mr_huy_2004
New Member
Download miễn phí Luận văn Xây dựng không gian Lp cho đại số toán tử
Mục lục
Bảng ký hiệu i
Mở đầu iii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Một số khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Biểu diễn các phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . 2
1.3 Sự thác triển của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Định nghĩa tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Hàm thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 10
1.5 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Toán tử chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Toán tử dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.5 Toán tử chéo hóa được . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.6 Toán tử unitar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.7 Phép đẳng cự một phần . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.8 Phép phân tích cực . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Các khái niệm hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Xây dựng không gian L
p
cho lớp các toán tử compact 21
2.1 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Khái niệm lớp toán tử compact . . . . . . . . . . 23
ii
2.2.2 Tính chất của toán tử compact . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Toán tử hạng một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.4 Đại số Calkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.5 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Định nghĩa vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 Lớp toán tử vết và lớp toán tử Hilbert-Schmidt . 32
2.3.3 Một dạng cụ thể của lớp toán tử Hilbert-Schmidt 38
2.3.4 Tích phân của toán tử compact . . . . . . . . . . 42
3 Xây dựng không gian L
p
cho đại số von Neumann với vết
chuẩn tắc chính xác nửa hữu hạn 43
3.1 Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Hàm vết trên đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Sự hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Tích phân theo vết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 Xây dựng tích phân theo vết . . . . . . . . . . . . 57
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo 62
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
ếu nếu mọi dãy {xn} trong H hộitụ yếu đến x thì {Txn} hội tụ yếu đến Tx.
Tương tự, T gọi là liên tục yếu-chuẩn nếu mọi dãy {xn} trong H hội tụ
mạnh đến x thì {Txn} hội tụ yếu đến Tx. Khi đó T là bị chặn.
T gọi là liên tục chuẩn-yếu nếu mọi dãy {xn} trong H hội tụ yếu đến x
thì {Txn} hội tụ mạnh đến Tx. Một toán tử liên tục chuẩn-yếu có hạng
hữu hạn.
Định nghĩa 1.6.4. Tô pô toán tử mạnh (strong-operator topology)
Tô pô toán tử mạnh trên B(H) có một cơ sở là các lân cận của toán tử
T0, các lân cận này là các tập có dạng:
V (T0 : x1, ..., xm; ) = {T ∈ B(H) : ||(T − T0)xj|| < (j = 1, ..., m)}
ở đó x1, ..., xm thuộc H và dương.
Dãy {Tj} hội tụ toán tử mạnh đến T0 khi và chỉ khi ||(Tj − T0)x|| → 0
với mỗi x thuộc H.
Định nghĩa 1.6.5. Tô pô toán tử yếu (weak-operator topology)
Tôpô toán tử yếu trên B(H) là tô pô yếu trên B(H) sinh bởi họ J các
phiếm hàm tuyến tính wx.y(T ) =, (x, y ∈ H, T ∈ B(H)).
Theo Định lý (1.6.1), tô pô toán tử yếu trên B(H) là một tô pô lồi địa
phương sinh bởi các nửa chuẩn |wx.y(T )|. Ta xét họ các tập:
V (T0 : wx1.y1, ..., wxm.ym; )
= {T ∈ B(H) : | | < (j = 1, 2, ..., m)}
ở đó dương, x1, ..., xm, y1, ..., ym đều thuộc H. Họ này là cơ sở của các
lân cận lồi (mở) của T trong tô pô toán tử yếu.
19
Từ | | < khi ||(T − T0)x|| < (1 + ||y||)−1, mỗi tập
mở trong tô pô toán tử yếu là mở trong tô pô toán tử mạnh. Do đó tô
pô toán tử yếu là yếu hơn tô pô toán tử mạnh.
20
Chương 2
Xây dựng không gian Lp
cho lớp các toán tử
compact
Trong chương này, chúng tui xây dựng không gian Lp cho lớp các toán
tử compact B0(H), tương ứng các toán tử liên tục triệt tiêu tại vô cùng.
Đây là sự mở rộng của Cc(X) cho trường hợp đại số toán tử tuyến tính
liên tục trên không gian Hilbert phức H. Tích phân của một toán tử
thuộc B0(H) là vết của toán tử đó.
Để nghiên cứu về toán tử compact, chúng tui giới thiệu khái niệm Đại
số Banach như sau.
2.1 Đại số Banach
Định nghĩa 2.1.1. (Đại số Banach)
Cho U là một không gian tuyến tính với phép nhân:
U × U → U
(A,B) 7→ AB
21
thỏa mãn các tính chất:
(1) A(BC) = (AB)C
(2) (A+ B)C = AC +BC; A(B + C) = AB + AC
(3) α(AB) = (αA)B = A(αB)
với mọi A, B, C thuộc U, α thuộc F (= R hay C) . Khi đó U được gọi là
một đại số (trên R hay C).
Một đại số U (trên R hay C) với phần tử đơn vị I được gọi là một đại
số định chuẩn khi U là một không gian định chuẩn thỏa mãn:
||AB|| ≤ ||A||.||B|| với mọi A, B thuộc U và ||I|| = 1. Nếu U là một
không gian Banach với chuẩn này thì U được gọi là một đại số Banach
(thực hay phức).
Cho H là một không gian Hilbert. Gọi B(H) là tập gồm các toán
tử tuyến tính bị chặn trên H với phép cộng, nhân các toán tử tuyến tính
theo nghĩa thông thường thì B(H) là một không gian Banach với chuẩn:
||A|| = sup
||x||≤1
||Ax||
Khi đó B(H) là một đại số Banach-không giao hoán.
Sau đây chúng tui giới thiệu một lớp đặc biệt của đại số Banach, là
lớp C∗-đại số. Lớp này có một phép đối hợp với các tính chất song song
với các tính chất của phép liên hợp của các toán tử trong không gian
Hilbert. Với X là một không gian Hausdorff compact và H là một không
gian Hilbert, C(X) và B(H) là các ví dụ về C∗-đại số.
Định nghĩa 2.1.2. Một phép đối hợp (involution) trên một đại số Ba-
nach phức U là một ánh xạ A→ A∗, từ U vào U thỏa mãn các điều kiện:
(1) (aS + bT )∗ = aS∗ + bT ∗,
(2) (ST )∗ = T ∗S∗,
(3) (S∗)∗ = S,
ở đó S, T ∈ U, a, b ∈ C, a, b là các số phức liên hợp của a và b.
Một C∗-đại số là một đại số Banach (có phần tử đơn vị I) với một phép
đối hợp thoả mãn:
(4) ||T ∗T || = ||T ||2 (T ∈ U) Như vậy nếu U là một C∗-đại số thì
||T || = ||T ∗|| với mọi T thuộc U.
22
2.2 Toán tử compact
2.2.1 Khái niệm lớp toán tử compact
Định nghĩa 2.2.1. Cho toán tử T trên không gian Hilbert vô hạn chiều
H với trường số F (thực hay phức). Hạng của T, được ký hiệu là rT , và
được định nghĩa: rT = dim(T (H)). Tập:
Bf(H) = {T ∈ B(H) | rT = dim(T (H)) <∞}
là không gian con hữu hạn chiều của B(H). Hơn nữa Bf(H) là một đại
số con và là idean của B(H).
Nếu T ∈ Bf(H), do kerT ∗ = (T (H))⊥ nên H = T (H)⊕kerT ∗. Suy
ra T ∗(H) = T ∗(T (H)) hay T ∗ có hạng hữu hạn. Vậy Bf(H) là idean tự
liên hợp trong B(H) và (Bf(H))∗ = Bf(H).
Bổ đề 2.2.2. Tồn tại một họ các phép chiếu (Pλ)λ∈Λ trong Bf(H) thỏa
mãn:
‖Pλ(x)− x‖ −→ 0
với mỗi x thuộc H.
Chứng minh. Gọi {ej | j ∈ J} là một cơ sở trực chuẩn của H. Gọi Λ là
họ gồm các tập con hữu hạn của J .
Với mỗi λ ∈ Λ, ta đặt Pλ là phép chiếu từ H lên không gian con
span{ej | j ∈ λ} = {
∑
j∈λ
cjej|cj ∈ F}. Khi đó (Pλ)λ∈Λ là một họ trong
Bf(H).
Nếu x thuộc H, ta có x = Σαjej . Theo đẳng thức Parseval ta có:
‖Pλ(x)− x‖
2 = Σj /∈λ | αj |
2−→ 0
.
Kí hiệu U là bao đóng theo chuẩn của tập U (tức là với mỗi phần tử
t thuộc U , có một dãy phần tử {si} thuộc U sao cho ||t− si|| → 0). Ta
có định lý cơ bản sau:
23
Định lý 2.2.3. Cho U là hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert
H. Các điều kiện sau đối với toán tử T thuộc Bf(H) là tương đương:
(i) T ∈ Bf(H).
(ii) T |U là hàm liên tục chuẩn yếu từ U vào H.
(iii) T (U) là compact trong H.
(iv) T (U) là compact trong H.
(v) Mỗi họ trong U có một họ con sao cho ảnh của họ con này bởi T
hội tụ trong H.
Chứng minh. (i)⇒(ii). Cho (xλ)λ∈Λ là một họ hội tụ yếu trong U với giới
hạn x. Cho > 0, theo giả thiết tồn tại S ∈ Bf(H) thỏa mãn
||S − T || < /3
Từ đó
||Txλ − Tx|| = ||(Txλ − Sxλ)− (Tx− Sx) + (Sxλ − Sx)||
≤ ||(T − S)xλ||+ ||(T − S)x||+ ||Sxλ − Sx||
≤ 2||T − S||+ ||Sxλ − Sx|| ≤
2
3
+ ||Sxλ − Sx||
Mỗi toán tử S thuộc B(H) là liên tục yếu-yếu nên Sxλ hội tụ yếu tới
Sx.
Trong không gian con hữu hạn chiều S(H) các tôpô trùng nhau. Do vậy
Sxλ hội tụ đến Sx theo chuẩn.
Từ đó ||Txλ − Tx|| < . Vì nhỏ tùy ý nên ||Txλ − Tx|| → 0 hay T là
hàm liên tục chuẩn-yếu.
(ii)⇒(iii). Cho TU là hàm liên tục chuẩn-yếu từ U vào H. Do U là
compact yếu nên T (U) là compact theo chuẩn.
(iii)⇒(iv). T (U) là compact trong H nên T (U) đóng và bị chặn trong
H. Do đó T (U) đóng và bị chặn trong H, tức là compact.
(iv)⇒(v). Giả sử T (U) là compact trong H. Ta có nếu T (U) là compact
tương đối thì mỗi họ phần tử trong T (U) sẽ có một họ con hội tụ. Vậy
(iv) được chứng minh.
(v)⇒(i). Đặt (Pλ)λ∈Λ (như trong bổ đề trên) là họ các phép chiếu trong
Bf(H) thỏa mãn ||Pλx−x|| → 0 với mọi x thuộc H. Từ đó PλT ∈ Bf(H)
với mỗi λ và PλT → T . Bởi vì nếu PλT không hội tụ tới T thì tồn tại
> 0 sao cho với mọi λ ∈ Λ, tồn tại véctơ đơn vị xλ thỏa mãn
||(PλT − T )xλ|| ≥
24
Theo giả thiết, ta giả sử họ {Txλ}λ∈Λ là hội tụ theo chuẩn trong H tới
một giới hạn y. Khi đó theo bổ đề trên
≤ ||(I − Pλ)Txλ|| ≤ ||(I − Pλ)(Txλ − y)||+ ||(I − Pλ)(y)||
≤ ||Txλ − y|| + ||(I − Pλ)y|| −→ 0
Đây là một mâu thuẫn. Vậy ||PλT − T || → 0.
Nhận xét 2.2.4. Lớp toán tử thỏa mãn định lý trên gọi là lớp toán tử
compact, kí hiệu là Bo(H), để ngụ ý rằng đây là các toán tử triệt tiêu ở
vô hạn. Bo(H) là một idean tự liên hợp, đóng theo chuẩn trong B(H).
Mặc dù I /∈ Bo(H) khi H có vô hạn chiều, nhưng Bo(H) có phần tử đơn
...