Download miễn phí Khóa luận Điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai và đường cong bậc ba
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC iii
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1 NHÓM VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Định nghĩa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Nhóm aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Giới thiệu về đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Định lý Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI 6
2.1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN
ĐƯỜNG CONIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.1 Điểm hữu tỉ trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2 Điểm hữu tỉ trên đường conic . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG CONIC TỒN TẠI ĐIỂM HỮU TỈ . 9
2.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Định lý Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 BỘ BA PITAGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Định nghĩa bộ ba Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . 10
2.3.3 Công thức biểu diễn bộ ba Pitago . . . . . . . . . . . . . 11
3 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA 16
3.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG
CONG BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 CẤU TRÚC NHÓM CỦA CÁC ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG
CONG BẬC BA KHÔNG CÓ ĐIỂM KỲ DỊ . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Điểm kỳ dị trên trên đường cong . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Cấu trúc nhóm trên đường bậc ba không có điểm kỳ dị . 18
3.3 ĐƯỜNG CONG BẬC BA CHO DƯỚI DẠNG CÔNG THỨC
WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG BẬC BA . . . . . . . . . . . . . 22
3.4.1 Định nghĩa các loại đường cong bậc ba . . . . . . . . . . 22
3.4.2 Ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA KỲ DỊ . . . 24
3.5.1 Phương pháp tìm điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị 24
3.5.2 Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị . . 25
3.6 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC . . . . . . . 29
3.6.1 Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic . . . . . . 29
3.6.2 Công thức tính tọa độ của "tổng" hai điểm . . . . . . . . 30
3.6.3 Định lí Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.7 NHÓM CON XOẮN CỦA E(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7.1 Bậc của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7.2 Nhóm con xoắn của E(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.7.3 Đường cong (E) có phương trình
3.8 ĐỊNH LÍ FERMAT TRONG TRƯỜNG HỢP N = 3, N = 4 . . 39
3.8.1 Định lý Fermat trong trường hợp n = 3 . . . . . . . . . . 39
3.8.2 Định lý Fermat trong trường hợp n = 4 . . . . . . . . . . 41
3.9 SỐ ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
VìX, Y, Z dương nên ta chỉ cần xét n > m > 0. Do X
Z
,
Y
Z
là các phân số tối giản
nên tồn tại số nguyên λ để λZ = n2 +m2, λY = 2mn, λX = n2 −m2. Chúng
ta sẽ chứng minh λ = 1.
Vì λ chia hết cả n2 + m2 và n2 − m2 nên λ chia hết 2n2 và 2m2, mặt khác
(m,n) = 1 nên λ chia hết 2. Vậy λ = 1 hay λ = 2.
Nếu λ = 2 thì n2 −m2 = λX chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 vì X
lẻ. Do đó n2 −m2 ≡ 2 (mod 4). Mặt khác, vì m2, n2 đồng dư với 0 hay với 1
theo modulo 4 nên (n2−m2) không thể đồng dư 2 theo modulo 4. Do đó λ = 1.
Tóm lại, ta tìm được công thức của bộ ba Pitago (X,Y, Z) với X, Y, Z nguyên
tố cùng nhau (bộ ba Pitago nguyên thủy) như sau
X = n2 −m2, Y = 2mn, Z = n2 +m2,
với m, n ∈ Z+, n > m, (m,n) = 1 và m, n có tính chẵn lẻ khác nhau.
Với (X,Y, Z) là một bộ ba Pitago thì ta có (kX, kY, kZ) với k ∈ Z+ cũng là
một bộ ba Pitago.
12
Ví dụ 2.3.1. Một số bộ ba Pitago nguyên thủy được sinh ra theo công thức
trên
n m a = 2mn b = n2 −m2 c = n2 +m2
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
Bảng 2.1: Một số bộ ba Pitago nguyên thủy.
Ví dụ 2.3.2. Chứng minh rằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông
với các cạnh nguyên là một số nguyên.
Ta có tam giác vuông với các cạnh nguyên tương ứng với một bộ ba Pitago
(ka, kb, kc), với k ∈ Z+, (a, b, c) là bộ ba Pitago nguyên thủy. Do đó, ta chỉ cần
xét tam giác vuông tương ứng với bộ ba Pitago nguyên thủy (a, b, c) cho bởi
a = 2mn, b = n2 −m2, c = m2 + n2, với m, n ∈ Z+, n > m, (m,n) = 1 và
m, n có tính chẵn lẻ khác nhau. Ta có
S∆ =
1
2
ab = pr,
với p =
a+ b+ c
2
=
2n2 + 2mn
2
, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
này. Suy ra
r =
2mn(n2 −m2)
2n2 + 2mn
= m(n−m) ∈ Z.
Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông có các cạnh nguyên là một số
nguyên.
Ví dụ 2.3.3 ([1, tr. 49]). Ta sẽ chứng minh phương trình Fermat
x4 + y4 = z4 (2.3.1)
không có nghiệm nguyên (x, y, z) mà x, y, z đều khác 0. Để làm việc đó ta sẽ
chứng minh một kết quả sâu sắc hơn đó là chứng minh phương trình
x4 + y4 = z2 (2.3.2)
13
không có nghiệm nguyên (x, y, z) mà x, y, z đều khác 0. Ta sẽ dùng phương
pháp phản chứng.
Ý tưởng chứng minh là ta sẽ giả sử phương trình 2.3.2 tồn tại nghiệm nguyên
dương (a0, b0, c0) khác 0 tất cả, lúc đó sẽ chỉ ra được phương trình cũng có
nghiệm nguyên dương (a, b, c) với c < c0. Cứ tiếp tục quá trình này dẫn đến
phương trình 2.3.2 có vô số nghiệm nguyên dương (a, b, c) với c < c0. Suy ra
điều vô lý.
Vì a0, b0, c0 là nghiệm của 2.3.2 nên (a20)2 + (b20)2 = c20, do đó (a20, b20, c0) là
một bộ ba Pitago và ta có thể giả sử nó là một bộ ba Pitago nguyên thủy, khi
đó ta có
a20 = 2st, b
2
0 = t
2 − s2, c0 = t2 + s2,
với t, s ∈ Z+, (t, s) = 1, t > s, t và s có tính chẵn lẻ khác nhau. Dễ thấy t là
số lẻ và s là số chẵn. Thật vậy, nếu t là số chẵn và s là lẻ thì t2− s2 ≡ 3 (mod4).
Mặt khác, b0 là số lẻ nên b20 ≡ 1(mod4) (vô lý). Chúng ta có thể viết s = 2r,
(r ∈ Z+). Từ a20 = 2st, suy ra
(
a0
2
)2 = rt.
Vì r và t nguyên tố cùng nhau nên t = c2, r = d2 với c, d là hai số nguyên
dương nào đó. Ta có
b20 = t
2 − s2 ⇔ s2 + b20 = t2.
Vậy (s, b0, t) là bộ ba Pitago nguyên thủy nên
s = 2uv, b0 = u
2 − v2, t = u2 + v2,
với u, v ∈ Z+, (u, v) = 1, u > v và u, v có tính chẵn lẻ khác nhau. Suy ra
uv =
s
2
= r = d2.
Do u, v nguyên tố cùng nhau nên u = a2, v = b2 với a, b là hai số nguyên
dương nào đó.
Vậy c2 = t = u2 + v2 = a4 + b4. Ta tìm được một nghiệm nguyên dương khác
của phương trình là (a, b, c) với
c ≤ c2 = t ≤ t2 < t2 + s2 = c0.
14
Vậy phương trình 2.3.2 có nghiệm dương (a0, b0, c0) thì sẽ có nghiệm (a, b, c) mà
c < c0 (vô lý).
Tóm lại phương trình 2.3.2 không có nghiệm nguyên (x, y, z) mà tất cả đều
khác 0, suy ra phương trình 2.3.1 cũng không có nghiệm nguyên (x, y, z) mà tất
cả đều khác 0.
15
Chương 3
ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG
CONG BẬC BA
3.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ TÌM ĐIỂM
HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA
Cho một đường cong bậc ba có phương trình
a1x
3 + a2x
2y + a3y
3 + a4xy
2 + a5x
2 + a6xy + a7y
2 + a8x+ a9y + a10 = 0.
Với một đường cong bậc ba thì làm cách nào để chỉ ra các điểm hữu tỉ trên nó.
Liệu rằng chúng ta có thể làm như đối với đường conic. Trong trường hợp tổng
quát đường thẳng gặp đường cong bậc ba tại ba điểm nên ta không thể thực
hiện phép chiếu như đã làm với conic. Nhưng vấn đề sẽ khác nếu chúng ta biết
2 điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba đó, bởi vì đường thẳng đi qua 2 điểm hữu
tỉ sẽ cắt đường cong tại điểm thứ ba cũng hữu tỉ. Thật vậy, đường thẳng đi qua
hai điểm hữu tỉ là đường thẳng hữu tỉ, ta tiến hành rút một ẩn theo ẩn còn lại
rồi thế vào phương trình của đường cong, ta được một phương trình bậc ba với
các hệ số hữu tỉ. Phương trình bậc ba này có 2 nghiệm hữu tỉ vì vậy nghiệm còn
lại cũng là nghiệm hữu tỉ. Như vậy ta có giao điểm thứ ba giữa đường thẳng và
đường cong bậc ba là một điểm hữu tỉ. Với hai điểm hữu tỉ P, Q trên đường
cong ta tìm điểm hữu tỉ thứ ba (như hình vẽ) và ký hiệu là P ∗Q. Trong trường
hợp P ≡ Q thì cát tuyến PQ trở thành tiếp tuyến tại P cắt đường cong bậc ba
tại P ∗P (giả sử đường cong tồn tại tiếp tuyến tại P ) cũng là điểm hữu tỉ. Như
vậy, bằng cách này ta sẽ tìm được thêm nhiều điểm hữu tỉ từ những điểm hữu
16
Hình 3.1: Cách tìm điểm hữu tỉ.
tỉ đã biết.
Ví dụ 3.1.1. Tìm các điểm hữu tỉ trên đường cubic (C) có phương trình là
y2 = x3 + 2x2 từ các điểm hữu tỉ cho trước là O(0, 0), B(−2, 0), C(2, 4) (hình
3.2).
Hình 3.2: Một vài điểm hữu tỉ được tìm từ các điểm ban đầu.
Vấn đề đặt ra là bằng cách nào để mô tả được tập tất cả các điểm hữu tỉ
trên đường cong bậc ba, vấn đề đó ta sẽ tìm hiểu rõ hơn ở các phần sau.
17
3.2 CẤU TRÚC NHÓM CỦA CÁC ĐIỂM HỮU
TỈ TRÊN ĐƯỜNGCONGBẬC BAKHÔNG
CÓ ĐIỂM KỲ DỊ
3.2.1 Điểm kỳ dị trên trên đường cong
Cho một đường đường cong bậc ba (C) có phương trình là
a1x
3 + a2x
2y + a3y
3 + a4xy
2 + a5x
2 + a6xy + a7y
2 + a8x+ a9y + a10 = 0.
Đặt
F (x, y) = a1x
3 + a2x
2y + a4xy
2 + a5x
2 + a6xy + a7y
2 + a8x+ a9y + a10.
Nếu các đạo hàm thành phần
δF
δx
,
δF
δy
đồng thời triệt tiêu tại điểm (x0, y0)
thuộc (C) thì điểm (x0, y0) gọi là điểm kỳ dị trên đường cong, tại đó đường
cong không tồn tại tiếp tuyến.
Vì vậy ở bài này ta chỉ đề cập đến đường cong mà không tồn tại điểm kì dị, tức
là tại mọi điểm trên đường cong đều tồn tại tiếp tuyến.
3.2.2 Cấu trúc nhóm trên đường bậc ba không có điểm kỳ dị
Ta biết rằng với P và Q là hai điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba thì ta có
tương ứng một điểm hữu tỉ là P ∗ Q. Vì đường bậc ba không có điểm kỳ dị,
nên tại mọi điểm P trên đường cong đều tồn tại tiếp tuyến nghĩa là ta xác định
được điểm P ∗ P. Câu hỏi đặt ra là liệu rằng tập các điểm hữu tỉ trên đường
cong bậc ba này và phép toán (∗) có lập thành một nhóm. Câu trả lời là không
vì ta không có phần tử trung hòa của nhóm.
Bây giờ chúng ta lấy một điểm hữu tỉ O trên đường cong và định nghĩa phép
toán (+) như sau: Với hai điểm hữu tỉ P, Q trên đường cong, ta xác định điểm
P ∗Q, đường thẳng đi qua O và P ∗Q cắt đường cong tại một