Download miễn phí Sách hướng dẫn học Toán cao cấp (A2)
Ma trận và định thức ngày nay luôn đi liền với nhau và ai cũng nghĩlà khái
niệm định thức phải ra đời sau khái niệm ma trận, nhưng sựthực ngược lại. Định
thức hình thành là nhằm đểgiải các hệphương trình tuyến tính mà việc làm này đã
có một lịch sửlâu đời trước đó.
Khái niệm định thức lần đầu tiên được Leibniz (Lépnít) đưa ra vào năm 1693
khi bàn đến việc giải hệphương trình tuyến tính. Định thức được tiếp tục phát triển
và nghiên cứu qua các công trình của Cramer (Cờrame) (Thụy sĩ), Vandermonde
(Vănđécmông) (Hà Lan), Laplace (Pháp), Jacobi (ia-cô-bi) (Đức). Người đầu tiên
nghiên cứu khái niệm định thức một cách hệthống là Cauchy (Cô-si) (Pháp).
Ngoài ứng dụng đểgiải hệphương trình tuyến tính, định thức còn được sử
dụng đểnghiên cứu những vấn đềcủa ma trận như: ma trận nghịch đảo, hạng của
ma trận, tìm giá trịriêng. Khảo sát tính chất độc lập của một hệvéc tơ. Định thức
Jacobi được sửdụng trong phép đổi biến sốcủa tích phân nhiều lớp. Định thức
Wronsky (vrông-xki) dùng đểkiểm tra tính chất độc lập tuyến tính của các nghiệm
của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất.
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
Định thức49
Câu 11: Tính định thức
53146
00054
00023
32331
10242
−−−
−
−
−
=D .
a) 125=D . b) 115−=D . c) 125−=D . d) 75=D .
Câu 12: Tính định thức
0
011
101
110
cba
c
b
a
D = .
a) cabcabcbaD 222222 −−−++= .
b) 2)( cbaD −−= .
c) 2)( cbaD ++= .
d) abccbaD 4222 +++= .
Câu 13: Cho ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
=
313
311
513
m
m
m
A ; ∈m . Với giá trị
nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1−A .
a) 2,1 ≠≠ mm . b) 5,2,1 ≠≠≠ mmm .
c) 5,3,2 ≠≠−≠ mmm . d) 4,2,3 ≠≠−≠ mmm .
Câu 14: Cho ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
41
14
23
m
m
m
A ; ∈m . Với giá trị nào của m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo 1−A .
a) 2,1 ≠≠ mm . b) 5,2 ≠≠ mm .
c) 4,1,5 ≠≠−≠ mmm . d) 2,1,3 ≠≠−≠ mmm .
Chương 4: Định thức
50
Câu 15: Tìm ma trận phụ hợp B của ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
751
432
321
A
a)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
174
342
785
B . b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
121
341
7101
B .
c)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
1012
32311
768
B . d)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
7421
109
582
B .
Câu 16: Cho ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
110
111
A . Tìm ma trận nghịch đảo 1−A .
a)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=−
100
210
121
1A . b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=−
100
110
111
1A .
c)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=−
111
011
001
1A . d)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=−
100
110
011
1A .
Câu 17: Cho ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
247
341
114
A . Tìm ma trận nghịch đảo 1−A .
a)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=−
15239
24123
128
1A . c)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=−
26239
11143
128
6
11A .
b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
=−
152332
111523
124
7
11A . d)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=−
314121
151715
637
13
11A .
Chương 4: Định thức
51
Câu 18: Cho ma trận
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
512
231
234
A . Tìm ma trận nghịch đảo 1−A .
a)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=−
9107
10169
121713
11
11A . c)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
=−
3175
18218
141311
12
11A
b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−=−
91114
12169
25237
21
11A . d)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=−
7209
211910
321113
21
11A
.
Câu 19: Cho CBA ,, là hai ma trân vuông cùng cấp. Điều nào sau đây
không đúng.
a) Nếu 0=mA thì tồn tại ( ) 11 ... −− +++=− mAAIAI .
b) Nếu 032 =+− IAA thì tồn tại AIA −=− 31 .
c) Nếu 0=AB thì không tồn tại 1−A .
d) Nếu 0det ≠A và CABA = thì CB = .
Câu 20: Tìm hạng )(Ar của ma trận
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=
20961
8632
414
4523
m
A
a) ⎩⎨
⎧
≠
==
1khi3
1khi2
)(
m
m
Ar . b) ⎩⎨
⎧
≠
==
0khi3
0khi2
)(
m
m
Ar .
c) ⎩⎨
⎧
−≠
−==
1khi4
1khi3
)(
m
m
Ar . d) ⎩⎨
⎧
≠
==
2khi4
2khi3
)(
m
m
Ar .
Câu 21: Tìm hạng )(Ar của ma trận
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
+−
=
0003
0015
024
132 22
m
mm
mm
mmm
A
Chương 4: Định thức
52
a) ⎩⎨
⎧
≠−≠≠
=−===
2,1,0khi4
2,1,0khi3
)(
mmm
mmm
Ar .
b) ⎩⎨
⎧
−≠≠≠
−====
2,1,0khi4
2,1,0khi3
)(
mmm
mmm
Ar .
c) ⎩⎨
⎧
≠≠≠
====
3,2,1khi3
3,2,1khi2
)(
mmm
mmm
Ar .
d) ⎩⎨
⎧
≠≠−≠
==−==
2,1,1khi3
2,1,1khi2
)(
mmm
mmm
Ar .
Câu 22: Tìm hạng )(Ar của ma trận
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
111
111
111
111
m
m
m
m
A
a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠−≠
=
−=
=
3,1khi4
3khi3
1khi1
)(
mm
m
m
Ar . b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠≠
=
=
=
3,2khi4
3khi3
2khi2
)(
mm
m
m
Ar
c)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≠−≠
=
−=
=
2,1khi4
2khi2
1khi1
)(
mm
m
m
Ar . d)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≠≠
−=
=
=
3,1khi4
3khi3
1khi1
)(
mm
m
m
Ar .
Câu 23: Tính định thức cấp n
0...111
1...011
1...101
1...111
MOMMM
=nD .
a) 12 −= nD . b) nnD )1(2 −= .
c) 1)1( −−= nD . d) 1−= nnD .
Câu 24: Giải phương trình 0
132412
101910
6127
=
−−
−−
−−
x
x
x
Chương 4: Định thức
53
a) 3,2,0 =−== xxx . b) 1,1 =−= xx .
c) 3,2,1 =−== xxx . d) 1,2 =−= xx .
Câu 25: Giải phương trình 0
382
140
575
=
−−
−−
−−
x
x
x
a) 3,2,1 =−=−= xxx . b) 3,1 =−= xx .
c) 3,2,1 === xxx . d) 3,1,2 ==−= xxx .
Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính
54
5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
5.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA
Khi khảo sát các hệ tuyến tính thường dẫn đến bài toán giải hệ phương trình
tuyến tính. Đối với hệ phi tuyến người ta thường giải quyết bằng cách xấp xỉ tuyến
tính. Vì vậy hệ phương trình tuyến tính có rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Cùng
với sự phát triển của công nghệ thông tin, nhiều bài toán ứng dụng giải tích toán
học ngày càng được mở rộng. Nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau có thể
đưa về cùng một vấn đề là giải hệ phương trình tuyến tính. Có thể chỉ ra đây một
vài bài toán dạng này:
- Sự phân phối dòng điện trong những sơ đồ có nhiều ghép nối.
- Giải gần đúng những bài toán của lý thuyết thế vị.
- Giải gần đúng một vài bài toán trong các vấn đề bức xạ điện từ.
- Sự phân phối vận tốc các dòng nước trong các hệ thuỷ lực học phức tạp.
- Ứng dụng giải tích thống kê vào tâm lý học, xã hội học và kinh tế học ...
Hệ phương trình tuyến tính đã được biết đến rất sớm. Ở Trung Quốc người ta
tìm thấy một cuốn sách có khoảng từ năm 500 trước công nguyên, trong đó có
những chỉ dẫn về việc dùng một bàn tính để giải các hệ phương trình tuyến tính
qua các ví dụ cụ thể. Phương pháp giải này chính là thuật toán khử Gauss. Ở châu
Âu thuật toán này đã được mô tả trong công trình của Buteo (Pháp) năm 1550,
trước Gauss hơn hai thế kỷ. Một phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến
tính là sử dụng định thức của Cramer.
Thoạt tiên ta có thể thấy rằng hình như vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính
đã cũ rồi và có thể giải quyết bằng những phương tiện tính toán sơ cấp quen biết.
Tuy nhiên để giải các bài toán nêu ra ở trên ta thường phải khảo sát khoảng từ 150
đến 200 phương trình đồng thời. Tình trạng ấy trong thực hành đã gây ra nhiều khó
khăn lớn đến nổi hầu như không thể giải quyết nổi nếu chỉ dùng phương pháp sơ
cấp. Với sự hỗ trợ của máy tính và các thuật toán mới đã khiến cho hệ phương
trình tuyến tính được ứng dụng hiệu quả để giải quyết các bài toán thực tế.
Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính
55
Một hệ phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng ma trận, dưới dạng một
véc tơ là một tổ hợp tuyến tính của một hệ các véc tơ khác hay biểu thức toạ độ
của một ánh xạ tuyến tính (chương 6).
Nếu ta ký hiệu các hệ số của hệ m phương trình có n ẩn thành một ma trận cỡ
m×n, các ẩn thành ma trận cột n×1, các hệ số vế sau thành ma trận cột m×1 thì hệ
phương trình đã cho có thể biểu diễn dưới dạng ma trận. Với cách biểu diễn này ta
thấy nếu ma trận các hệ số khả nghịch thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm (h...