Download miễn phí Ebook Giải tích
§5. ĐIỂM BẤT THƯỜNG CỦA HÀM GIẢI TÍCH
1. Phân loại: Giảsửa là điểm bất thường cô lập của hàm f(z), nghĩa là tồn tại một lân
cận khá bé của a trong đó chỉcó a là điểm bất thường. Nhưvậy f(z) sẽgiải tích trong
hình vành khăn nhỏtâm a. Theo mục 5, ta có thểkhai triển f(z) thành chuỗi Laurent
trong hình vành khăn này. Ta căn cứvào khai triển Laurent đểphân loại tính bất
thường của điểm a
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
là 1o
<ζ
ρ .
Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi (11) hội tụ tuyệt đối và đều trong mặt
tròn | ζ | ≤ ρ. Vì số ρ có thể chọn gần | ζo | bao nhiêu cũng được nên (11) hội tụ tuyệt
đối tại mọi điểm của hình tròn mở | ζ | < ζo.
3. Hệ quả: Nếu chuỗi (11) phân kì tại ζ1 thì nó phân kì tại mọi điểm của miền |ζ| < |
ζ1 |.
Chứng minh: ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử chuỗi (11) hội tụ tại ζo thuộc
miền | ζ | > | ζ1 |. Áp dụng định lý Abel suy ra chuỗi hội tụ trong hình tròn | ζ | < | ζo | ,
đặc biệt chuỗi hội tụ tại ζ1 vì | ζ1 | < | ζo |. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
4. Bán kính hội tụ: Trước hết chú ý là điểm ζ = 0 bao giờ cũng là điểm hội tụ của
chuỗi (11). Tại đó chuỗi hàm tổng là co.
Bây giờ ta xét tia Ot bất kì, xuất phát từ gốc
ζ = 0. Có thể xảy ra 3 trường hợp:
* Trên tia Ot có cả những điểm hội tụ và
những điểm phân kì.
Vì theo định lí Abel, mỗi điểm hội tụ đều
nằm gần gốc hơn một điểm phân kì bất kì. Do đó
trên tia Ot tìm được một điểm ζ* ngăn cách những
diểm hội tụ trên tia với những điểm phân kì. Bản
thân ζ* , tuỳ trường hợp, có thể là điểm hội tụ hay
phân kì.
Cũng theo định lí Abel, chuỗi hội tụ trong hình tròn G: | ζ | < | ζ* | và phân kì
bên ngoài tức trong miền | ζ | < | ζ* |. Hình tròn G được gọi là hình tròn hội tụ của
chuỗi hàm (11), bán kính của nó R = | ζ* | được gọi là bán kính hội tụ. Trên biên C
của hình tròn có thể có cả điểm hội tụ lẫn phân kì.
* Trên tia Ot, tất cả các điểm đều là điểm hội tụ. Khi đó, theo định lí Abel,
chuỗi hàm hội tụ trong một hình tròn bán kính lớn tuỳ ý. Nghĩa là nó hội tụ trong toàn
mặt phẳng ζ và ta nói rằng bán kính hội tụ là ∞.
* Trên tia Ot không có điểm nào là điểm hội tụ trừ ζ = 0. Khi đó theo hệ quả
của định lí Abel, chuỗi hàm phân kì bên ngoài một hình tròn mà bán kính cả nó nhỏ
tuỳ ý. Nói cách khác, mọi điểm c khác 0 đều là điểm phân kì và ta nói bán kính hội tụ
R = 0.
Lập luận tương tự giải tích thực, dựa vào tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy,
ta thấy bán kính hội tụ có thể tìm theo công thức:
1n
n
n c
climR
+∞→
= (13)
hay:
n
n
n c
1limR
∞→
= (14)
y
O
G
x
C
t
74
Ghi chú: Đối với chuỗi ∑∞
=
−
0n
n
n )az(c bằng phép đổi biến ζ = z - a ta đưa được về dạng
∑∞
=
ζ
0n
n
nc nên ta suy ra hay chuỗi ∑∞
=
−
0n
n
n )az(c chỉ hội tụ tại tâm z = a, hay hội tụ
trong cả mặt phẳng hay hội tụ trong hình tròn | z - a | < R và phân kì bên ngoài hình
tròn đó.
Ví dụ 1: Xét chuỗi LL +++++=∑∞
=
n2
0n
n zzz1z .
Ta tính bán kính hội tụ R của nó bằng công thức (13):
1
c
climR
1n
n
n
==
+∞→
vì cn = cn+1 = 1
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong hình tròn | z | < 1. Trong hình tròn | z | ≤ ρ ≤ 1, chuỗi
hội tụ đều. Ta xét tổng riêng:
z1
z1zzz1)z(S
n
1n2
n −
−=++++= −L
Cho n → ∞, nếu | z | < 1 thì 0zlim
n
n =∞→ . Vậy z1
1)z(Slim
n
n −=∞→ . Như vậy:
z1
1zzz1z n2
0n
n
−=+++++=∑
∞
=
LL ; | z | < 1
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi hàm:
L+−+−+=−∑∞
= 2
)1z(
1
1z1
!n
)1z( 2
0n
n
Bán kính hội tụ của chuỗi đã cho bằng:
∞=+=+=
+
==
∞→∞→∞→+∞→
)1n(lim
!n
)!1n(lim
)!1n(
1
!n
1
lim
c
climR
nnn
1n
n
n
Vậy chuỗi hội tụ trong toàn mặt phẳng phức.
Ví dụ 3: Tìm hình tròn hội tụ của chuỗi ∑∞ ++
−
0
n
1n2
4)1n(
)jz(
Áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert cho chuỗi mođun các số hạng ta có:
4
jz
)2n(
)1n(lim
4
jz
jz
4)1n(
4)2n(
jz
lim
u
ulimd
2
n
2
1n2
n
1n
3n2
n
n
1n
n
−=+
+−=−
+
+
−== ∞→++
+
∞→
+
∞→
Như vậy miền hội tụ của chuỗi là | z - j |2 < 4 hay | z - j | < 2 .
75
§3. CHUỖI TAYLOR
Giả sử chuỗi luỹ thừa n
0n
n )az(c −∑∞
=
có bán kính hội tụ là R = 0. Theo kết quả ở
trên, trong hình tròn bán kính | z - a | ≤ ρ < R thì chuỗi hội tụ đều. Vì mỗi số hạng của
chuỗi hạng của chuỗi đều là hàm giải tích và vì chuỗi hội tụ đều nên theo định lí
Weierstrass tổng f(z) của chuỗi là một hàm giải tích trong miền | z - a | ≤ ρ. Bây giờ ta
đặt vấn đề ngược lại: cho trước một hàm f(z) giải tích trong một lân cận điểm a. Hỏi
có thể khai triển nó thành chuỗi luỹ thừa của (z - a) hay không. Nói khác đi, có thể tìm
thấy chuỗi dạng n
0n
n )az(c −∑∞
=
có tổng là f(z) trong lân cận a hay không?
Định lí 1: Mọi hàm f(z) giải tích trong hình tròn | z - a | < R đều có thể khai triển một
cách duy nhất thành chuỗi luỹ thừa của (z - a).
Chứng minh: lấy z bất kì thuộc hình tròn | z - a | <
R. Ta vẽ hình tròn C’ = {| z - a | = ρ} (ρ < R) bao
điểm z bên trong. Gọi C là đường tròn | z - a | = R,
C’ là đường tròn | z - a | = ρ. Theo công thức tích
phân Cauchy ta có:
∫ −ζ
ζζ
π= 'C z
d)(f
j2
1)z(f (16)
Ta sẽ tìm cách khai triển hàm số dưới dấu tích phân
thành chuỗi luỹ thừa của (z - a) hội tụ đều đối với biến ζ trên đường tròn C’.
Muốn vậy ta viết:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−−−ζ
=−−−ζ=−ζ
a
az1)a(
1
)az(a
1
z
1
Nhưng vì ζ∈ C’ nên | z - a | < | ζ - a | và 1
a
az <−ζ
− . Vậy theo công thức tính tổng của
một chuỗi nhân (xem công thức 15) ta có:
LL +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−+−ζ
−+=
−ζ
−−
n2
a
az
a
az
a
az1
a
az1
1
Vậy: LL +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ+−ζ=−ζ
n2
a
az
a
1
a
az
a
1
a
az
a
1
a
1
z
1
LL +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ+−ζ
ζ=−ζ
ζ n2
a
az
a
)(f
a
az
a
)(f
a
az
a
)(f
a
)(f
z
)(f (17)
Với z cố định, khi ζ biến thiên trên đường C’ thì
z
)(f
−ζ
ζ là một hàm liên tục đối với ζ.
C
C’
L a
76
Vậy nó bị chặn, tức M
z
)(f ≤−ζ
ζ . Mặt khác 1qaz
a
az
a
az <=ρ
−=−ζ
−=−ζ
−
nên:
n
n
Mq
a
az
a
)(f ≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ
Theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi bên vế phải của (17) hội tụ đều với tổng
z
)(f
−ζ
ζ
∀ζ∈C’. Vậy ta có thể tích phân từng số hạng dọc theo C’ và được:
LL +ζ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ++
ζ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ+ζ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
−
−ζ
ζ+−ζ
ζζ=−ζ
ζζ
∫
∫∫∫∫
d
a
az
a
)(f
d
a
az
a
)(fd
a
az
a
)(f
a
d)(f
z
d)(f
'C
n
'C
2
'C'C'C
LL +ζ−ζ
ζ−++
ζ−ζ
ζ−+ζ−ζ
ζ−+−ζ
ζζ=
∫
∫∫∫
+ d)a(
)(f)az(
d
)a(
)(f)az(d
)a(
)(f)az(
a
d)(f
'C
1n
n
'C
3
2
'C
2
'C
Thay vào (16) ta được:
LL +ζ−ζ
ζ
π
−++
ζ−ζ
ζ
π
−+ζ−ζ
ζ
π
−+−ζ
ζζ
π=
∫
∫∫∫
+ d)a(
)(f
j2
)az(
d
)a(
)(f
j2
)az(d
)a(
)(f
j2
)az(
a
d)(f
j2
1)z(f
'C
1n
n
'C
3
2
'C
2
'C
Như vậy tại mọi điểm z thuộc hình tròn | z - a | < R ta có thể viết:
f(z) = co + c1(z - a) + c2(z - a)2 + ⋅⋅⋅ + cn(z - a)n + ⋅⋅⋅
với ,...2,1,0n,
)a(
d)(f
j2
1c
'C
1nn =−ζ
ζζ
π= ∫ +
Theo công thức tính đạo hàm cấp n của hàm giải tích ta có:
,...2,1,0n,
)a(
d)(f
j2
!n)a(f
'C
1n
)n( =−ζ
ζζ
π= ∫ +
nên ta có:
!n
)a(fc
)n(
n =
Tóm lại ta đã khai triển được f(z) thành chuỗi luỹ thừa của (z - a):
∑ ∫∑ ∞
= +
∞
=
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−ζ
ζζ