị véctơ.
Luận văn được chia thành hai phần :
- Phần1: Nhắc lại một số kiến thức của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue đối với hàm vô hướng.
- Phần2: Tích phân Riemann – Graves và tích phân Riemann – Pettis. ở đây chủ yếu đề cập tích phân của hàm giá trị véc tơ. Sự liên hệ giữa tích phân
R-G và tích phân R – P.
Phần I: Nhắc lại một số kiến thức của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue đối với hàm vô hướng
Đ1.Tích phân Riemann của hàm vô hướng .
1.1.Định nghĩa tích phân Riemann của hàm vô hướng .
Cho hàm số xác định trên đoạn lấy giá trị trong R. Gọi là
phép phân hoạch đoạnthành các phần nhỏ ,,…,.
Đặt d()=max với =sup
Trong mỗi chọn một số . Lập tổng
Nếu tổng trên có giới hạn khi không phụ thuộc vào phân hoạch và cách chọn thì hàm được gọi là khả tích Riemann (hay khả tích(R)) trên đoạn .
Và I
I: được gọi là tích phân của hàm trên đoạn .
Ký hiệu I=
Tức là với mọi số e> 0cho trước, $d>0 sao cho mọi phân hoạch p mà
Cho hàm số
Đối với phân hoạch p của đoạn thành các khoảng ,,…,
Đặt ; và
Khi đó và
Lần lượt gọi là tổng Đarboux trên và tổng Đarboux dưới của hàm ứng với phân hoạch p của đoạn
Đặt
1.2.1. Định lý: (Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích ).
Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích(R) là
1.2.2 Định lý Lebesgue
Hàm bị chặn khả tích (R) khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của có độ đo không.
Ví dụ 1: Cho hàm số xác định bởi
với x hữu tỷ
với x vô tỷ
trên đoạn
Ta thấy tập các điểm gián đoạn của là có độ đo khác không .
Mặt khác ta chứng minh không khả tích (R) trên bằng định nghĩa.
Thậy vậy : gọi p là phép phân hoạch đoạn thành các đoạn nhỏ ,,…,. Trên mỗi chọn một số . Lập tổng :
Khi đó nếu là số vô tỷ ta có:
Nếu chọn là số hữu tỷ ta có:
Chứng tỏ không khả tích (R) trên .
Đ2. Tích phân Lebesgue của hàm vô hướng.
2.1 Khái niệm hầu khắp nơi.
Ta nói một tính chất nào đó thoả mãn hầu khắp nơi(viết tắt là h.k.n) trên A nếu tập tất cả các điểm thuộc A mà tại đó tính chất không thoả mãn có đo độ không.
Ví dụ: hai hàm bằng nhau hầu khắp nơi nếu
tập có đo độ không.
2.2. Hàm bậc thang.
Một hàm số
với x ẻ A cccẻA aAÂ
với x ẽ A aAÂ
Gọi là hàm đặc trưng của tập hợp nếu:
Ta thường kí hiệuđể chỉ hàm đặc trưng của tập hợp A.
Một hàm số
ở đó D là một gian trong được gọi là hàm bậc thang nếu có thể viết dưới
dạng tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm đặc trưng của các ô con của
D. Tức là tồn tại các ô của D và các số của R sao cho :
.
đánh giá là hàm bậc thang thì có thể viết dưới dạng chính tắc
trong đó là các ô rời nhau của D.
2.3.Tích phân của hàm bậc thang.
đánh giá là hàm bậc thang viết dưới dạng
với là các ô con của D rời nhau( có thể giả sử với mọi ).
Ta định nghĩa
gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên D.
Tích phân đó không phụ thuộc vào cách biểu diễn .
2.4. Hàm khả tích Lebesgue.
Một hàm gọi là đo được nếu là giới hạn hầu khắp nơi của một dãy hàm bậc thang. Nói cách khác được gọi là đo được nếu có một dãy hàm bậc thang sao cho:
với mọi ẻB mà D\ B có độ đo không
Một hàm được gọi là khả tích Lebesgue (viết tắt là khả tích (L)) nếu có một dãy hàm bậc thang sao cho:
đơn điệu tăng, hầu khắp nơi và là một dãy bị chặn .
Thì ta định nghĩa :
hoàn toàn xác định và gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên D.
Nếu D= ta có
Và được viết là
gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên .
2.5.Định lý:
Nếu hàm số khả tích (R) trên thì nó khả tích (L) trên và
.
Ngược lại không đúng.
với x vô tỷ
với x hữu tỷ
Ví dụ: Hàm Dirichlet
trên
Dễ dàng chứng minh không khả tích (R) trên ( Tương tự ví dụ 1).
Mặt khác =1. = 0.
Tức là khả tích Lebesgue trên và = 0.
Phần 2: Tích phân Riemann – Graves và
tích phân Riemann – Pettis.
a. Tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ.
Đ1.Tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ.
1.1.Định nghĩa tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ.
Cho hàm . Với là không gian Banach.
Gọi p là phép phân hoạch đoạn thành các đoạn nhỏ ,,…,.
Đặt . Trên mỗi đoạn chọn một số .
Lập tổng Riemann: (1).
Nếu mọi dãy tổng Riemann (1) có giới hạn khi không phụ thuộc vào phân hoạch p của đoạn và cách chọn thì hàm gọi là hàm khả tích Riemann – Graves ( viết tắt là khả tích (R-G)).
Và tích phân (R-G) của hàm trên đoạn được kí hiệu là .
Tức là:
=.
Hay với mọi > 0 cho trước, $ d > 0 sao cho với mọi phân hoạch p: và mọi cách chọn thì :
Từ đó : hàm gọi là khả tích (R-G) trên khi và chỉ khi với mọi > 0 tồn tại phép phân hoạch p của sao cho , thì
.
Người ta chứng minh mọi hàm có biến phân bị chặn thì khả tích (R-G)
( hàm gọi là có biến phân bị chặn trên nếu tập các tổng bị chặn với mọi thuộc phân hoạch không dẫm lên nhau).
* Mặt khác Graves đã lưu ý rằng tiêu chuẩn của Lebesgue trang bị cho hàm vectơ chỉ là điều kiện đủ để khả tích (R-G).
Tức là mọi hàm vectơ không liên tục trên tập có độ đo không thì khả tích (R-G).
Tuy nhiên có những hàm vectơ không liên tục khắp nơi vẫn khả tích (R-G).
Ví dụ 1: Xem là không gian M các hàm thực xác định và bị chặn trên
với
với
với chuẩn được định nghĩa: .
u
1
1 t
Đặt
và định nghĩa: bởi với .
Khi đó hàm khả tích (R-G) trên.
Thật vậy: với mọi e> 0 chọn khi đó với mọi phép phân hoạch p đoạn thành những đoạn nhỏ ,,…,,sao cho với mọi ,. Ta có:
.
ở đó =; với , ; .Với mỗi .
Nếu , >=0 – 0 = 0
, =1 – 1 = 0
=1 – 0 = 1.
ị.< < e.
Chứng tỏ khả tích (R-G).
Bây giờ ta chứng minh không liên tục khắp nơi trên .
với
với
với
Lấy tuỳ ý ẻ .
Xét .() = =
=1
không liên tục tại .
Do tuỳ ý suy ra không liên tục khắp nơi .
Đó là điều phải chứng minh.
ở ví dụ1 tập giá trị của hàm nằm trong là không gian Banach không khả li.
Tiếp theo ta lấy ví dụ về một hàm vectơ khả tích (R-G) không liên tục khắp nơi và tập giá trị của nó nằm trong một không gian khả li.
Ví dụ 2: xem là không gian C các hàm số liên tục trên .
với 0 Ê uÊ ln+1 và ln Ê u Ê 1
với u=
Đặt . Xét hàm:
=
Và là tuyến tính với các giá trị còn lại:
và Ê Ê .
...