Download miễn phí Giáo trình Bất đẳng thức lượng giác
Sau khi ñã xem xét các bất ñẳng thức lượng giác cùng các phương pháp chứng minh
thì ta phải biết vận dụng những kết quả ñó vào các vấn ñềkhác.
Trong các chương trước ta có các ví dụvềbất ñẳng thức lượng giác mà dấu bằng
thường xảy ra ởtrường hợp ñặc biệt : tam giác ñều, cân hay vuông Vì thếlại phát sinh
ra một dạng bài mới : ñịnh tính tam giác dựa vào ñiều kiện cho trước.
Mặt khác với những kết quảcủa các chương trước ta cũng có thểdẫn ñến dạng toán
tìm cực trịlượng giác nhờbất ñẳng thức. Dạng bài này rất hay : kết quả ñược “giấu” ñi,
bắt buộc người làm phải tự“mò mẫm” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công việc ñó thật
thú vị! Và tất nhiên muốn giải quyết tốt vấn ñềnày thì ta cần có một “vốn” bất ñẳng thức
“kha khá”.
Bây giờchúng ta sẽcùng kiểm tra hiệu quảcủa các bất ñẳng thức lượng giác trong
chương 3 : “Áp dụng vào một sốvấn ñềkhác”
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
2cos2cos2cos zyxCxyBzxAyz ++−≥++Lời giải :
Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ .
Ta có :
( )
( )222
222
222
2
2
12cos2cos2cos
02cos22cos22cos2
0.2.2.2
0
zyxCxyBzxAyz
BzxAyzCxyzyx
OAOCzxOCOByzOBOAxyzyx
OCzOByOAx
++−≥++⇔
≥+++++⇔
≥+++++⇔
≥++
⇒ñpcm.
2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển :
Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương
1: “Các bước ñầu cơ sở”. Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví
dụ phức tạp hơn, thú vị hơn.
Ví dụ 2.4.1.
CMR ABC∆∀ ta có :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++
CBACBA
Lời giải :
Theo AM – GM ta có :
3
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
sin
2
sin
2
sin CBA
CBA
≥
++
Mặt khác :
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot CBA
CBA
CBACBA
==++
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 49
( )
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
3
2
sin
2
sin
2
sin2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
sinsinsin
4
1
3
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )1
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBA
CBACBA
=
⋅≥
≥
++
++
mà ta cũng có : 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
9 33 =⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++⇒
CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.2.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
Lời giải :
Vì ABC∆ nhọn nên CBACBA tan,tan,tan,cos,cos,cos ñều dương.
Theo AM – GM ta có : 3 coscoscos
3
coscoscos CBACBA ≥++
CBA
CBACBACBA
coscoscos
sinsinsin
tantantantantantan ==++
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 50
( )
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
coscoscos2
cossincossincossin
2
3
coscoscos2
cossincossincossin
coscoscos
2sin2sin2sin
4
1
3
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )( )
( )1tantantan
2
9
coscoscos
cossincossincossincoscoscos
2
9
tantantancoscoscos
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBACBACBA
=
⋅≥++++
Mặt khác : 33tantantan ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
tantantan
2
9 33
=⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 suy ra :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.3.
Cho ABC∆ tùy ý. CMR :
34
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan ≥
++
++
+ C
C
B
B
A
A
Lời giải :
Xét ( )
∈∀=
2
;0tan pixxxf
Khi ñó : ( ) =xf ''
Theo Jensen thì : ( )13
2
tan
2
tan
2
tan ≥++ CBA
Xét ( )
∈∀=
2
;0cot pixxxg
Và ( ) ( )
∈∀>+=
2
;00cotcot12'' 2 pixxxxg
Theo Jensen thì : ( )233
2
cot
2
cot
2
cot ≥++ CBA
Vậy ( ) ( )⇒+ 21 ñpcm.
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 51
Ví dụ 2.4.4.
CMR trong mọi tam giác ta có :
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11
+≥
+
+
+
CBA
Lời giải :
Ta sử dụng bổ ñề sau :
Bổ ñề : Cho 0,, >zyx và Szyx ≤++ thì :
( )121111111
3
+≥
+
+
+
Szyx
Chứng minh bổ ñề :
Ta có :
( ) ( )2111111111
xyzzxyzxyzyx
VT +
+++
+++=
Theo AM – GM ta có :
( )399111
Szyxzyx
≥
++
≥++
Dấu bằng xảy ra trong ( )
3
3 Szyx ===⇔
Tiếp tục theo AM –GM thì :
33 xyzzyxS ≥++≥
( )4271
27 3
3
Sxyz
xyzS ≥⇒≥⇒
Dấu bằng trong ( )4 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Vẫn theo AM – GM ta lại có :
( )513111 3
2
≥++
xyzzxyzxy
Dấu bằng trong ( )5 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Từ ( )( )54 suy ra :
( )627111 2Szxyzxy ≥++
Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )
3
54 Szyx ===⇔
Từ ( )( )( )( )6432 ta có :
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 52
( )
3
32
312727911
+=+++≥
SSSS
VT
Bổ ñề ñược chứng minh. Dấu bằng xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )( )643
3
S
zyx ===⇔
Áp dụng với 0sin,0sin,0sin >=>=>= CzByAx
mà ta có
2
33
sinsinsin ≤++ CBA vậy ở ñây
2
33
=S
Theo bổ ñề suy ra ngay :
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11
+≥
+
+
+
CBA
Dấu bằng xảy ra
2
3
sinsinsin ===⇔ CBA
ABC∆⇔ ñều.
Ví dụ 2.4.5.
CMR trong mọi tam giác ta có :
3plll cba ≤++
Lời giải :
Ta có : ( ) ( ) ( )1222
cos2
app
cb
bc
bc
app
cb
bc
cb
Abc
la −+
=
−
+
=
+
=
Theo AM – GM ta có 12 ≤
+ cb
bc
nên từ ( )1 suy ra :
( ) ( )2appla −≤
Dấu bằng trong ( )2 xảy ra cb =⇔
Hoàn toàn tương tự ta có :
( ) ( )
( ) ( )4
3
cppl
bppl
c
b
−≤
−≤
Dấu bằng trong ( )( )43 tương ứng xảy ra cba ==⇔
Từ ( )( )( )432 suy ra :
( ) ( )5cpbpapplll cba −+−+−≤++
Dấu bằng trong ( )5 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )( ) cba ==⇔432
Áp dụng BCS ta có :
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 53
( ) ( )
( )63
33
2
pcpbpap
cbapcpbpap
≤−+−+−⇒
−−−≤−+−+−
Dấu bằng trong ( )6 xảy ra cba ==⇔
Từ ( )( )65 ta có : ( )73plll cba ≤++
ðẳng thức trong ( )7 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( ) cba ==⇔65
ABC∆⇔ ñều.
Ví dụ 2.4.6.
Cho ABC∆ bất kỳ. CMR :
R
r
abc
cba 24
333
−≥++
Lời giải :
Ta có : ( )( )( )cpbpapppr
R
abcS −−−===
4
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
abc
abccbacaacbccbabba
abc
cbabacacb
abc
cpbpap
pabc
cpbpapp
pabc
S
R
r
2
222222882
333222222
2
−−−−+++++
=
−+−+−+
=
−−−
=
−−−
==⇒
abc
cba
c
a
a
c
b
c
c
b
a
b
b
a
abc
cba
R
r
333333
624 ++≤
+++++−+
++
=−⇒
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.7.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
abcb
A
a
C
c
a
C
c
B
b
c
B
b
A
a 27
coscoscoscoscoscos
≥
−+
−+
−+
Lời giải :
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
CBAB
A
A
C
CA
C
C
B
BC
B
B
A
A
sinsinsin27sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
sin ≥
−+
−+
−+
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 54
27
coscos
coscos1
coscos
coscos1
coscos
coscos1
sinsinsin27sin
coscos
sin
sin
coscos
sin
sin
coscos
sin
≥−⋅−⋅−⇔
≥
−
−
−⇔
AC
AC
CB
CB
BA
BA
CBAB
AC
BA
CB
AC
BA
C
ðặt
...